2023年高考数学真题模拟试题专项汇编：（14）坐标系与参数方程、不等式选讲（含答案）

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（14）坐标系与参数方程、不等式选讲——2023年高考数学真题模拟试题专项汇编1. 【2023年全国乙卷文科】[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线(为参数，).(1)写出的直角坐标方程；(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求m的取值范围.2. 【2023年全国甲卷理科】[选修4-4：坐标系与参数方程]已知点，直线(t为参数)，为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且.(1)求；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程.3. 【2023年全国乙卷文科】[选修4-5：不等式选讲]已知.(1)求不等式的解集；(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积.4. 【2023年全国甲卷理科】[选修4-5：不等式选讲]设，函数.(1)求不等式的解集；(2)若曲线与x轴所围成的图形的面积为2，求a.5. 【2023年四川绵阳模拟】在平面直角坐标中，曲线C的参数方程为(t为参数)(1)写出曲线C的普通方程；(2)若A、B是曲线上的两点且，求的最大值.6. 【2023年四川绵阳模拟】已知定义在R上的函数的最大值为p.(1)求p的值；(2)设，求证：.7. 【2023年广西省模拟】在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数，且)，曲线C与x轴交于A点，与y轴交于B.（1）求|AB|（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段AB为直径的圆M的极坐标方程.8. 【2023年广西省模拟】已知a，b均为正实数，且，证明:(1)；(2).9. 【2023年甘肃省模拟】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的参数方程；（2）设M是曲线上的动点，N是曲线上的动点，求的最大值.10. 【2023年甘肃省模拟】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）已知函数的最小值为m，且a，b，c都是正数，，证明：.

 答案以及解析1.答案：(1)(，)(2)解析：(1)，方程两边问时乘以，得，将，代入，得，又，所以的直角坐标方程为(，).(2)由的参数方程可得的普通方程为(，).数形结合可知，若直线与没有公共点，则或；若直线与没有公共点，可先求相切时的临界情况，即，得，所以当或时，直线与没有公共点.综上，当或时，直线与和均没有公共点，故m的取值范围为.2.答案：(1)(2)解析：(1)记点A，B对应的参数分别为，.令，得，令，得，则，所以，由题可知，所以或.因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴相交，所以.(2)根据(1)得直线l的参数方程为(t为参数)，转化为普通方程为，因为，，所以l的极坐标方程为.3.答案：(1)(2)8解析：(1)，当时，，得；当时，，得；当时，，得，与矛盾.综上，不等式的解集为.(2)如图所示，作出不等式组，即所确定的平面区域(图中阴影部分)，为，其中，，，直线与y轴交于点，所以.4.答案：(1)(2)解析：解法一：(1)求不等式的解集，即求不等式的解集，整理得，不等式两边同时平方，得，整理得因式分解得，因为，所以可得，故不等式的解集为.(2)设曲线与x轴的两个交点的横坐标分别为，，.令，得，即或，得，，故曲线与x轴的两个交点之间的距离，易得三角形不在x轴上的顶点的坐标为，所以三角形的面积，即，解得或(舍去)，故.解法二：(1)若，则，即，解得，得；(注：)若，则，解得，得.综上，不等式的解集为.(2)，作出的大致图象如图，曲线与x轴围成的图形即，易得，，，所以，的底边AB上的高为a，所以，解得或(舍去)，故.5.答案：(1)(2)2解析：(1)由曲线C的参数方程为，消去t可得：.(2)因为的半径为1，且A、B是曲线C上的两点，，所以，所以.不妨设点A对应的参数为，，则点B所对应的参数为，所以则，即点.所以.，，的最大值为，即当，时，的最大值为2.6.答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)，当且仅当时等号成立.，即.(2)依题意可知，则由柯西不等式得，，，即，当且仅当时，等号成立.7.答案：（1）（2）解析：（1）令，则，解得或(舍)，则，即.令，则，解得或(舍)，则，即.（2）由(1)可知，则以线段AB为直径的圆M的半径为，所以圆M的直角坐标方程为.由，可得，直线AB的极坐标方程为.8.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）由柯西不等式有，又，则，当且仅当时，取等号.（2），又，，当且仅当，即时取等号，.9.答案：（1）(为参数)（2）解析：（1）由曲线的极坐标方程为，得，即，即，所以由线的直角坐标方程为由圆锥曲线参数方程定义，得曲线的参数方程为(为参数).（2）由曲线的参数方程为(为参数)，得曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径.由題意可得设，易知的最大值为点N到圆心的距离的最大值再加上半径，歫，由二次函数性质可知，当时，，所以的最大值为.10.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）当时，，解得；当时，则有，解得当时，，解得.综上所述，不等式的解集为.（2）证明：由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故，所以，又因为a，b，c均为正数，所以当且仅当时，等号成立，故.