+辽宁省+大连市第三十七中学2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟试卷

这是一份+辽宁省+大连市第三十七中学2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟试卷，共29页。

2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如图，BC是⊙ O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝42°，则∠ACB等于（　　）

A．60° B．54° C．48° D．42°
2．（4分）如图，L1∥L2∥L3，下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）已知二次函数y＝x2+x+2与一次函数y＝2x﹣1在同一坐标系中的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
4．（4分）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）

A．1 B．3 C．π D．2π
5．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣1）经变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
6．（4分）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的坐标是（﹣3，），则点B'的坐标是（　　）

A．（3，﹣1） B．（4，﹣1） C．（5，﹣2） D．（6，﹣1）
7．（4分）⊙O的直径为15cm，若点P与点O的距离为8cm，点P的位置（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
8．（4分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡．坡高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（　　）

A． B． C．30° D．60°
9．（4分）如图，在△ABC中，点D在AC上，DE⊥BC，垂足为E，若AD＝2DC，AB＝4DE，则sinB等于（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为20π，扇形的圆心角为120°，则圆锥的全面积为（　　）
A．400π B．500π C．600π D．700π
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，那么这个正方形零件的边长应是　 　mm．

12．（3分）如图，是一个隧道的截面，若路面 AB 宽为6米，净高CD为9米，那么这个隧道所在圆的半径OA是　 　米．

13．（3分）抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c），则a、b、c的大小关系是　 　（用“＜”连接）．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝6，则点G的坐标为　 　 　．

15．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠B＝22.5°，CD＝10，则直径AB的长为 　 　．

16．（3分）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是　 　秒．
三．解答题（共2小题，满分22分）
17．（12分）计算：
（1）﹣sin30°；
（2）解方程x2﹣4x﹣3＝0．
18．（10分）如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）图中相似三角形有 　 　对；
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．

四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）
19．（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段AB扫过的面积．

20．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若抛物线上一点P在BC的上方，求四边形ABCP的最大面积．

21．（10分）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

22．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，E是AD延长线上一点，连接CD，CE．且∠DCE＝∠CAD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝10，求ED的长．

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．（10分）在△ABC中，点E、F分别在BC、AB边上，且∠BEF+∠BFE﹣∠B＝∠A．

（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，延长EF交CA的延长线于D，点G是线段CE上一点，且∠CDE＝∠BDG＝90°，若∠BFE＝2∠DBA，求∠DGB的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，EG＝AC，CD＝8，求△BDG的面积．
25．（10分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A重合，点F不与点B重合），联结EF，将△CEF沿着直线EF翻折后，点C恰好落在边AB上的点D处．过点D作DM⊥AB，交射线AC于点M．设AD＝x，，

（1）如图1，当点M与点C重合时，求的值；
（2）如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求AD的长．

2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝42°，则∠ACB等于（　　）

A．60° B．54° C．48° D．42°
【答案】C
【解答】解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝42°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝48°；
故选：C．

2．（4分）如图，L1∥L2∥L3，下列比例式中正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵L1∥L2∥L3，
∴＝，即＝，所以A选项错误，B选项正确；
＝，所以D选项错误；
同理C选项也错误．
故选：B．
3．（4分）已知二次函数y＝x2+x+2与一次函数y＝2x﹣1在同一坐标系中的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：根据题意联立方程可得，
即x2+x+2＝2x﹣1，
整理得x2﹣x+3＝0，
△＝1﹣12＝﹣11＜0，
则二次函数y＝x2+x+2与一次函数y＝2x﹣1没有交点，
故选：A．
4．（4分）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）

A．1 B．3 C．π D．2π
【答案】B
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为＝30°，OA＝1，
∴AC＝OA＝，
∴S△OAB＝×1×＝，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×＝3，
故选：B．

5．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣1）经变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
【答案】D
【解答】解：y＝（x+5）（x﹣1）＝（x+2）2﹣9，顶点坐标是（﹣2，﹣9）．
y＝（x+1）（x﹣5）＝（x﹣2）2﹣9，顶点坐标是（2，﹣9）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣1）向右平移4个单位长度得到抛物线y＝（x+1）（x﹣5），
故选：D．
6．（4分）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的坐标是（﹣3，），则点B'的坐标是（　　）

A．（3，﹣1） B．（4，﹣1） C．（5，﹣2） D．（6，﹣1）
【答案】A
【解答】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴＝＝＝，
解得，CE＝4，EB′＝1
则OE＝CE﹣OC＝3，
∴点B'的（3，﹣1）．
故选：A．

7．（4分）⊙O的直径为15cm，若点P与点O的距离为8cm，点P的位置（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
8．（4分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡．坡高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（　　）

A． B． C．30° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵坡高AC＝，水平距离BC＝1，
∴tanB＝，
∴斜坡AB的坡度为．
故选：A．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D在AC上，DE⊥BC，垂足为E，若AD＝2DC，AB＝4DE，则sinB等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：作AF⊥BC于点F，则有DE∥AF．
∵AD＝2DC，
∴DC：AC＝1：3＝DE：AF，
∴AF＝3DE．
∵AB＝4DE，
∴sinB＝＝．
故选：D．

10．（4分）圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为20π，扇形的圆心角为120°，则圆锥的全面积为（　　）
A．400π B．500π C．600π D．700π
【答案】A
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
根据题意得2πr＝20π，解得r＝10，
20π＝，解得l＝30，
所以圆锥的全面积＝π×102+×20π×30＝400π．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，那么这个正方形零件的边长应是　48　mm．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正方形PQMN的QM边在BC上，
∴PN∥BC，AD⊥BC，
∴AE⊥PN，
∴△APN∽△ABC，
∴．
设ED＝x，
∴PN＝MN＝ED＝x，
，
∴x＝48，
∴边长为48mm．
12．（3分）如图，是一个隧道的截面，若路面 AB 宽为6米，净高CD为9米，那么这个隧道所在圆的半径OA是　5　米．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为CD为高，
根据垂径定理：CD平分AB，
又路面AB宽为6米
则有：AD＝3 m，
设圆的半径是x米，
在Rt△AOD中，有OA2＝AD2+OD2，
即：x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，
所以圆的半径长是 5米．
故答案为5
13．（3分）抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c），则a、b、c的大小关系是　b＜a＜c　（用“＜”连接）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c）分别代入抛物线y＝x2+x+2得，
a＝9﹣3+2＝8，b＝4﹣2+2＝4，c＝9+3+2＝14；
因此有b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝6，则点G的坐标为　 　（6，3）　．

【答案】（6，3）．
【解答】解：∵正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴BG∥CD，＝，
∴△OBG∽△OCD，
∴＝＝，即，
解得：OB＝6，BG＝3，
∴点G的坐标为（6，3），
故答案为：（6，3）．
15．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠B＝22.5°，CD＝10，则直径AB的长为 　10　．

【答案】．
【解答】解：连接OD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝10，
∴CE＝DE＝5，AC＝AD，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠B＝22.5°，
∴∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝45°，
∴OE＝DE＝5，
在Rt△OED中，根据勾股定理可得，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（3分）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是　　秒．
【答案】．
【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t，
＝﹣3（t﹣）2+，
∴当t＝秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：．
三．解答题（共2小题，满分22分）
17．（12分）计算：
（1）﹣sin30°；
（2）解方程x2﹣4x﹣3＝0．
【答案】（1）5；
（2）x1＝2+，x2＝2﹣．
【解答】解：（1）原式＝3+1+2﹣＝；
（2）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（10分）如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）图中相似三角形有 　6　对；
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．

【答案】（1）6；
（2）△AED∽△ABC．理由见解析．
【解答】解：（1）如图，

∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∠BDF＝∠CEF＝90°，
∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，
∴△ADC∽△AEB，△BDF∽△CEF，
∵∠DBF＝∠ABE，∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴△BDF∽△BEA∽△CDA∽△CEF，
∴共有6对相似三角形，
故答案为：6；
（2）△AED∽△ABC．
理由：连接DE，

∵△ACD∽△ABE，
∴AD：AE＝AC：AB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）
19．（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段AB扫过的面积．

【答案】（1）作图见解析，点B1的坐标为（﹣3，﹣4）；
（2）作图见解析，4π．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（﹣3，﹣4）；

（2）如图2，△A2B2C2即为所求；

∵OB＝＝5，OA＝3，
∴线段AB扫过的面积＝﹣＝4π．
20．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若抛物线上一点P在BC的上方，求四边形ABCP的最大面积．

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）连接OP，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，如图，

令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3．
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3．
∵抛物线上一点P在BC的上方，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），则PF＝m，PE＝﹣m2+2m+3，
∵四边形ABCP的面积＝S△OAC+S△OCP+S△OBP，
∴四边形ABCP的最大面积＝OA•OC+OC•PF+OB•PE
＝1×3+3×m+3×（﹣m2+2m+3）
＝m﹣+3m+
＝﹣m+6
＝﹣+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，四边形ABCP的面积最大，四边形ABCP的最大面积为．
21．（10分）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

【答案】13.6米．
【解答】解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°＝，
即≈0.75，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：树BD的高度为13.6米．

22．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣500x+12000；
（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）2＜m≤6．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
又∵x为整数，
∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，
∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，E是AD延长线上一点，连接CD，CE．且∠DCE＝∠CAD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝10，求ED的长．

【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCE＝∠CAD．
∴∠DCE+∠OCD＝90°，
即半径OC⊥EC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠ECD＝∠EAC，∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EAC，
∴＝＝＝，
设ED＝3x，
则EC＝4x，AE＝3x+10，
又∵EC2＝ED•EA，
即（4x）2＝3x•（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴ED＝3x＝．

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．（10分）在△ABC中，点E、F分别在BC、AB边上，且∠BEF+∠BFE﹣∠B＝∠A．

（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，延长EF交CA的延长线于D，点G是线段CE上一点，且∠CDE＝∠BDG＝90°，若∠BFE＝2∠DBA，求∠DGB的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，EG＝AC，CD＝8，求△BDG的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，

∵∠BEF+∠BFE﹣∠B＝∠A，
∴∠BEF+∠BFE＝∠A+∠B，
∵∠BEF+∠BFE+∠B＝∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．

（2）如图2中，

∵∠CDE＝∠BDG＝90°，
∴∠BDE＝∠CDG，
∵∠BFE＝2∠DBA＝∠DBA+∠BDE，
∴∠DBA＝∠BDE＝∠CDG，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠DBA＝∠ACB+∠CDG，
∴∠DBG＝∠DGB，且∠BDG＝90°，
∴∠DGB＝∠DBG＝45°．

（3）如图3中，作DH⊥BC于H，GP∥AB交AC于P，GN⊥BC交AC于N，作AT⊥AB交BD的延长线于T，连接EN．

∵AB∥PG，
∴∠BAD＝∠DPG，∠PGC＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠PGC，
∴PG＝PC，
∵∠DBA＝∠GDP，DB＝DG，
∴△DBA≌△DGP（AAS），
∴AD＝PG＝PC，
∵∠PCG+∠CNG＝90°，∠PGC+∠PGN＝90°，
∴∠PNG＝∠PGN，
∴PG＝PN＝PC，
∵∠EGN＝∠EDN＝90°，
∴D，E，G，N四点共圆（可以取斜边中点证明四点共圆）
∴∠NEG＝∠GDN＝∠ABT，
∵∠EGN＝∠BAT＝90°，AB＝AC＝EG，
∴△BAT≌△EGN（ASA），
∴AT＝NG，
∵∠T+∠ABD＝90°，∠ADT+∠BDF＝90°，∠ABD＝∠BDF，
∴∠T＝∠ADT，
∴AD＝AT＝GN＝PC＝PN，
∴CN＝2GN，
∴∠C＝30°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∵△BGD是等腰直角三角形，DH⊥BG，
∴BH＝HG，
∴BG＝2DH＝8，
∴S△BGD＝•BG•DH＝×8×4＝16．
25．（10分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A重合，点F不与点B重合），联结EF，将△CEF沿着直线EF翻折后，点C恰好落在边AB上的点D处．过点D作DM⊥AB，交射线AC于点M．设AD＝x，，

（1）如图1，当点M与点C重合时，求的值；
（2）如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求AD的长．
【答案】（1）．
（2）（）．
（3）或．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴∠A＝60°，，AC＝2，
∵DM⊥AB，
∴∠ADM＝90°，
∵AC＝2，∠A＝60°，
∴，
由题意可得：，
∴．
（2）由题意可知：CE＝DE，CF＝DF，∠EDF＝∠C＝90°，
∴，
∵∠MDF+∠FDB＝90°，∠EDM+∠MDF＝90°，
∴∠FDB＝∠EDM，
在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∠A＝60°，AD＝x，
∴∠AMD＝30°，，
∴∠B＝∠AMD，
∴△FDB∽△EDM，
∴，
∵AD＝x，AB＝4，
∴DB＝4﹣x，
∴（）．
（3）①当点M在线段AC上时，
∵，
∴，
由（2）得△FDB∽△EDM，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，，
过点F作FH⊥AB，垂足为点H，

∴BH＝1，，
在Rt△DFH中，DH2＝DF2﹣FH2，
∴DH2＝（）2﹣（）2＝5，
∴（负值舍去），
∴．
②当点M在AC的延长线上时，
∵，
∴，
由题意得∠M＝∠B，∠EDM＝∠FDB，
∴△EDM∽△FDB，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
过点F作FG⊥AB，垂足为点G．

∴，，，
∴．
综上，或．