四川省成都市石室中学2022-2023学年高三上学期一诊数学（文科）模拟试题7

这是一份四川省成都市石室中学2022-2023学年高三上学期一诊数学（文科）模拟试题7，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

成都石室中学高2023届数学一诊模拟试题7（文）
一、选择题
1．设复数满足，则的虚部是（    ）
A．2 B． C． D．
2．集合，，则（    ）
A． B． C． D．
3. 用最小二乘法得到一组数据（其中、、、、）的线性回归方程为，若，，则当时，的预报值为（ ）
A. B. C. D.
4．若，则（    ）
A． B． C． D．
5. 已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
6. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（    ）
A． B． C． D．
8．若函数f（x）=，则满足恒成立的实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
9．随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩，公园停车位严重不足.如图所示，公园里有一块扇形空地，其半径为，，为弧的中点，要在其内接矩形（点、分别在半径、上，点、在弧上，且）上修建停车场，则停车场面积最大值为（单位：）（    ）
A． B． C． D．
10. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
12. 已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题
13．若x、y满足约束条件则的最小值为______
14．己知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且，，成等比数列，则数列的通项公式________．
15.已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是______．
16．过抛物线的焦点的直线与交于两点.设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则__________.
三、解答题
17．已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且______，若数列满足，求的前项和.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②，；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.











18．某甜品公司开发了一款甜品，现邀请甲．乙两地部分顾客进行试吃，并收集顾客对该产品的意见以及评分，所得数据统计如下图所示．

（1）试通过计算比较甲乙两地顾客评分平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若按照分层抽样的方法从甲地分数在的顾客中抽取人，再从这人中随机抽取人，求恰有人的分数在的概率．







19．如图所示的矩形ABCD中，AB=AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．

(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；
(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．














20.如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．




























21．已知.
（1）设是的极值点，求的单调区间；
（2）若时，，求a的取值范围.






















22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设曲线与曲线的公共弦所在直线为l.（1）在直角坐标系下，求曲线与曲线的普通方程；（2）若以坐标原点为中心，直线l顺时针方向旋转后与曲线、曲线分别在第一象限交于A、B两点，求.
23.已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．























成都石室中学高2023届数学一诊模拟试题7
1．设复数满足，则的虚部是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的值，然后两边同除，最后用复数的除法运算求解.
【详解】
，即
所以的虚部是.
故选：C
2．集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解出集合A，B的具体区间，再按照交集的定义求解即可.
【详解】对于集合A， ；
对于集合B， ；
由于 ，
， ；
故选：D.
3. 用最小二乘法得到一组数据（其中、、、、）的线性回归方程为，若，，则当时，的预报值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【详解】由题意可得，，由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得.所以，回归直线方程为，当时，.故选：B.
4．若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即

故选：C.
5．已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出结论.
【详解】，即.
故选：A.
6. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6.【答案】D【详解】由函数的图象可知：在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，；当时，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集为：，故选：D.
7．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，设，可得的轨迹方程为，设点到的距离为，则，由几何关系求出，结合基本不等式求得，由点到直线距离公式可求直线的方程.
【详解】设，由得，
化简得的轨迹方程为，所以点，
设点到的距离为，则，
所以的面积，
等号成立时，即面积最大时，点到直线的距离为，
故直线不垂直于轴，设直线方程为，
即，则，
解得，所以直线方程为．
故选：A
8．若函数f（x）=，则满足恒成立的实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断函数f（x）=是上的奇函数，利用导函数可判断是上的增函数，恒成立等价于，分离得，令，则，经过分析知是上的偶函数，只需求在上的最大值，进而求得的取值范围.
【详解】因为，
所以是上的奇函数，
由
，
所以是上的增函数，
所以等价于：

即，
所以，
令，
则问题转化为：，
因为且定义域为，
所以是上的偶函数，
所以只需求在上的最大值即可.
当时，，
，
则当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得：，
即，
故选：A.
9.随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩，公园停车位严重不足.如图所示，公园里有一块扇形空地，其半径为，，为弧的中点，要在其内接矩形（点、分别在半径、上，点、在弧上，且）上修建停车场，则停车场面积最大值为（单位：）（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OP，设，利用正弦定理表示出PQ和PN的长，再用的表达式表示出矩形的面积，利用三角函数求解最值问题
【详解】连接OP，OC交PN于点E，设，四边形为矩形，并且，，又为弧的中点，，，，在直角三角形POE中，，，在中，，由正弦定理得，.矩形的面积
，由题意可得，，当时，矩形面积最大为.
故选：C

10. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 9.
【答案】D【详解】取的中点，则，，.，是的中点，，，
，，，，.故选：D．
11．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】采用整体代入法，求出当时，范围，由正弦函数图象特征确定满足的临界条件，解不等式即可求解.
【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图：

故必满足，解得.
故选：A
12. 已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 1
12.【答案】A【详解】令，则，若，则恒成立，时函数递增，无最值．若，由得，当时，，函数递增；当时，，函数递减．则处取得极大值，也为最大值，，，，令，，上，，上，，时，，的最小值为．故选：A．
13．若x、y满足约束条件则的最小值为______
【答案】##0.8
【分析】作出可行域，利用的几何意义求出最小值.
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方.
由图象知：OA的距离最小,为原点到直线的距离.
由,则的最小值为.
故答案为：
14．己知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且，，成等比数列，则数列的通项公式________．
【答案】
【分析】已知求通项公式，则我们采用作差法，作差公式为：.
【详解】∵对任意有，
∴当时，，解得或；
当时，有
由

整理得．
∵各项均为正数，∴．
当时，，此时，成立．
当时，，此时，不成立，故舍去，
所以，．
故答案为：
15. 【详解】设向量与的夹角为,由，可得，即，即关于恒成立,则，即故向量在方向上投影

16．过抛物线的焦点的直线与交于两点.设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则__________.
【答案】4
【分析】根据抛物线方程以及直线过焦点，联立直线和抛物线方程，由轴可知，点纵坐标为1，根据韦达定理及焦点弦公式即可求出的值.
【详解】解：易知的焦点为，直线斜率不存在时不符合题意；
设过的直线的斜率为，则，
将代入，得，
即.
设，，则，
所以，又因为点，轴，
所以点纵坐标为1，即，即
所以
，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，
所以，
即或（舍）
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：由点以及轴可知，点纵坐标为1，根据韦达定理即可得出直线斜率，再根据焦点弦公式以及可得的长，进而求出.


17．已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（2）各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且______，若数列满足，求的前项和.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②，；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.【详解】（1）设数列的公比为，由题意有，所以，所以，即，解得或
因为是递增的等比数列，所以，所以，所以，所以.
（2）选择①：因为，所以，，两式相减得，即，因为，所以
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因此，，
，两式相减得，即，所以.
选择②：由，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因此，以下同①；
选择③：由得，是以为首项为公差的等差的数列，，，所以，检验时也满足，所以，，以下同①.
18．【详解】（1）甲地顾客评分的平均数为：；
乙地顾客评分的平均数为：．甲地顾客评分的平均数大于乙地．
（2）由题意知：分数在的抽取人，记为，分数的抽取人，记为．则任取人，所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种；其中满足条件的为，，，，，，，，，，，，共种．所求概率．
19．【解析】（1）取线段EF的中点M，有GM∥平面BDF．证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，∵G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，∴GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，又GM⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，故GM∥平面BDF；

（2）∵CF∥DE，且AE与CF的夹角为60°，故AE与DE的夹角为60°，即，过D作DP⊥AE交AE于P，由已知得DE⊥EF，AE⊥EF，∴EF⊥平面AED，EF⊥DP,又AEEF=E,∴DP⊥平面AEFB，即DP为点D到平面ABFE的距离，且，设DE＝x，则AE＝BF＝4﹣x，由（1）知GM∥DF，，当且仅当4﹣x＝x时等号成立，此时x＝DE＝2．故三棱锥G﹣BDF的体积的最大值为，此时DE的长度为2．
20.如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．
（1）解：设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．……… 4分
（2）解：设，由题设知，直线MN的斜率存在，
不妨设直线MN的方程为，将代入，可得，则，同理．
由，可得，所以，即，… 6分
且，
由消去y并整理得，
则且，……… 8分
可得
……………………… 10分
又因为，所以
所以当时．……… 12分
21．21.【详解】（1）由题意，函数，可得，因为是的极值点，所以，解得，可得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知：当时，，即，因为，，则，从而，时，，则此时，可得，即，令，则，
①当时，由，则，从而时，，
于是在上单调递增，所以，符合题意；
②当时，令，得，从而当时，；时，，所以在上单调递减，
故当时，，不符合题意.
综上所述：实数a的取值范围是.
.
22.【详解】（1）圆的参数方程为（为参数），
其普通方程为，圆的极坐标方程为，化为普通方程为，
（2）由，两式作差可得：，即直线l的极坐标方程为（）；由题可知直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，不妨设，，其中，，则。
22.【详解】（1）圆的参数方程为（为参数），
其普通方程为，圆的极坐标方程为，化为普通方程为，
（2）由，两式作差可得：，即直线l的极坐标方程为（）；由题可知直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，不妨设，，其中，，则。
23.已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
（1）由题知，即．当时，．
当时，，解得，；
当时，，恒成立，；
当时，，解得，，
的解集为．…………………… 5分
（2）由，即．
令，，当且仅当时等号成立，
，，∴，解得或，
实数a的取值范围为．………… 10分