2023年辽宁省铁岭市中考数学毕业试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省铁岭市中考数学毕业试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省铁岭市中考数学毕业试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −5的绝对值是(    )
A. 15 B. 5 C. −5 D. −15
2. 下列运算正确的是(    )
A. 2a−a=2 B. (a2)3=a6 C. a2⋅a3=a6 D. (ab)2=ab2
3. 如图，李师傅做了一个零件，这个零件的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2=3.6，s乙2=4.6，s丙2=6.3，s丁2=2.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是(    )
A. y=x+4.512y=x−1 B. y=x−4.512y=x+1 C. y=x+4.52y=x−1 D. y=x−4.52y=x+1
6. 中午12点，身高为165cm的小冰的影长为55cm，同学小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为(    )
A. 180cm B. 175cm C. 172cm D. 170cm
7. 如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠COD，旋转角为α(0°<α<180°).若∠AOB=30°，∠BEC=40°，则∠α为(    )
A. 150°
B. 120°
C. 110°
D. 70°
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b2−4ac>0；③4a+b=1；④不等式ax2+(b−1)x+c<0的解集为1 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700000米，将6700000用科学记数法表示应为______．
10. 学校广播站将从3名校播音员(2男1女)中任选2名担任“校史讲解员”那么选出的2名校播音员恰好是一男一女的概率是______ ．
11. 关于x的方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，∠BPC= ______ °.


13. 如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在的反比例函数y=1x(x>0)与y=−5x(x<0)的图象上，则tan∠BAO的值为______ ．


14. 如图，在等边△ABC中，AB=12，点E为高AD上的一动点.将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到线段BF，连接DF，则DF的最小值为______ ．


三、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−aa+2)÷a2−4a2+4a+4，其中a=20−tan45°．
16. (本小题8.0分)
自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，某地为方便群众步行健身，决定对一段如图所示的坡路进行改造.改造前的斜AB=200米，坡角∠ABE=30°，将斜坡AB的高度AE降低20米(即AC=20米)后，斜坡AB改造为斜坡CD，且CE：ED=1：4.求斜坡CD的长(结果保留根号)．

17. (本小题10.0分)
某超市销售一种成本为每个20元的茶杯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每个28元.销售中平均每月销售量y(个)与销售单价x(元)的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：
x

22
24
…
y

90
80

(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)设超市每月该茶杯的销售利润为w(元)，当销售单价x(元)为多少时，该茶杯每月的销售利润w(元)最大？最大值是多少？
18. (本小题10.0分)
如图，在△ABD中，以AB为直径的⊙O分别与BD，AD相交于点C，E，BC=CD，过点C作⊙O的切线交边AD于点F．
(1)求证：CF⊥AD；
(2)若⊙O的半径为5，∠DCF=30°，求BC的长(结果保留π)．

19. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD，点P在射线CB上运动(不包含点B、C)，连接DP，交AB于点M，作BE⊥DP于点E，连接AE，作∠FAD=∠EAB，FA交DP于点F．
(1)如图1，当点P在CB的延长线上时，
①求证：DF=BE；
②请证明DE、BE、AE之间有如下的数量关系：DE=BE+ 2AE．
(2)如图2，当点P在线段BC上时，DE、BE、AE之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．


20. (本小题12.0分)
如图，一次函数y=−12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=−12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为(−1,0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−5的绝对值是5，
故选：B．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．

2.【答案】B 
【解析】解：A.因为2a−a=a，所以A选项不合题意；
B.因为(a2)3=a6，所以B选项正确；
C.因为a2⋅a3=a2+3=a5，所以C选项不合题意；
D.因为(ab)2=a2b2，所以D选项不合题意；
故选：B．
A.根据合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B.根据幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
C.根据同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案；
D.根据积的乘方法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了幂的乘方及积的乘方，同底数幂的乘法及合并同类项，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：从正面看，可得选项A的图形．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

4.【答案】D 
【解析】解：∵s甲2=3.6，s乙2=4.6，s丙2=6.3，s丁2=2.3，且平均数相等，
∴s丁2 ∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是丁．
故选：D．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查了方差，掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．

5.【答案】A 
【解析】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：
y=x+4.512y=x−1．
故选：A．
直接利用“绳长=木条+4.5；12绳子=木条−1”分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵小兵的身高小兵的影长=小雪的身高小雪的影长，
∴小雪的身高=小兵的身高小兵的影长×小雪的影长=16555×60=180(cm)．
故选：A．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查了相似三角形的应用以及平行投影，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

7.【答案】C 
【解析】解：∵∠BEC=40°，
∴∠BOC=2∠BEC=80°，
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+80°=110°，
即∠α=110°，
故选：C．
结合已知条件，利用圆周角定理可求得∠BOC的度数，再利用角的和差求得∠AOC的度数即可．
本题主要考查圆周角定理，此为圆中重要知识点，必须熟练掌握．

8.【答案】C 
【解析】解：①抛物线开口向上，则a>0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即△<0
∴△=b2−4ac<0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点(1,1)，(3,3)，即当x=1时，y=a+b+c=1，
当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，
∴8a+2b=2，即b=1−4a，
∴4a+b=1，故正确；
故正确；
④∵点(1,1)，(3,3)在直线y=x上，
由图象可知，当1 ∴ax2+(b−1)x+c<0的解集为1 故选：C．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

9.【答案】6.7×106 
【解析】
【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
【解答】
解：6700000=6.7×106．
故答案为6.7×106．  
10.【答案】23 
【解析】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，选出的2名同学恰好是一男一女的有4种情况，
∴选出的2名校播音员恰好是一男一女的概率是46=23，
故答案为：23．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名同学恰好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

11.【答案】m<4 
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4m>0，
解得m<4．
故答案为：m<4．
利用判别式的意义得到Δ=(−4)2−4m>0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

12.【答案】115 
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−40°)=70°，
根据作图过程可知：BP平分∠ABC，
∴∠PBC=12∠ABC=35°，
∵点D是AC的垂直平分线上的点，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=40°，
∴∠DCB=70°−40°=30°，
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠DCB=180°−35°−30°=115°．
故答案为：115．
根据作图过程可得BP平分∠ABC，点D是AC的垂直平分线上的点，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

13.【答案】 5 
【解析】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y=1x(x>0)与y=−5x(x<0)的图象上，
∴S△BDO=52，S△AOC=12，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴S△BODS△OAC=(OBOA)2=5212=5，
∴OBOA= 5，
∴tan∠BAO=OBOA= 5．
故答案为： 5．
过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO=52，S△AOC=12，根据相似三角形的性质得到S△BODS△OAC=(OBOA)2=5212=5，求得OBOA= 5，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

14.【答案】3 
【解析】解：如图，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB=BC=12，∠ABC=60°，∠BAD=30°，BD=CD=6，
∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到线段BF，
∴BF=BE，∠EBF=60°=∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠BCF=30°，
∴点F在过点C且与BC成30°的直线上运动，
∴当DF⊥CF时，DF有最小值，
∴DF的最小值=12CD=3，
故答案为：3．
由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得∠BAE=∠BCF=30°，则点F在过点C且与BC成30°的直线上运动，当DF⊥CF时，DF有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

15.【答案】解：(1−aa+2)÷a2−4a2+4a+4
=a+2−aa+2⋅(a+2)2(a+2)(a−2)
=2a+2⋅(a+2)2(a+2)(a−2)
=2a−2，
当a=20−tan45°=1−1=0时，原式=20−2=−1． 
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

16.【答案】解：在Rt△AEB中，∠E=90°，∠ABE=30°，AB=200米，
则AE=12AB=100米，
∵AC=20米，
∴CE=AB−AC=100−20=80(米)，
∵CE：ED=1：4，
∴ED=4CE=320米，
由勾股定理得：CD= CE2+ED2= 802+3202=80 17(米)，
答：斜坡CD的长为80 17米． 
【解析】根据直角三角形的性质求出AE，进而求出CE，根据坡度的概念求出DE，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．

17.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b，
则22k+b=9024k+b=80，
解得k=−5b=200，
∴y与x之间的函数关系式是y=−5x+200；
(2)由题意可得，
w=(x−20)(−5x+200)=−5x2+300x−4000=−5(x−30)2+500，
∵−5<0，
∴当x<30时，w随x的增大而增大，
∵20≤x≤28，
∴当x=28时，取得最大值，最大值是480，
∴当销售单价为28元时，该茶杯每月的销售利润最大，最大值是480元． 
【解析】(1)根据表格中的数据用待定系数法可以求得y与x之间的函数关系式；
(2)根据每月的销售利润=每个茶杯的销售利润×销售量可以求得w与x之间的函数关系式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．

18.【答案】(1)证明：如图，连接OC，AC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
∵BC=CD，OA=OB，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC//AD，
∴CF⊥AD；
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
∵BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴∠B=∠D，
又∵CF⊥AD，即∠CFD=90°，
∴∠D=90°−∠DCF=90°−30°=60°=∠B，
∵OB=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴∠BOC=60°，
∴BC的长为60π×5180=5π3． 
【解析】(1)根据切线的性质得出OC⊥CF，再根据三角形中位线定理得出OC//AD，由平行线的性质可得结论；
(2)利用圆周角定理、全等三角形以及三角形内角和定理求出∠B的度数，进而求出∠BOC的度数，由弧长计算公式进行计算即可．
本题考查切线的性质，圆周角定理以及弧长的计算，掌握切线的性质，弧长的计算公式以及圆周角定理是正确解答的前提．

19.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠ADM+∠AMD=90°，
∵BE⊥DP，
∴∠BEM=90°，
∴∠EBM+∠BME=90°，
∴∠EBM=∠ADM，
∵∠FAD=∠EAB，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴DF=BE．
②证明：由①得△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，
∴∠BAD=∠EAF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴EF= 2AE，
∴DE=DF+EF=BE+ 2AE．
(2)解：

，
延长CD交AF于点G，
由(1)可知：∠EBP=∠CDP，∠CDP=∠GDF，
∴∠ADF=∠ABE，∠FAD=∠EAB，AB=AD，
∴△EAB≌△FAD(ASA)，
∴EA=AF，DF=EB，
同(1)一样证明△EAF也是等腰直角三角形，
∴EF= 2AE，
∴EF=ED+DF，
∴ 2AE=ED+DF=ED+BE，
∴DE= 2AE−BE． 
【解析】(1)①由正方形性质△ABE≌△ADF，即可得出；
②证明△ABE≌△ADF，得出△EAF为直角三角形，再用勾股定理即可得出关系；
(2)根据正方形性质和已知条件得出△ABE≌△ADF，再得出△EAF为直角三角形，再用勾股定理即可得出关系．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的知识、等腰直角三角形的知识，有一定的难度，需认真分析．

20.【答案】解：(1)在y=−12x+1中，令x=0得y=1，令y=0得x=2，
∴A(2,0)，B(0,1)，
把B(0,1)，D(−1,0)代入y=12x2+bx+c得：
c=112−b+c=0，
解得b=32c=1，
∴二次函数的解析式为y=12x2+32x+1；
(2)如图：

在y=12x2+32x+1中，令y=0得0=12x2+32x+1，
解得x=−2或x=−1，
∴E(−2,0)，D(−1,0)，
∵A(2,0)，AD=3，
∴AE=4，
由y=−12x+1y=12x2+32x+1解得x=0y=1或x=−4y=3，
∴C(−4,3)，
∴S△ACE=12×4×3=6，S△ABD=12×3×1=1.5，
∴四边形BDEC的面积S=S△ACE−S△ABD=6−1.5=4.5，
∴四边形BDEC的面积为4.5；
(3)设P(m,0)，
∵B(0,1)，C(−4,3)，
∴BC2=20，PB2=m2+1，PC2=(m+4)2+9，
当P为直角顶点时，PB2+PC2=BC2，
∴m2+1+(m+4)2+9=20，
解得m=−1或m=−3，
∴P(−1,0)或(−3,0)；
当B为直角顶点时，PB2+BC2=PC2，
∴m2+1+20=(m+4)2+9，
解得m=−12，
∴P(−12,0)，
当C为直角顶点时，PC2+BC2=PB2，
∴(m+4)2+9+20=m2+1，
解得m=−112，
∴P(−112,0)，
综上所述，P的坐标为(−1,0)或(−3,0)或(−12,0)或(−112,0)． 
【解析】(1)求出A(2,0)，B(0,1)，再用待定系数法可得二次函数的解析式为y=12x2+32x+1；
(2)求出E(−2,0)，D(−1,0)，C(−4,3)，可得S△ACE=12×4×3=6，S△ABD=12×3×1=1.5，从而四边形BDEC的面积S=S△ACE−S△ABD=6−1.5=4.5；
(3)设P(m,0)，有BC2=20，PB2=m2+1，PC2=(m+4)2+9，分三种情况由勾股定理列方程可得答案．
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形和四边形面积，勾股定理等知识，解题的关键是有含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．