云南省曲靖市富源县第八中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份云南省曲靖市富源县第八中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，本卷命题范围， 的最小值为， 若条件p等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集运算计算出，再求其补集即可.
【详解】解：因为，则，
故.
故选：D.
2. 若，其中，则（ ）
A. 3B. 2C. -2D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】等式左侧展开，应用两个复数相等（实部等于实部且虚部等于虚部）列方程组求解即可.
【详解】∵
∴ 解得
故选：D.
3. 有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用瞬时速度定义即可求得该机器人在时刻时的瞬时速度.
【详解】该机器人在时刻时的瞬时速度为
故选：A
4. 抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先求出准线方程，再根据抛物线的定义求解.
【详解】对于抛物线 ， ， 准线方程为，
点A到焦点的距离为；
故选：C.
5. 的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，所以，
当且仅当，即时取等号；
故选：C
6. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】由题知，圆的圆心，半径.
因为，所以点在圆上，
所以过点的圆的切线与直线垂直，
设切线的斜率，则有，
即，解得.
因为直线与切线垂直，
所以，解得.
故选：B.
7. 已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为．则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得经过两点的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得，由椭圆的离心率公式计算可得选项.
【详解】解：因为经过两点的直线的方程为，又原点到直线的距离为，
所以，整理得，所以，
所以．又，所以，
故选：D.
8. 已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A. B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解.
【详解】由题意，函数为上的奇函数，且，即，
且当时，，
又由.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 若条件p：，且是q的充分不必要条件，则q可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意可得可推出表示的条件，而表示的条件推不出即可
【详解】因为条件p：，所以，
对于A，因为，可推出，而推不出，所以是的充分不必要条件，所以A正确，
对于B，因为不能推出，所以不是的充分不必要条件，所以B错误，
对于C，因为不能推出，所以不是的充分不必要条件，所以C错误，
对于D，因为，可推出，而推不出，所以是的充分不必要条件，所以D正确，
故选：AD
10. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知条件列方程可求出公比，然后逐个分析判断即可
【详解】依题意，公比，
因为，，
所以，得，解得或（舍去），
所以，所以A正确，
对于B，因为，，所以，所以B错误，
对于C，因为，，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以，
所以，所以D正确，
故选：AD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是图象的一条对称轴
C. 的最小正周期为
D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项A，根据两角和公式得到，即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，根据周期公式即可判断C正确，对选项D，根据三角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断D正确.
【详解】对选项A，
，
故A正确；
，故B错误；
对选项C，，C正确；
将的图象向左平移个单位后得，
定义域为，，
所以为偶函数，图象关于轴对称，D正确.
故选：ACD
12. 已知函数 ，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】理解题意就是函数 的导函数存在两个不同的零点，讨论导函数的图像即可.
【详解】∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，
∴ 有两个不同的解，
即得 有两个不同的解，
即的图象与 的图象有两个不同的交点，
，
∴当时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
∴时，y取得最小值 ，
又当时，，
函数图象如下：
∴当 时，的图象与 的图象有两个不同的交点，
结合选项可得实数a的值可能是 ， ；
故选：BC．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若与共线，则实数的值为_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据空间向量共线，设，得到方程组，求出.
【详解】因为与共线，所以存在，使得，
即，故，解得.
故答案为：2
14. 已知，则_________.
【答案】-2
【解析】
【分析】先求导，再代入即可.
【详解】因为，故.
故答案为：-2
15. 已知，，，则a，b，c的大小关系为__________.（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】根据函数单调性及中间值得到，比较出大小.
【详解】因为在上单调递减，故，
因为在R上单调递减，故，
因为在上单调递减，，
故，
所以.
故答案为：
16. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为，进而根据等体积法即可求解半径.
【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示，
连接AC和BD交于点O，
因为，，所以，，
又AC和BD交于点O，平面ABCD，所以平面ABCD，
所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，
距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H，
所以平面EBC，所以OH即为正八面体内切球半径，所以，
因为正八面体的棱长为2，
所以，，，
所以，，
因为，，所以，
即，所以正八面体内切球的表面积为：．
故答案：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得答案；
（2）利用正弦定理、余弦定理及面积公式计算可得答案..
【小问1详解】
由余弦定理可得，
因，所以；
【小问2详解】
因为，由正弦定理得，，
由余弦定理得，
解得舍去，，，
所以的面积；
18. 已知等差数列的公差不为0，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题可得，再利用等差数列的通项公式即得；
（2）利用裂项相消法可得，即证.
【小问1详解】
设数列的公差为，由题可知
，解得，
∴，
故的通项公式为.
【小问2详解】
∵，
∴，
记，
则
，
∴.
19. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得，；
（2）直接第60百分位数即可；
（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．
【小问1详解】
因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以；
【小问2详解】
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
【小问3详解】
第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，
共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
20. 如图，四棱柱的底面是正方形，为和的交点，
若．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【详解】分析：第一问把握题中的条件，挖掘有用的信息，找到垂直的条件，应用线面垂直的判定定理证得结果，第二问利用空间向量求二面角，先根据垂直关系，建立相应的空间直角坐标系，求出面的法向量，利用数量积与模求得余弦值，最后结合法向量的方向确定最后的结果.
详解：（1）证明：连接，
由题意知均是边长为2的等边三角形，
所以 ，所以．
因为底面是正方形，所以与垂直平分于点，
所以，且，
因为，所以，
因为平面，所以平面．
（2）由（1）可知平面，所以，
所以为二面角的平面角，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
所以二面角的余弦值为．
点睛：在解决立体几何问题时，第一问空间关系大都利用常规法证明，但是也可以应用空间向量来证明，尤其垂直的，借着向量的数量积等于零来确定垂直关系，第二问利用空间向量所成角来衡量二面角的时候，要注意结合法向量的方向，来确定是其补角还是其本事.
21. 已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的单调区间；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为（2）
【解析】
【分析】（1）根据是函数的一个极值点，得可求得a，再分析的正负，得的单调性；
（2）要使在上是增函数，则需对成立，分类讨论在的单调性，并且满足在的最小值大于或等于0，可求得范围.
【详解】（1）的定义域为，．
是的一个极值点，
，，
．
时，，，．
时，，，．
的单调减区间为，单调增区间为．
（2）在上是增函数，对成立，
令，
则，．
，时，在上是增函数，只要，．
当时，在上是减函数，在上是增函数，只要．
即，，．
综上a的取值范围是．
【点睛】本题考查函数的极值点就是导函数为零的点，利用导函数的正负研究原函数的单调性，和知原函数的单调性求参数的值的问题，解题时紧抓住导函数的正负反应了原函数的单调性的这一特点，属于难度题.
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得；
（2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围；
【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，
所以，设双曲线的焦距为2c，，
故，即．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将代入，可得，故．
将的面积为，
所以，即，
所以，，故双曲线E的方程为．
（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组消去y可得，，
所以解得，且
所以
．
联立方程组得，同理，
所以．
所以，其中，
所以．
【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.