2021届西藏自治区日喀则区南木林高级中学高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份2021届西藏自治区日喀则区南木林高级中学高三上学期第二次月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届西藏自治区日喀则区南木林高级中学高三上学期第二次月考数学试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：
解不等式得集合A,求函数定义域得集合B，根据交集定义求解集合交集即可.
详解：
集合，，
所以.
故选B.
点睛：
本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题.
2．定义运算，若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由题意，，
∴，
则，
∴在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．
故选．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．设为等比数列的前项和，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据题意，在等比数列中有解得，则
故选C．
4．若双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线中，，的关系，直接求解即可.
【详解】
因为双曲线的一个焦点为，所以
所以，解得.
故选:B
【点睛】
本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.
5．在中，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案．
【详解】
在中，因为，
由正弦定理知，又，所以，
又由余弦定理知：，
解得，即，故选A．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
6．在 的展开式中，的系数是（ ）
A．1 B．10 C．-10 D．0
【答案】D
【解析】由二项的展开式的通项为，进而可求得展开式的的系数，得到答案.
【详解】
由题意，二项式的展开式的通项为，
所以的展开式中，
的系数为：.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题.
7．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】执行程序框图，；；；，结束循环，输出的分别为，故选C.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8．已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.
详解：将点坐标代入抛物线方程，得，解得点，据题设分析知，，又为外接球半径），外接圆面积，故选B.
点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
9．设是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得到，再结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】
由题意，是方程的两个根，
可得
又由.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了两角和的正切的化简、求值，以及一元二次方程根与系数的关系，其中解答中熟记两角和的正切公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：先利用已知条件判断函数在R上的单调性，再解不等式.
详解：由于是定义在上的奇函数，
∴，且在上为增函数，
∴f(x)是R上的增函数，
∵f(1)=3,
所以,
∴2x-1＜1，
∴x＜1.
故选A.
点睛：解抽象的函数不等式，一般先要判断函数的单调性，再把不等式化成的形式，再利用函数的单调性去掉“f”，转化为具体的函数不等式解答.
11．若tan+=4，则sin2=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由所给等式利用同角三角函数的关系可求得，再利用二倍角公式代入相应值即可得解.
【详解】
，
，
即，
，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系、二倍角公式，属于较易题.
12．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将问题转化为：渐近线与直线的距离大于等于圆的半径，由此求解出双曲线离心率的取值范围.
【详解】
因为与双曲线的渐近线平行，又在上，
所以若与双曲线的右支没有公共点，则只需要满足与的距离大于等于，
所以，所以，所以离心率的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.


二、填空题
13．已知向量与的夹角为，，，则__________.
【答案】6.
【解析】求出即得解.
【详解】
由题意，向量的夹角为，
所以，
所以.
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．若，，则__________.
【答案】
【解析】先求出，，再求即可.
【详解】
解：因为，所以，解得或
因为，所以，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查同角三角函数关系、两角差的余弦公式，是基础题.
15．已知实数满足不等式组则的最大值是__________．
【答案】12
【解析】分析：
画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.
详解：

作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，
分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，
故答案为.
点睛：
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
16．曲线在点处的切线方程为________
【答案】
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，然后代入直线方程的点斜式得答案．
【详解】
由，
得，
，
∴曲线在点处的切线方程为，
则曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数在一点处的切线方程，属于较易题.

三、解答题
17．设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通项公式.
(2)求数列{}的前n项和Sn.
【答案】(1) an=2n-1 ，； (2) Sn=6-
【解析】【详解】
(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意有q>0且解得
所以an=1+(n-1)d=2n-1, bn=qn-1=2n-1.
(2)=,
Sn=1+++…++,　①
2Sn=2+3++…++.　②
②-①,得Sn=2+2+++…+-
=2+2×(1+++…+)-,
=2+2×-=6-.
18．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.

区间
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50]
人数
25
a
b









(1)求正整数a，b，N的值；
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是
多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．
【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3） .
【解析】⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得，，
⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数
⑶利用列举法列出所有的组合方式共有种，其中满足条件的组合有种，利用古典概型概率公式求得结果
【详解】
(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以.
且 总人数
(2)因为第1,2,3组共有人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为， 第2组的人数为，第3组的人数为，
所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．
(3)由(2)可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为，，，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：
，，，，，，，，，，，，，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：，，，，，，，，共有8种．
所以恰有1人年龄在第3组的概率为.
【点睛】
本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．
19．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，．

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）过点作，垂足为，利用勾股定理证明，利用平面，证明，即可证明平面；
（2）证得平面，利用，即可求解的体积.
【详解】
(1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，
所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，
又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，
又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，
AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.
VE－BCF＝VC－BEF＝××BE×EF×CM＝×2×4×2＝.
【点睛】
本题考查线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
20．已知圆C：，直线l过定点．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【答案】（1）或
【解析】（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；
（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.
【详解】
（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线l1的方程是或.
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，
则圆心到直线l1的距离
又∵△CPQ的面积
＝
∴当d＝时，S取得最大值2.
∴＝ ∴ k＝1 或k＝7
所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
21．已知函数，的图象在点处的切线为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，求证：；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】（1）求导根据切线方程公式得到，解得答案.
（2）求导得到单调区间，计算得到证明.
（3）求导并利用（2）中结论，得到函数单调区间，，得到答案.
【详解】
（1），由已知得，解得，
故.
（2），得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴，从而,即
（3）令，，
∴，
由（2）可知当时，恒成立，
令，得；得．
∴的增区间为，减区间为，，
∴，∴实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了根据切线求参数，证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为求函数最值是解题的关键.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的转化，可直接求解，并将圆的一般方程化为标准方程即可.
（2）将直线参数方程代入圆的方程，可得关于的一元二次方程，根据参数方程的几何意义，即可求得.
【详解】
解：（1）

，
即圆的标准方程为.
（2）设直线圆的两个交点、分别对应参数，，则
将方程，
代入得：，
，，
，
由参数的几何意义知：，，
.
【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及线段关系求法，属于中档题.
23．设函数.
（1）证明：；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；
（2），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
【详解】
解：（1）证明：函数，
则
（当且仅当时取等号）.
(2).
当时，，
则；
当时，，
则；
当时，，
则，则的值域为.
不等式的解集非空，即为，解得，，由于，
则的取值范围是.
【点睛】
本题考查含绝对值不等式的证明与解法与基本不等式，难点在于分类讨论，属于难题