第4讲 抛物线（重难题型）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

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第4讲　抛物线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
突破二：抛物线标准方程
突破三：抛物线弦长
突破四：抛物线中点弦
突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值
突破六：抛物线中定点，定值问题
突破七：抛物线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、抛物线的定义
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
（2）抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
2、抛物线的简单几何性质
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形




范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标




准线方程




顶点坐标

离心率

通径长

3、直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程

(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
4、直线和抛物线
（1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
（2）抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ）
A．13 B．12 C．11 D．
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为弦的中点，为上一点，则的最小值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为为该抛物线上一点，且（点为坐标原点），则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．8
4．（2022·广西·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，满足，，则（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（理））已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为_____________．
7．（2022·四川·树德中学高二期中（理））已知M为抛物线上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为______．
8．（2022·河南·郑州外国语学校高二期中）若点满足方程，则点P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）

突破二：抛物线标准方程
1．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第二十二中学高二期中）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ）
A． B． C．或 D．或
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线过点，则其准线方程为___________.

突破三：抛物线弦长
1．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第二十二中学高二期中）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ）
A． B． C．或 D．或
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线过点，则其准线方程为___________.

突破四：抛物线中点弦
1．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝（    ）
A．4 B．5
C． D．
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））直线与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则的值为（    ）
A．或 B． C． D．
3．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2 =9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k=（    ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京二中高三阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为__________．
5．（2022·河南·濮阳南乐一高高二阶段练习（文））直线AB过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是_____________.
6．（2022·河南省浚县第一中学高二阶段练习）已知抛物线上的点（点位于第四象限）到焦点F的距离为5.
(1)求p，m的值；
(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点是线段的中点，求直线l的方程.



7．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及.




8．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
(1)若的倾斜角为且过点F，求；
(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．


突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值
1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ）
A．13 B．12 C．11 D．
2．（2022·陕西·西安市第三中学高二期中）已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ）
A．8 B．12 C．16 D．20
3．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的动点，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理））的最小值为（    ）
A． B． C． D．5
5．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知是抛物线上一点，则的最小值为______.
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末（理））已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为_______
7．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线焦点F作斜率分别为、的两条直线、，其中交抛物线C于A、B两点，交抛物线C于D、E两点，若，则的最小值为______．
8．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是_______.
9．（2022·河南·郑州市回民高级中学高二期中）已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________.


突破六：抛物线中定点，定值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知抛物线的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．



2．（2022·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；




3．（2022·广东广州·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B到F的距离为5，且B的纵坐标为．

(1)求抛物线C的标准方程与点B的坐标；
(2)设点M为抛物线C上异于A，B的点，直线MA与MB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：为定值，并求出定值．




4．（2022·江苏·南京市中华中学高二阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点．
(1)若M点坐标为（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由．


突破七：抛物线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.
（1）求和的值；
（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.


2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，且经过点
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上．




第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（    ）
A． B． C． D．1
2．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（    ）
A． B．3 C． D．4
3．（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线，则抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏连云港·高二期末）已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（    ）
A． B． C．或 D．
5．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知斜率为正数的直线过抛物线的焦点，且与的其中一个交点为，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知点是抛物线上的动点，焦点为F，点，则的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．
8．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ）
A．13 B．12 C．11 D．
9．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（    ）

A． B． C． D．
10．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））椭圆与抛物线的公共弦过公共焦点，且，则椭圆离心率（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2022·江苏连云港·高二期末）下列结论判断正确的是（    ）
A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程（，，）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线
D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则
12．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（    ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则△PMF的面积为2
C．|的最大值为
D．△PMF的周长的最小值为
三、填空题
13．（2022·山东·枣庄市第三中学高二阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.有抛物线（如图）一条平行轴的光线射向上一点点，经过的焦点射向上的点，再反射后沿平行轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是9，则的方程是__________.

14．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校高三阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，则的面积为______.
四、解答题
15．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．







16．（2022·全国·高三阶段练习）已知抛物线的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．








17．（2022·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；