苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第四章数列补充1数列的通项与求和-导学案（有答案）

补充1　数列的通项与求和(1)

掌握数列求和的常见方法．

例1　求数列3＋，32＋，…，3n＋的前n项和．

例2　设f(x)＝，求f＋f＋…＋f的值．

例3　已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n＋b，且a1＝3.

(1) 求a，b的值及数列{an}的通项公式；

(2) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

　设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan的前n项和．

设数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，则求数列{anbn}的前n项和Sn可用错位相减法．

例4　求1＋＋＋＋…＋(n∈N*)．

　　　已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，首项a1≠0，求：

(1)  ；

(2)  .

(提示： ＝ )

1. 已知数列{an}满足an＝(n∈N)，则数列的前n项和为(　　)

A.   B.   C.   D.

2. 数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)

A. Sn＝n＋2n，n∈N*  B. Sn＝n＋2n－1，n∈N*

C. Sn＝n＋2n－1，n∈N*  D. Sn＝1＋2n－1，n∈N*

3. (多选)已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，当n为偶数时，an－an－1＝1；当n为奇数，且n>1时，an－2an－1＝1.若Sm>4 000，则m的值可以是(　　)

A. 17  B. 18  C. 19  D. 20

4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝1＋n·cos(n∈N*)，则S2 020＝________．

5. 已知数列{an}的前n项和Sn，Sn＝(n∈N*)．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设bn＝log2，求数列的前n项和Tn.

参考答案与解析

【活动方案】

表略

例1　设数列的前n项和为Sn，则

Sn＝3＋＋32＋＋…＋3n＋＝(3＋32＋…＋3n)＋(＋＋…＋)＝＋

＝－＋×3n＋－×＝－×－1.

例2　由题意，得f(1－x)＝＝，

所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.

设Sn＝f＋f＋…＋f，

则Sn＝f＋f＋…＋f，

所以2Sn＝10，所以Sn＝5.

例3　(1) 因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n＋b，

所以公比q≠1.

因为Sn＝＝－·qn＋，

Sn＝a·2n＋b，a1＝3，

所以q＝2，

所以a＝3，b＝－3，an＝3·2n－1.

(2) bn＝＝，

Tn＝＋×＋×＋…＋×，①

Tn＝×＋×＋…＋×＋×，②

由①－②，得

Tn＝＋×＋×＋…＋×－×＝－·＝·－·

＝－·－·，

所以Tn＝－·－·＝－·.

跟踪训练　设其前n项和为Sn，

则Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan.

若a＝0，则Sn＝0；

若a＝1，则Sn＝1＋2＋…＋n＝；

若a≠1，且a≠0，则Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，

aSn＝a2＋2a3＋…＋(n－1)an＋nan＋1，

所以(1－a)Sn＝a＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1＝－nan＋1，

所以Sn＝.

综上，Sn＝

例4　设1＋＋…＋＝Sn，则

Sn＝1＋＋＋…＋＝2×(＋－＋－＋…＋－)＝2×＝.

跟踪训练　(1)  ＝＋＋…＋

＝

＝＝－.

(2)

＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝(－＋)

＝(－＋)．

【检测反馈】

1. B　解析：由题意，得an＝＝，所以＝＝4，所以＋＋…＋＝4[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4(－)＝.

2. C　解析：因为an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.

3. BCD　解析：由题意，得a2k＝a2k－1＋1，a2k＋1＝2a2k＋1，k∈N*，所以a2k＋1＝2a2k＋1＝2(a2k－1＋1)＋1＝2a2k－1＋3，所以a2k＋1＋3＝2(a2k－1＋3)．又a1＋3＝4，故数列{a2k－1＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a2k－1＝4·2k－1－3，故S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＝(4＋4×2＋…＋4×2k－1)－3k＝－3k＝2k＋2－4－3k，S偶＝a2＋a4＋…＋a2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋k＝2k＋2－4－2k，故S2k＝S奇＋S偶＝2k＋3－8－5k，故S18＝212－8－45＝4 043，S17＝3 021，故使得Sm>4 000的最小整数m的值为18.故选BCD.

4. 3 030　解析：由cos＝cos＝cos，知cos的周期为4.又a1＝1＋cos＝1，a2＝1＋2cosπ＝1－2，a3＝1＋3cos＝1，a4＝1＋4cos2π＝1＋4，则a1＋a2＋a3＋a4＝4＋2＝6，所以S2 020＝×6＝3 030.

5.  (1) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝4n－1，

当n＝1时，a1＝S1＝1满足an＝4n－1.

综上，数列{an}的通项公式为an＝4n－1.

(2) 由(1)，得bn＝log2＝log22n＝n，

所以＝，

所以Tn＝1＋＋＋…＋，①

所以Tn＝＋＋…＋＋，②

①－②，得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－，

所以Tn＝－.