专题02 首届新高考-数列大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

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一、解答题
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
2．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
3．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)议，当取得最小值时，求n的取值．
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，
(1)求和的通项公式;
(2)设满足 ，记的前项和为，求.
5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在等比数列和等差数列中，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，，记数列的前项积为，证明：．
9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和为，且满足，等差数列中，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，，求数列的前n项和．
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）数列中，，，记．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和；
(3)记，求的最大值与最小值．
11．（2023·云南保山·统考二模）已知是数列的前n项和，，______.
①，；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前6项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
14．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）设数列的前项和满足，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.
15．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知数列，满足：，，，．
(1)若是等比数列，求的前n项和．
(2)若是等比数列，则是否为等比数列？请阐述你的观点，并说明理由．
16．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列的前项和为是与的等差中项；数列中.
(1)求数列与的通项公式；
(2)若，证明：；
(3)设，求.
17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
18．（2023·安徽黄山·统考三模）已知数列的前项和为，.
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;
(2)若 ，求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
19．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列满足，．
(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
(2)若，，求k的取值范围．
20．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由．
21．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知正项数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前2023项的和.
22．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
23．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
24．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
25．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
26．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
27．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．
(1)求，，；
(2)求数列的前n项和．
28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，记，
(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．
(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．
29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
(1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
(2)设结束后，细胞数量为的概率为 .
（i）求；
（ii）证明：.
30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知Q：,,…,为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,,,…,,使得,则称Q为m连续可表数列.
(1)判断是否为7连续可表数列？是否为8连续可表数列？说明理由；
(2)若Q：,,…,为8连续可表数列,求证：k的最小值为4.