2021届高三上学期期中备考Ⅱ数学（文）试卷 Word版含答案

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2020-2021学年上学期高三期中备考卷
文科数学2
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，故选A．
2．若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，故选D．
3．在数列中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以是公差为2等差数列，
因为，，所以，解得，
故选C．
4．已知函数（为自然对数的底数），若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，∴，
又在上是单调递减函数，故，故选D．
5．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为或，
所以是的充分不必要条件，故选A．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故B不正确；
当时，，，
由，得；由，得，
所以在上递减，在上递增，结合图像分析，A、C不正确，
故选D．
7．若非零向量、满足且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设与的夹角为，
由已知得，，则，
∵，∴，，解得，故选C．
8．已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】A
【解析】均为正实数，且，则，

，
当且仅当时取等号．
的最小值为20，故选A．
9．在正方体中，分别是，的中点，则（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】D
【解析】对于选项A，因为分别是，的中点，
所以点平面，点平面，
所以直线MN是平面的交线，
又因为直线在平面内，故直线MN与直线不可能平行，
故选项A错；
对于选项B，正方体中易知，
因为点是的中点，所以直线与直线不垂直，故选项B不对；
对于选项C，假设平面，可得．
因为是的中点，所以，这与矛盾，故假设不成立．
所以选项C不对；
对于选项D，分别取，的中点P、Q，连接PM、QN、PQ．
因为点是的中点，所以且．
同理且．
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以．
在正方体中，，，
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，所以平面，故选项D正确，
故选D．
10．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，
且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，成等差数列，可得，，
则，，，，
可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列．
则，
，
则的最大值可能为．
由，，可得，

，
因为，，，即，所以，
则，当且仅当时，，符合题意，
故的最大值为，故选A．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与双曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，焦距，
圆，即，
所以圆是以为圆心，半径为的圆，
，
可得是直角三角形，且是圆的直径，所以，
即，解得，
因为，所以，所以，
所以，故选A．
12．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，
令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一工厂生产了某种产品18000件，它们来自甲，乙，丙3个车间，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查，已知从甲，乙，丙3个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙车间生产的产品件数是________．
【答案】6000
【解析】设甲，乙，丙3个车间的产品件数分别为，，，
所以，解得，
所以这批产品中乙车间生产的产品件数是6000，故答案为6000．
14．已知，则__________．
【答案】
【解析】∵，∴，
又，∴，
本题正确结果．
15．已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当时，令，得，即，该方程至多两个根；
当时，令，得，该方程至多两个根，
由于函数恰有个不同的零点，则函数在区间和上均有两个零点．
由题意知，直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：

由图象可知，，解得；
函数在区间上也有两个零点，
令，解得，，
由题意可得，解得，
综上所述，实数的取值范围是，故答案为．
16．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”．离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则__________．
【答案】
【解析】设，，，，
则．
故答案为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．
（1）确定角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由及正弦定理得，
∵，∴，
∵是锐角三角形，∴．
（2）∵，面积为，∴，即．①
∵，∴由余弦定理得，即．②
由②变形得，
③将①代入③得，故．
18．（12分）如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且，，．

（1）证明：；
（2）求A到平面PBD的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由余弦定理得，
∴，∴，，
，∴．
又平面底面，平面底面，底面，

∴平面，
又平面，∴．
（2）设到平面的距离为，取中点，连结，
∵是等边三角形，∴．
又平面底面，平面底面，平面，
∴底面，且，
由（1）知平面，又平面，∴．
∴，即，解得．
19．（12分）在疫情防控中，不聚集、戴口罩、保持社交距离是对每个人的基本要求同时，通过运动健身增强体质，进而提升免疫力对个人防护也有着重要的意义，某机构为了解“性别与休闲方式为运动”是否有关，随机调查了个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人休闲方式是运动，而女性只有的人休闲方式是运动．
（1）完成下列列联表；
（2）若在犯错误的概率不超过0．05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？

运动
非运动
总计
男性



女性



总计



参考公式：，其中．

0．050
0．010
0．001

3．841
6．635
10．828
【答案】（1）列联表见解析；（2）140人．
【解析】（1）由题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；
被调查的女性人数应为，其中有人的休闲方式是运动，则列联表如下：

运动
非运动
总计
男性



女性



总计



（2）由表中数据，得，
要使在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为“性别与休闲方式有关”，
则，
所以，解得，
又且，所以，
即本次被调查的人数至少有140人．
20．（12分）己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，当的面积为时，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，，则，∴，
∴椭圆的方程为．
（2）设，，
联立，得，
∴，解得，
，，
∴，
又点到直线的距离为，
∵，解得，
∴．
21．（12分）已知（）．
（1）若对恒成立，求实数a范围；
（2）求证：对，都有．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
当时，对恒成立，则在上单调递增，
由，与题设矛盾；
当时，由，得；由，得，
在单调递减，在单调递增．
对成立，
令（），
（），
由，得；由，得．
在单调递增，在单调递减，
，
只有适合题意，
综上，a的取值范围是．
（2）由（1）可知，时，，则，
，
令，则，

，
由，知，则，
．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线（为参数，且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，．
（1）求与交点的直角坐标；
（2）若与相交于点A，与相交于点B，求最大值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为．
联立，解得或，
所以与交点的直角坐标为和．
（2）曲线的极坐标方程为，其中，
因此得到极坐标为，的极坐标为．
所以，
当时，取得最大值，最大值为．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）或．
【解析】（1）不等式可化为．
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即，
综上所述：不等式的解集为或．
（2）由不等式可得，
∵，∴，
即，解得或，
故实数的取值范围是或．