2021届浙江省湖州中学高三上学期第二次质检数学试题

这是一份2021届浙江省湖州中学高三上学期第二次质检数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届浙江省湖州中学高三上学期第二次质检数学试题
一、选择题：每小题4分，共40分
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.已知为虚数单位，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A. B. C. D.
5.若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6.若，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.把函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），则所得函数图象的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（ ）
（选项中为自然对数的底数，大约为）
A. B. C. D.
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11.已知函数，则的最小正周期是_______，其图象在区间上的对称中心的坐标是_______.
12.已知公差为的等差数列的前项和为.若，，是方程，的两实数根，则当_______时，最大；的取值范围是_______.
13.锐角中，是边上一点，且，，.若，则_______，的面积是_______.
14.已知函数在，上单调，其图象经过点，且有一条对称轴为直线，则的最大值是_______.
15.已知为椭圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的最小值为_______.
16.已知平面向量，不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，_______.
17.已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是_______.
若，，且，则整数_______.
三、解答题：5小题，共74分
18.（本题满分14分）
在锐角中，角，，的对边分别是，，.已知，.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）求函数，的值域.
19.（本题满分15分）
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.在锐角中，是边上一点，且.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若与平面所成角的正弦值是，求的长.
20.（本题满分15分）
已知是正项数列的前项和，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
21.（本题满分15分）
如图，抛物线，其中，是过抛物线焦点的两条弦，且，记，的面积分别为，.

（Ⅰ）当直线，关于轴对称时，求的值；
（Ⅱ）求的最小值.
22.（本题满分15分）
设函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：对于任意的，均有；
（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有，试求实数的取值范围
2020学年湖州中学高三（上）第二次质检
一、选择题：每小题4分，共40分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
B
C
D
B
A
D
B
D
4.
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11.（1）；（2）.
12.（1）；（2）.
13.（1）；（2）.

14.3.
15..
16..

17.（1）；2
18.解
（I）
由正弦定理得：，
所以，
又为锐角三角形，所以；
（Ⅱ）


因为，所以，，
则.
19.解
（I）
连接，交于，连接，

因为，
所以，
又，
所以，于是，
而平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）
方法一：

由已知得：，，，
所以平面，
过，垂足为，连接，
于是平面，
所以为与平面所成的角，
，而，
所以，
，，
所以.
方法二：空间向量
建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，，
设，
，
因为，所以，则，
，①，
，
设平面的一个法向量为，
，
取，则，
，
解得，将其代入①得，
.
20.解：
（Ⅰ）
当时，，
所以
即
所以数列是等差数列，其中首项为1，公差为1，
于是，
（时也符合）
（Ⅱ）

所以.
方法二：数学归纳法
直接证明是证不出来的，需要添加项，比如证明：（添项不唯一），
当时，，，成立；
假设当时，，
那么当时，，
只要证明：成立
等价于
等价于
等价于
等价于（显然成立）
所以原命题成立.
于是.
21.解：
（Ⅰ）

方法一：传统解析法
不妨设的斜率为负数，其中在第二象限，
当直线，关于轴对称时，则，的斜率分别为-1、1，
直线的方程，
联立方程，，，
根据对称性，则，
所以、，
所以；
方法二：参数方程
设直线方程为，
联立方程得：，
所以，，故，.
（Ⅱ）
方法一：点参法
易得，；，；
设，，从而有，，
，，
于是，即，
，
所以，
同理有
所以

当且仅当时取等号.
方法二：极坐标
设的倾斜角为，
则，，
因为，
于是，
所以
（当且仅当时取等号）.
22.解：
（Ⅰ）
显然函数的定义域为，
，
，，
所以函数的单调增区间为，减区间为；
（Ⅱ）
方法一：
当时，
，
，
所以在，
于是，
即当时，求证：对于任意的，均有；
方法二：
由得，
令得：
所以：.
（Ⅲ）
（1）由（Ⅱ）知道，当时，，不合题意；
（2）当时，，则，此时，
于是，
即恒成立，不合题意；
（3）当时，
记，

令，
注意与符号相同，
当时，，，
当时，，于是恒有，
综上所述：实数的取值范围.
方法二：
由.
令得：
构造函数
这里没有仔细写完，……
所以.