沪教版 (五四制)八年级上册19．6 轨迹优秀学案

这是一份沪教版 (五四制)八年级上册19．6 轨迹优秀学案，共30页。

垂直平分线、角平分线及轨迹


内容分析





利用线段的垂直平分线和角平分线的性质添加辅助线，解决相关角度与边长之间的关系是几何证明中又一个重点内容，更加完善了证明边角关系的知识体系．
知识结构





模块一：线段的垂直平分线


知识精讲




线段的垂直平分线：
（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；
（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．

例题解析



A
B
C
D
E
【例1】 如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于_______________．
【难度】★
【答案】．
【解析】：
，，
．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．


【例2】 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】∵AB=AC， DB=DC， ∴AD是线段BC的垂直平分线
又∵E是AD上一点 ∴BE=CE ．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例3】 在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．
【难度】★
A
B
C
D
E
N
M
【答案】（1）12 ； （2）60°； （3）等边三角形．
【解析】（1）因为DE垂直平分AB，MN垂直平分AC，
所以AE=BE，AN=CN，所以AE+EN+AN=BE+EN+NC
=BC=12，所以得周长等于12；
（2） 因为AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，又因为AN=CN，
所以∠NAC=30°，所以∠ANE=60°，同理∠AEN=60°，所以∠EAN=60°；
（3） 由（2）知为等边三角形．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例4】 如图，D是线段AB、AC的垂直平分线的交点，若∠BAC=50°，求∠BDC的度数．
A
B
C
D
【难度】★
【答案】100°
【解析】连接
因为

所以∠BDC = 150°．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．



A
B
C
D
E
【例5】 如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC于点D，且DC=AC， 求△ABC各角的度数．
【难度】★★
【答案】∠B=∠C=36°，∠BAC=108°．
【解析】因为，又DC=AC，
所以∠DAC=∠ADC，又因为DE垂直平分AB，
所以∠ABC=∠BAD，∠DAC=2∠B，所以∠BAC=3∠B，
所以∠B+∠BAC+∠C =5∠B=180°，
所以∠B=∠C=180÷5=36°，∠BAC=108°．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理的综合运用．

【例6】 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为___________________．
【难度】★★
【答案】70°或20°．
【解析】（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90°，∴∠A=90°50°=40°，
∵AB=AC，∴
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90°-50°=40°， ∵AB=AC，
∴．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．

A
B
C
E
F
D
【例7】 如图，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AD是EF的垂直平分线．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】由题意，可知DE=DF，在△ADE和△ADF中，
∠AED =∠AFD=90°，AD=AD，DE=DF，
所以
∴A、D在EF的垂直平分线上，
所以AD是EF的垂直平分线．
【总结】考查垂直平分线和角平分线的综合运用．







A
B
C
D
E
F
【例8】 如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F，求证：BE垂直平分CD．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】在△BCE和△BDE中，
因为∠BCE =∠BDE=90°，BD=BC，BE=BE，
所以△BCE≌△BDE，
所以CE=DE，
所以B、E在C、D的垂直平分线上，
所以BE垂直平分CD．
【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的运用．






A
B
C
D
E
F
G
【例9】 如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的点，AD的垂直平分 线EF交AC于点E，垂足为F，ED的延长线与CB的延长线交于点G，求证：点E在 GC的垂直平分线上．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵EF为AD的垂直平分线
∴AF=DF，∠AFE=∠DFE=90°，
∴△AFE≌△DFE， ∴∠AEF=∠DEF．
∵∠AFE=∠ABC， ∴EF∥CG．
∴∠AEF=∠C，∠DEF=∠G， ∴∠C=∠G，
∴△CEG为等腰三角形，
∴点E在GC的垂直平分线上．
【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．






A
B
C
D
E
F
M
G
N
【例10】 如图，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，求证：AF=FG=BG．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】连接DF、DG，
∵FM垂直平分AD，GN垂直平分BD
∴AF=DF，DG=BG
又∵∠A=30°，∴∠DFG=∠DGF=60°
即△DFG为等边三角形
∴DF=DG=FG
∴AF=FG=BG
【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．

【例11】 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°，（1）求∠NMB的大小；
（2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
（3）若∠A=α，你发现了怎样的规律，并证明之；
（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改．
A
B
C
M
N
A
C
N
M
B
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B =(180°40°)÷2=70°，
又∵∠MNB=90°，∴∠NMB=180°90°70°=20°；
（2） ∵∠B=（180°70°）÷2=55°，
∴∠NMB =180°90°55°=35°；
（3） ∠NMB的度数等于∠A度数的一半，
证明：∵AB=AC， ∴∠B=(180°∠A）÷2
∵∠BNM = 90°，
∴∠NMB = 90°∠B = 90°（180°∠A）÷2
=
即∠NMB的度数等于∠A度数的一半；
（4） 不需修改．
仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线
相交所成锐角为顶角的一半．
【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．













模块二：角平分线


知识精讲




2、角平分线：
（1）角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；
（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．
例题解析



【例12】 如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是
∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）
A
B
C
P
E
D
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
【难度】★★
【答案】A
【解析】∵P到AE、AD、BC的距离相等
∴①②③④都对
【总结】考查角平分线性质定理的逆运用．










A
B
C
D
E
H
G
F
【例13】 如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD．
【难度】★★
【答案】略
【解析】过E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线
于点G，过E作EF⊥AD于点F
∵AB∥CD，∴EG⊥DC，
∵E为BC中点， ∴CE=BE
在△CGE与△BHE中，
∵∠GCE=∠B，CE=BE，∠CEG=∠BEH
∴△CGE≌△BHE ， ∴GE=EH
∵DE平分∠ADC ， ∴GE=EF ， ∴GE=EH
∴EF=EH，又∵EF⊥AD，EH⊥AB，
∴AE是∠DAB的平分线．
【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．




A
B
C
D
E
【例14】 如图，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD=CD．
【难度】★★
【答案】略
【解析】在BC上截取BE=AB，连接DE
∵BD平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC，又∵BD =BD
∴△ABD≌△EBD， ∴∠BAD =∠BED，AD =DE
∵∠BAD与∠BCD互补， ∴∠BED与∠BCD互补
又∵∠BED与∠CED互补， ∴∠CED =∠BCD
∴DE =CD， ∴AD =CD
【总结】考查角平分线性质定理的运用．




A
B
C
D
M
F
N
P
E
【例15】 已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】过P作PE⊥AC于点E
∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，PE⊥AC
∴DP=EP，同理PE=PF
∴PD=PF，又∵PD⊥BM，PF⊥BN
∴P在∠MBN的角平分线上
∴BP平分∠MBN
【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．



【例16】 （1）如图1△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则有：；
（2）如图2：△ABC中，∠ABC的外角角平分线和∠ACB的外角角平分线相交于点P，
则有：；
A
B
C
P
图1
A
B
C
P
图2
A
B
C
P
图3
（3）如图3：△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角角平分线相交于点P，则有：．
【难度】★★








【答案】略．
【解析】（1）
；

（2）

（3）∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB+∠ACP=∠ACB+(∠A+∠ABC)，
∴∠PBC+∠PCB=∠ACB+∠ABC+∠A
∴
=．
【总结】本题主要考查三角形的内角和与外角性质的综合运用，注意对结论的熟记．



【例17】 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，直角△ABP中，∠BAP=90°，
A
B
C
E
P
O
H
已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC，
求证：PE⊥AO．
【难度】★★
【答案】略
【解析】∵∠BPA+∠ABP=∠COB+∠CBO =90°，
又∠CBO =∠ABP
∴∠BPA=∠COB
又∵∠COB=∠POA
∴∠BPA=∠POA， ∴AP=AO
过点O作OH⊥AB于H，则OH=OC
∵OC=AE， ∴OH =AE
∵∠PAE+∠CAB=∠HOA+∠CAB，
∴∠PAE=∠HOA
∴△APE≌△OAH，
∴PE⊥AO
【总结】考查角平分线性质定理的运用．




A
B
C
D
F
G
E
N
H
【例18】 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于点G，
求证：GC平分∠BGD．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】分别过C作CN⊥BE，CH⊥DF，连接CE、CF
∵，
∴，
∵BE=DF， ∴CN=CH，
又∵CN⊥BE，CH⊥DF，
∴GC平分∠BGD（到角两边的距离相等的点在角的平分线上）
【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用．




A
B
C
D
E
F
G
H
【例19】 如图，在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BF平分∠ABC，交AC于点F、AD于点E，EG∥BC交AC于点G，求证：AF=CG．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】过F作FH⊥BC于点H，连接EH，
∵∠ABF+∠AFB=90°，∠BED+∠EBD=90°，∠ABF=∠EBD，
∴∠AFB=∠BED
又∵∠BED=∠AEF ， ∴∠AFB=∠AEF ， ∴AE=AF．
∵BF平分∠ABC， AF⊥BA，FH⊥BC ∴AF=FH
又∵AE∥FH， ∴四边形AEHF为菱形，
∴AF=EH， EH∥CG
又∵EG∥HC， ∴EHCG为平行四边形
∴EH=CG， ∴AF=CG．
【总结】考查角平分线性质定理、菱形及平行四边形的判定及性质．



A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
【例20】 如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于F点，CD交AB于点G，BE交AC于点H，求证：AF平分∠DFE．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】∵AD=AB，AC=AE，∠DAC=∠BAE
∴△ACD≌△AEB
∴BE=CD
过点A作AM⊥DC，AN⊥BE，
则
∴AM=AN
∵AM⊥DC，AN⊥BE，
所以AF平分∠DFE．
【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用．





















【例21】 如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P，连接CP．
（1） 求证：CP平分∠ACB；
（2） 如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：EP=DP；
A
B
C
D
E
图1
P
图2
A
B
C
D
E
P
（3） 如图2，当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°，（2）中的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥AC
于点N，PH⊥BC于点H
∵AD、BE分别为∠CAB与∠ABC的角平分线
∴PM=MN，PM=PH，∴PN=PH，
∴CP平分∠ACB
（2） ∵ABC为等边三角形 ∴PD⊥BC，PE⊥AC，
∴△CPE≌△CPD ，
∴EP=DP
（3） 成立． 假设∠CAB<∠CBA
作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，
则点H在线段CE上，点M在线段BD上
∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,
∴PH=PQ=PM
∵∠ACB+∠CAB+ABC=180°，∠ACB=60°
∴∠CAB+∠ABC=120°
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC
∴∠PAB+∠PBA=60°
∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°
∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°
∴∠CEP=∠ADB
在△PHE和△PMD中，
∵∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM
∴△PHE≌△PMD
∴PE=PD
【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．


模块三： 综合




例题解析



A
B
C
D
E
F
P
H
【例22】 已知，如图AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，PE、PF分别垂直AD、BC，垂足为E、F．求证：点P在EF的垂直平分线上．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】过P作PH⊥AB于点H，
则PE=PH，PH=PF
∴PE=PF
∵PE⊥AD，PF⊥BC
∴点P在EF的垂直平分线上
【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．



A
B
C
D
E
H
M
F
【例23】 已知：如图，△ABC中，∠BAC=64°，∠B=38°，AD平分∠BAC，M是BC延长线上的一点，过点M作MF⊥AD，垂足为点H，交AB、AC于点F、E．求∠M的度数．
【难度】★★
【答案】20°．
【解析】∵∠BAD=∠BAC=32°，
∴∠ADM =∠BAD +∠B=32°+38°=70°，
∵MH⊥AD ， ∴∠MHD=90°
∴∠M=180°90°70°=20°
【总结】考查垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用．




【例24】 已知：如图，D是△ABC的边AC上的一点，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足为E、F，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．
求证：（1）DG=BG；A
B
C
D
E
F
G
（2）BD垂直平分EF．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）连接BD
∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF
∴∠ABD=∠DBC
又∵DG∥AB， ∴∠ABD=∠BDG
∴∠BDG=∠DBC， ∴DG=BG
（2） 由（1）∠ABD=∠DBC，可知∠EDB=∠FDB．
在△BDE与△BDF中，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB
∴△BDE≌△BDF
∴BE=BF，DE=DF
∴BD垂直平分EF．
【总结】考查垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用．


【例25】 如图，在△ABC中，OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，∠OBC、
∠OCB的平分线相交于点G，判断OG与BC的位置关系，并证明你的判断．
F
A
B
C
G
O
E
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】连接OA
∵OE垂直平分AB，∴OA=OB
同理OA=OC，∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB
∵BG平分∠OBC，CG平分∠OCB
∴∠GBC=∠OBC，∠GCB=∠OCB
∴∠GBC=∠GCB， ∴BG=CG
又∵OG=OG， ∴△BOG≌△COG
∴∠BOG=∠COG， ∴OG⊥BC
【总结】考查角平分线与垂直平分线性质定理的运用．


【例26】 已知，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，判断下面四个结论中哪些成立，
A
B
C
D
E
（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC>AB哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并证明．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）∵∠EAD=∠CAD，∠AED=∠C，AD=AD
∴△ADE≌△ADC， ∴成立；
（2） ∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠BAC=∠BDE ， ∴成立；
（3） 不成立．添加∠B=30°
∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=30°∴△ABD为等腰三角形
又∵DE⊥AB， ∴DE平分∠ADB，
（4） AB=AE+EB ，由（1）知AE=AC，又∵BD>BE（斜边大于直角边）
∴BD+AC>AB， ∴成立．
【总结】考查角平分线性质定理的运用．


















【例27】 如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且∠ABE=∠EBF=
∠FBC，联结CF并延长交AB于点G．
求证：（1）△GBF为等腰三角形；（2）GE∥BF．
A
B
C
D
E
F
G
P
R
Q
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）


∵∠ABE=∠EBF=∠FBC，
∴△GBF为等腰三角形；
（2）如图，过点E作EP⊥GF于点P、EQ⊥BF于点Q、ER⊥AB于点R．
∵FB=FC， FD⊥BC， ∴
∵，， ∴
∴
∵BE平分，EQ⊥BF，ER⊥AB，
∴， ∴， ∴
∵
∴
∴．
【总结】考查角平分线性质定理的运用及等腰三角形的性质．


模块四：轨迹



知识精讲



点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合．
三个基本轨迹：
（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．
例题解析



【例28】 （1）经过点A、B的圆的圆心的轨迹是_____________；
（2）到直线m距离等于a的点的轨迹是_____________________；
（3）以线段AB为腰，点B为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹
是___________________．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】（1）线段AB的垂直平分线；
（2）平行于直线m且到直线m的距离为a的两条直线；
（3）以B为圆心，AB长为半径的圆，去除AB所在直线与圆的交点．
【总结】本题主要考查最常见的三种轨迹．


【例29】 以下说法中错误的是（ ）
A． 到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆
B． 如果P是∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=PN，那么射线OP是∠AOB的平分线
C． 底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线
D． 经过P、Q两点的圆的圆心的轨迹是PQ的垂直平分线
【难度】★★
【答案】C
【解析】底边的中点除外．
【总结】考查点的轨迹的运用．


A
B
C
【例30】 在△ABC内找一点P，使它到△ABC的三个顶点的距离都相等．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】作任意两条边的垂直平分线，这两条直线的交点即为点P．
【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．


【例31】 作图：
（1） 已知线段a、b，求做直角△ABC，使得∠C=90°，AB=b，BC=a；
（2） 已知∠AOB，点P及线段a，求作点Q，使得点Q到OA、OB的距离相等，且PQ=a．
【难度】★★★
【答案】略．
A
B
O
(2)
【解析】






（1）






（2）点Q 到角两边的距离相等，则点Q在角平分线上，PQ=a，则以P为圆心，a为半径 画圆，与角平分线的交点即为点Q．
【总结】本题主要考查尺规作图的运用．











随堂检测



【习题1】 以下说法错误的是（ ）．
A． 如果PA=PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上
B． 如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端距离相等
C． 如果点P在∠AOB的内部且到OA、OB距离相等，那么射线OP是∠AOB的角平分线
D． 如果OP是∠AOB的平分线，那么点P到OA、OB上两点M、N的距离相等，即PM=PN
【难度】★
【答案】D
【解析】PM、PN必须垂直∠AOB的两条边．
【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．


A
B
C
D
【习题2】 如图在△ABC中，∠B=115°，AC的垂直平分线与AB交于点D，且∠ACD︰∠BCD=5︰3，则∠BDC =_________．
【难度】★
【答案】50°．
【解析】设∠ACD=，则∠BAC=．
，
， ，
， ．
【总结】本题主要考查垂直平分线性质定理的运用．


A
B
C
D
E
O
F
M
【习题3】 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，
则AB与CD之间的距离等于_________．
【难度】★
【答案】4．
【解析】过，
∵AO、CO分别平分∠BAC与∠ACD，∴OF=OM=OE=2，∴AB与CD之间的距离为4．
【总结】考查角平分线性质定理的运用．
【习题4】 作图：
（1） 到点A的距离等于a的点的轨迹；
（2） 到两条相交直线AB、CD距离相等的点的轨迹．
【难度】★★
【答案】略．
B
C
D
（2）
O
A
（1）
【解析】






（1）以A为圆心a为半径的圆；
（2）∠AOC和∠AOD的角平分线所在的直线．
【总结】本题主要考查尺规作图．




A
B
C
D
E
【习题5】 如图，△ABC中，AB=AC=8cm，∠A=50°，线段AB的垂直平分线分别交AB于点D，交AC于点E，BC=3cm，求：
（1）∠EBC的度数；
（2）△BEC的周长．
【难度】★★
【答案】（1）15°； （2）11cm．
【解析】（1）∵∠ABC=（180°50°）÷2=65°，又DE垂直平分AB
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠EBC=∠ABC∠ABE=65°50°=15°；
（2）cm．
【总结】本题主要考查垂直平分线性质定理的运用．




A
B
P
E
F
C
【习题6】 如图，AE是△ABC的角平分线，AE的垂直平分线与BC的延长线相交于点F， 若∠CAF=50°，求∠B的度数．
【难度】★★
【答案】50°．
【解析】∵AE平分∠BAC，PF垂直平分AE，
∴∠BAE=∠CAE ，∠EAF=∠AEF
又∵，
∴∠B=∠CAF=50°
【总结】考查线段垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用．






【习题7】 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，
A
B
C
D
E
DE⊥AC交CA的延长线于E，求证：DE=AE+BC．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】连接CD，
∵AC=BC，AD=BD
∴CD是AB的垂直平分线
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=∠ACB=45°
∵DE⊥AC
∴∠CDE=∠ACD=45°，∴CE=DE
∴DE=AE+AC=AE+BC
【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．






【习题8】 如图，正方形ABCD中，E是边AB上的任意一点，F是边BC延长线上的一点，EF交CD于点G，AE=CF，
（1）求证：点D在线段EF的垂直平分线上；
（2）如果EF交正方形的对角线BD于点P，BP=BE，求证：EP=FG．
A
B
C
D
E
P
G
F
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）连接ED和DF
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCF=90°
在△AED和△DCF中，
AD=CD , ∠A=∠DCF=90°，AE=CF
∴△AED≌△DCF， ∴ED=DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上
（2） ∵△EDF为等腰三角形 ∴∠DEP=∠DFG，∵BP=BE ∴∠BEF=∠BPE
∵∠BPE=∠DPG ∴∠BEF=∠BPE ∴∠BEP和∠CGF为同位角
∴∠BEP=∠CGF ∴∠CGF=∠DGE ∴∠BEP=∠DGE
∴∠EPD=∠DGF ∴∠EDP=∠GDF ∴∠BEP=∠DGE
∴△EDP≌△FDG ∴EP=FG
【总结】考查线段垂直平分线性质定理逆定理及其全等三角形性质的综合运用．


A
C
B
H
E
F
G
P
M
N
Q
【习题9】 如图，∠BAC和∠CBF的平分线相交于点P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E，F，G，H为垂足，求证：BF=CE．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】过点P作PM⊥AF于点M，PN⊥AE于点N，
PQ⊥BC于点Q，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AF，PN⊥AE，
∴
∵BP平分∠CBF，PM⊥AF，PQ⊥BC， ∴
∴， ∵PQ⊥BC，PN⊥AE， ∴CP平分， ∴
，
同理BF=CB ∴BF=CE
【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用，注意对条件的分析．
A
B
C
D
E
F
G
M
【习题10】 已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，∠EBF=45， BG⊥EF，求证：BA=BG．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】延长DC至M使得CM=AE，连接BM
∵AE=CM，AB=BC，∠EAB=∠MCB
∴△EAB≌△MCB
∴BE=BM，∠ABE=∠CBM
∴∠FBM=∠CBM+∠FBC=∠ABE+∠FBC
=90°∠EBF = 90°45°= 45°=∠EBF
又∵BF为公共边， ∴△EBF≌△MBF
而BG与BC为全等三角形对应边上的高
∴BG = BC = BA．
【总结】本题主要考查正方形背景下三角形的旋转．




【习题11】 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，BE与DF交于点G，GC平分∠BGD.
A
B
C
D
G
F
E
N
H
求证：BE=DF．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】分别过C作CN⊥BE，CH⊥DF，
连接CE、CF
∵GC平分∠BGD，CN⊥BE，CH⊥DF，
∴CN=CH
∵，即
∴
【总结】考查角平分线性质定理的运用及等面积变形的综合运用．




课后作业



【作业1】 已知点I是△ABC三内角平分线的交点，则点I ( )
A．到△ABC三边距离相等； B．到△ABC三个顶点距离相等；
C．是△ABC三边上的高的交点； D．是△ABC三边中线的交点．
【难度】★
【答案】A
【解析】由角平分线的性质定理即可得出A正确
【总结】考查角平分线性质定理的运用．




【作业2】 （1）到x轴的距离为到y轴距离的两倍的点的轨迹是__________________；
（2）底边为5厘米的等腰三角形的顶点的轨迹__________________．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】（1）直线，除原点外；
（2）线段AB的垂直平分线，除AB中点外．
【总结】本题主要考查常见的轨迹的运用．




【作业3】 △ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是_____________．
【难度】★
【答案】9cm．
【解析】cm．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．



【作业4】 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AC于点E，
DF⊥AC于点F，EF=1，则点F到BC的距离为________________．
A
B
C
D
E
F
【难度】★★
【答案】1．
【解析】∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC
∴DB=DF（角平分线上的点到角两边的距离）
∴AD垂直平分BF
∵BE⊥AC ， ∴∠DAF=∠EBF， ∠BAD=∠FBC
又∵∠DAF=∠BAD， ∴∠EBF=∠FBC
∵FE=1，∴点F到BC的距离是1
【总结】考查角平分线及垂直平分线性质定理的运用


【作业5】 作图：
（1）以线段BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹；
（2）到直线l的距离等于2cm的点的轨迹．
【难度】★★
（1）
B
C
l
（2）


【答案】略
【解析】（1)线段BC的垂直平分线，除BC的中点；
（2）两条平行于直线l且到l的距离为2的直线．
【总结】本题主要考查常见的轨迹的运用．


【作业6】 已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．
F
A
B
C
D
E
G
1
3
2
4
【难度】★★
【答案】略．
【解析】∵EG垂直平分BD， ∴∠B=∠1．
∵∠B+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∠3=∠4
∴∠2=∠4， ∴EA=EF
∴E在AF的垂直平分线上．
【总结】考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．
A
B
C
D
E
【作业7】 如图，已知：△ABC中，AB=CB，D在AC上,且，AB=AD,∠ABC=108°，过A作AE∥BC，交∠ABD的平分线于E，联结CE，求证：BD垂直平分EC.
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵AB=AC，∠ABC=108°，
∴∠BAC=∠BCA=36°
又∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD=72°
又∵BE为∠ABD的角平分线， ∴∠ABE=∠EBD=36°
∵∠ABC=108°， ∴∠DBC=∠EBD=36°
∴BD为∠EBC的角平分线
由上述及题意可知，∠EBC=72°，且AE∥BC
∴∠AEB=72°， ∴∠EAB=72°=∠AEB ，
∴AB=BE，又AB=BC， ∴BE=BC
∴BD垂直平分EC
【总结】考查角平分线及垂直平分线性质定理的综合运用．





【作业8】 在△ABC中，∠A=α，AC、AB的垂直平分线交于点O，求∠BOC的度数（用含α的式子表示）．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设AB、AC的垂直平分线分别为OD、OE，
连接AO并延长交BC于点F，则OA=OB=OC，
∠BOC=∠BOF+∠COF=∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO=2∠A
∴∠BOC=
【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．





【作业9】 已知：等边△ABC的边长为4，D是边BC上的一个动点（与BC不重合），联结AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F，
（1） 求△BDE和△DCF的周长和；
（2） 设CD的长为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
A
B
C
D
F
E
【难度】★★★
【答案】（1）12；（2） ．
【解析】（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF
∴
；
（2），，
， ，


【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．

















【作业10】 如图，已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作
EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F．
（1） 求证：EF=BE+CF；
（2） 当点D为∠ABC的角平分线和∠ACB的外角的角平分的交点，EF、BE、CF的关系又如何；请证明．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
（3） 当点D为∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角的角平分的交点，EF、BE、CF的 关系又如何；请直接写出结论．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）
∴∠ABD=∠DBC
又∵EF∥BC
∴∠EDB=∠DBC
∴∠EDB=∠EBD
∴BE=DE
同理DF=CF
∴EF=BE+CF
（2）
∴∠ABD=∠DBC
又∵EF∥BC
∴∠EDB=∠DBC
∴∠EDB=∠EBD
∴BE=DE
同理DF=CF
∵EF=DE-DF
∴EF=BE-CF
（3）EF=BE+CF
【总结】考查角平分线与平行线构成等腰三角形的基本模型的运用