高考数学一轮复习课时训练：第10章 计数原理 54 Word版含解析（含答案）

【课时训练】第54节　二项式定理

一、选择题

1．(20 17 河南开封一模)5的展开式中常数项是(　　)

A．－5  B．5  C．－10  D．10

【答案】C

【解析】5的展开式的通项为Tr＋1＝C·5－r·r＝(－1)rC·2r·x，当r＝1时，Tr＋1为常数项，即T2＝－C·2＝－10.

2．(20 17辽宁葫芦岛二模)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

【答案】B

【解析】(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.

3．(2018 山西忻州模拟)若二项式n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为(　　)

A．6  B．10  C．12  D．15

【答案】C

【解析】由二项式n展开式的第5项C·()n－44＝16C·x－6是常数项，可得－6＝0，解得n＝12.

4．(2018山西四校联考)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)

A．－5  B．5  C．90  D．180

【答案】D

【解析】∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10·(1－x)10，∴a8＝C·22＝180.

5．(2018河南商丘二模)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)

A．1或3  B．－3  C．1  D．1或－3

【答案】D

【解析】令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或－3.

6．(2018 江西九江模拟)组合式C－2C＋4CC＋…＋(－2)nC的值等于(　　)

A．(－1)n  B．1  C．3n  D．3n－1

【答案】A

【解析】由(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn中，令x＝－2，得原式＝(1－2)n＝(－1)n.

7．(2018 山东济南调研)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)

A．－40  B．－20  C．20  D．40

【答案】D

【解析】令x＝1，依题意得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，又5的展开式通项Tr＋1＝(－1)rC·25－r·x5－2r，

∴5展开式中的常数项为C(－1)3·22＋C(－1)2·23＝40.

二、填空题

8．(2018郑州质量预测)二项式6的展开式中，含x2项的系数是________．

【答案】60

【解析】由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝Cx6－r·r＝Cx6－2r(－2)r，令6－2r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C(－2)2＝60.

9．(2018广州模拟)10展开式中的常数项为180，则a＝________.

【答案】±2

【解析】10展开式的通项为C()10－r·r＝arCx5－r，令5－r＝0，得r＝2，又a2C＝180，故a＝±2.

10．(2018 河北定州中学月考)设4的展开式中x2的系数为m，则直线y＝x与曲线y＝x2所围成的图形的面积为________．

【答案】

【解析】4的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr－4·x2r＝Cx3r－4，令3r－4＝2，得r＝2，则m＝C＝6.又直线y＝2x与曲线y＝x2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S＝0(2x－x2)dx＝＝.,三、解答题,11.(2018湖北七市联考)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.

(1)求n的值；

(2)求展开式中的常数项．

【解】(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，

∴2n＝256，解得n＝8.

(2)该二项展开式中的第r＋1项为

Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，

令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.

12．(2018广西桂林模拟)已知n.

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

【解】(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.

∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C4·23＝，

T5的系数为C3·24＝70，

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

∴T8的系数为C7·27＝3 432.

(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.

∴n＝12或n＝－13(舍去)．设第r＋1项的系数最大，

∵12＝12(1＋4x)12，

∴

∴9.4≤r≤10.4，又r∈N*，∴r＝10.

∴展开式中系数最大的项为第11项，T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.