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2022-2023学年上海市宝山区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年上海市宝山区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市宝山区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数y=12x−1的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列方程有实数根的是( )
A. x4+1=0 B. x3+1=0 C. x−3+1=0 D. 1x−1=xx−1
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是( )
A. AD//BC−
B. AB=−CD
C. BO=DO
D. CO=OA
4. 上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程.如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是( )
A. 9x−91.5x=15 B. 91.5x−9x=0.25 C. 91.5x−9x=15 D. 9x−91.5x=0.25
5. 北京时间2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号运载火箭发射成功.某校六年级航天兴趣小组共16人，随机调查了六年级的部分学生对中国航天事业的关注程度.发现很多同学心中都有一个伟大的航天梦，那么“在该校六年级所有学生中随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，抽中的学生一定来自航天兴趣小组”是( )
A. 随机事件 B. 确定事件 C. 必然事件 D. 不可能事件
6. 如图，△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，那么下列判断中错误的是( )
A. 四边形ADEF是平行四边形．
B. 如果AB=AC，那么四边形ADEF是菱形
C. 如果∠A=90°，那么四边形ADEF是矩形
D. 如果△ABC是等腰直角三角形，那么四边形ADEF是正方形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. |AB+BA|= ______ ．
8. 一次函数y= 2x+2的图象在y轴上的截距是______ ．
9. 方程3x3=81的根是______ ．
10. 方程(x−2) 3−2x=0的根是______ ．
11. 已知直线y=3x+1与直线y=mx+2相交于点P(a,7)，那么m= ______ ．
12. 已知点A(m,2.5)，B(n,−1)都在一次函数y=7x+1的图象上，那么m与n的大小关系是______ ．
13. 已知点A是直线y=−3x+1在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是______ ．
14. 如果一个二十边形的每个内角都相等，那么它的每个外角的度数是______ ．
15. 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是______．
16. 七巧板游戏是中国人的智慧结晶.如图，七巧板是由7个几何图形组成的正方形，其中1、3、5、6、7是等腰直角三角形，4是正方形，2是平行四边形，一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在2号板区域的概率是______ ．
17. 如图，已知梯形ABCD，AB=AD=CD=4，∠BAD=120°，那么S梯形ABCD= ______ ．
18. 已知矩形ABCD，AB=3，把矩形ABCD沿直线BD翻折，点A落在点E处，如果CE的长度等于该矩形的一条边长，那么BD= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
解方程：1x−3+2=1−x3−x．
20. (本小题10.0分)
解方程组：x+y=2x2−4y2=0．
21. (本小题10.0分)
如图，已知点E在梯形ABCD的边AB上
(1)计算：AB+BC+CD= ______ ．
(2)设AD=a，AE=b，EC=c，
①试用向量a，b，c表示向量DC= ______ ：
②在图中求作：a+b(不要求写出作法，只需写出结论即可)
22. (本小题10.0分)
元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，舞马日行一百五十里，母马先行一十二日，问良马几何追及之.”它的大意是：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与每马行走路程s(单位：里)关于行走时间t(单位：日)的函数图象
(1)射线OA记为S1，射线BA记为S2那么良马行走路程S关于行走时间t的函数图象是______ ；(填S₁或S2)
(2)两图象交点A的坐标是______ ；
(3)求良马行走路程S关于行走时间t的函数解析式．
23. (本小题12.0分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD的中点，联结OE并延长至点F，使EF=EO，线联结DF、CF．
(1)求证：四边形DOCF是菱形；
(2)已知AB=6，∠DOE=30°，求AC的长．
24. (本小题12.0分)
如图，点A的坐标为(6,8)，点B、C在x轴上，且AB⊥x轴，AB=BC，直线AC与y轴交于点D，E是直线AC上的一个动点．
(1)求直线AC的表达式；
(2)当点E在线段AD上，联结OE，如果△ODE的面积是△OCD面积的一半，求点E的坐标；
(3)设点F是平面内一点，如果以A、E、B、F为顶点的四边形为正方形，试求出点F的坐标；
25. (本小题14.0分)
平行四边形ABCD中，E是边BC上的动点，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，F是边AD的中点，联结EF、FG．
(1)如图1，当E是边BC的中点时，如果四边形ABCD的面积为10，求△EFG的面积；
(2)如图2，点E移动至点C处，试判断△EFG形状，并说明理由；
(3)如图3，如果AB=AD=2，∠B=60°，设BE=x，S△EFG=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y=12x−1，
∴k=12>0，图象经过第一、三象限，
b=−1<0，直线与y轴负半轴相交，图象经过第四象限，
即一次函数y=12x−1的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
由k=12>0，可知图象经过第一、三象限，又b=−1<0，直线与y轴负半轴相交，图象经过第四象限，由此得解即可．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
2.【答案】B
【解析】解：A.x4+1=0，
x4=−1，
不论为何值，x4不能为负，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.x3+1=0，
x3=−1，
x=−1，即此方程有实数根，故本选项符合题意；
C. x−3+1=0，
x−3=−1，
不论为何值， x−3不能为负，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D.1x−1=xx−1，
去分母，得x=1，
经检验x=1不是方程的解，即方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
求出x4=−1，再根据偶次方的非负性判断即可；求出x=−1，再判断选项B即可；求出 x−3=−1，再根据算术平方根的非负性判断即可；去分母后求出x=1，再进行检验，再判断选项D即可．
本题考查了解一元二次方程，解无理方程和解分式方程等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：解无理方程和解分式方程一定要进行检验．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=CD，BO=OD，CO=OA，
∴AD//BC，AB=−CD，BO=OD，CO=OA，
∴选项C错误，选项A、B、D正确，
故选：C．
根据矩形的性质得出AD//BC，AB=CD，BO=OD，CO=OA，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，平面向量，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵甲的速度是乙的1.5倍，且乙的速度为x km/h，
∴甲的速度为1.5x km/h．
依题意得：9x−91.5x=0.25．
故选：D．
由甲、乙速度之间的关系可得出甲的速度为1.5x km/h，利用时间=路程÷速度，结合甲比乙提前15分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：“在该校六年级所有学生中随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，抽中的学生一定来自航天兴趣小组”是随机事件．
故选：A．
根据随机事件的定义进行解答即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴DE//AC，EF//AB，
∴DE//AF，EF//AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
故A不符合题意；
∵AD=12AB，AF=12AC，且AB=AC，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF是菱形，
故B不符合题意；
∵四边形ADEF是平行四边形，且∠A=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
故C不符合题意；
当△ABC是等腰直角三角形，且∠A=90°时，则四边形ADEF是矩形，
∵AB=AC，AD=12AB，AF=12AC，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF是正方形，
当△ABC是等腰直角三角形，且∠B=90°时，则AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∴四边形ADEF不是正方形，
∴当△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF不一定是正方形，
故D符合题意，
故选：D．
由D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，根据三角形的中位线定理得DE//AC，EF//AB，则四边形ADEF是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD=12AB，AF=12AC，且AB=AC，得AD=AF，则四边形ADEF是菱形，可判断B不符合题意；由四边形ADEF是平行四边形，且∠A=90°，证明四边形ADEF是矩形，可判断C不符合题意；当△ABC是等腰直角三角形，且∠A=90°时，则四边形ADEF是矩形，由AB=AC，AD=12AB，AF=12AC，得AD=AF，则四边形ADEF是正方形，当△ABC是等腰直角三角形，且∠B=90°时，则AB=BC，∠A=∠C=45°，则四边形ADEF不是正方形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定、菱形的定义、矩形的定义、正方形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形及特殊的平行四边形的定义和判定定理是解题的关键．
7.【答案】0
【解析】解：|AB+BA|
=|0|
=0．
故答案是：0．
根据共线向量和向量的模解答．
本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
8.【答案】2
【解析】解：∵当x=0时，y=2，
∴一次函数y= 2x+2的图象在y轴上的截距是2，
故答案为：2．
代入x=0求出y值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记代入x=0求出的y值即可该函数图象在y轴上的截距是解题的关键．
9.【答案】x=3
【解析】解：两边都除以3，得x3=27，
开立方，得x=3，
故答案为：x=3．
运用立方根知识进行求解．
此题考查了运用立方根进行有关方程求解的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
10.【答案】x=32
【解析】解：(x−2) 3−2x=0，
x−2=0或 3−2x=0，
解得：x=2或x=32，
经检验x=2不是原方程的解，x=32是原方程的解．
故答案为：x=32．
根据(x−2) 3−2x=0得出x−2=0或 3−2x=0，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能求出x−2=0和3−2x=0是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
11.【答案】52
【解析】解：∵直线y=3x+1经过点P(a,7)，
∴7=3a+1，
解得a=2，
∴P(2,7)，
∵直线y=3x+1与直线y=mx+2相交于点P(2,7)，
∴7=2m+2，
解得m=52，
故答案为：52．
首先把P(a,7)代入直线y=3x+1即可求出a的值，从而得到P点坐标，然后利用待定系数法即可求解．
此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握两函数图象的交点满足两个解析式．
12.【答案】m>n
【解析】解：∵k=7>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A(m,2.5)，B(n,−1)都在一次函数y=7x+1的图象上，且2.5>−1，
∴m>n．
故答案为：m>n．
由k=7>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合2.5>−1，即可得出m>n．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13.【答案】(14,14)或(12,−12)
【解析】解：当点A在第一象限时，y=x，
∴−3x+1=x，
解得：x=14，
∴此时点A的坐标为(14,14)；
当点A在第二或第四象限时，y=−x，
∴−3x+1=−x，
解得：x=12，
∴此时点A的坐标为(12,−12).
综上所述，点A的坐标是(14,14)或(12,−12).
故答案为：(14,14)或(12,−12).
分点A在第一象限及点A在第二或第四象限两种情况考虑，当点A在第一象限时，将y=x代入y=−3x+1中，解之可得出x的值，进而可得出点A的坐标；当点A在第二或第四象限时，将y=−x代入y=−3x+1中，解之可得出x的值，进而可得出点A的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
14.【答案】162°
【解析】解：∵二十边形的内角和=(20−2)⋅180°=3240°，
又∵二十边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数=3240°÷20=162°．
故答案为：162°．
根据多边形的内角和公式计算出内角和，再算出每个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于(n−2)⋅180°．
15.【答案】菱形
【解析】解：连接AC、BD，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=12BD，
同理，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EH=12BD，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，根据矩形的性质得到AC=BD，进而得出EH=HG=GF=FE，根据菱形的判定定理得出结论．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】18
【解析】解：设正方形边长为1，则其面积为1，
3号板是平行四边形，面积为12×14=18，
故它最终停留在3号板上的概率是18．
故答案为：18．
设大正方形的边长为1，先求出2号板区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
17.【答案】12 3
【解析】解：∵AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠ABC，∠A=∠ADC=120°，
∵AD//CB，
∴∠ADB=∠CBD，∠A+∠ABC=180°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC=2×4=8，BD= 3DC=4 3，
∴DH=12BD=2 3，
∴梯形ABCD的面积=12(AD+CB)⋅DH=12×(4+8)×2 3=12 3．
故答案为：12 3．
由条件知梯形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质，等腰三角形的性质推出∠DBC=30°，由直角三角形的性质求出BC，DH的长，由梯形面积公式即可求出梯形ABCD的面积．
本题考查梯形，直角三角形性质，关键是证明梯形ABCD是等腰梯形，求出∠DBC=30°，由直角三角形的性质求出BC，DH的长，即可解决问题．
18.【答案】2 3或6
【解析】解：当AD
∴AB=CD=3，AB//CD，∠BCD=90°，
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折得AB=EB，∠ABD=∠EBD，
∴CD=EB，∠CDB=∠EBD，
∴DF=BF，
∴CD−DF=EB−BF，
∴CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC，
∴∠FCE+∠FEC=2∠FEC=∠DFE，∠CDB+∠EBD=2∠EBD=∠DFE，
∴2∠FEC=2∠EBD，
∴∠FEC=∠EBD，
∵∠FEC=∠CBE，∠CBE+∠EBD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBE=∠EBD=∠CDB=13×90°=30°，
∴BC=12BD，
∴BD2−(12BD)2=32，
∴BD=2 3；
当AD>AB且CE=CD时，如图2，设ED交CB于点G，
∵AD=CB，AD=ED，
∴CB=ED，
∵AD//CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ADB=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
∴BG=DG，
∴CB−GB=ED−DG，
∴CF=EG，
∴∠GCE=∠GEC，
∴∠CBD+∠EDB=2∠CBD=∠CGD，∠GCE+∠GEC=2∠GCE=∠CGD，
∴2∠CBD=2∠GCE，
∴∠CBD=∠GCE，
∵EB=AB=CD，
∴EB=CE，
∴∠GCE=∠EBC，
∴∠CBD=∠EBC=∠EDB，
∵∠DEB=∠A=90°，
∴∠CBD+∠EBC+∠EDB=∠DBE+∠EDB=90°，
∴∠CBD=13×90°=30°，
∴BD=2CD=6，
综上所述，BD的长为2 3或6，
故答案为：2 3或6．
分两种情况，一是ADAB且CE=CD，设ED交CB于点G，可证明CF=EG，则∠GCE=∠GEC，再推导出∠CBD=∠EBC=∠EDB，求得∠CBD=13×90°=30°，则BD=2CD=6，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大．
19.【答案】解：原方程两边同乘(x−3)得：1+2(x−3)=x−1，
去括号得：1+2x−6=x−1，
移项，合并同类项得：x=4，
检验：将x=4代入(x−3)中得4−3=1≠0，
则原方程的解为：x=4．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
20.【答案】解：由 x2−4y2=0 得，
(x+2y)(x−2y)=0，
∴x+2y=0或x−2y=0，
当x+2y=0时，x=−2y，
把x=−2y代入x+y=2得，
−2y+y=2，
∴y=−2，
∴x=−2y=4
∴x=4y=−2，
当x−2y=0时，x=2y，
把x=2y代入x+y=2得，
2y+y=2，
∴y=13，
∴x=23，
∴x=23y=13，
方程组的解为：x=4y=−2或x=23y=13，
【解析】先将 x2−9y2=0 左边因式分解，得出x+3y=0或x−3y=0.然后分类讨论即可．
本题考查二先二次方程组的解法，关键将 x²−9y²=0 左边因式分解，转化为二元一次方程求解．
21.【答案】AD −a+b+c
【解析】解：(1)AB+BC+CD=AD．
故答案为：AD；
(2)①DC=DA+AE+EC=−a+b+c．
故答案为：−a+b+c．
②如图，AT即为所求．
(1)(2)利用三角形法则求解即可；
(3)作DT//AE，使得DT=AE，连接AT，AT即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
22.【答案】S2 (32,4800)
【解析】解：(1)根据题意，良马行走路程S关于行走时间t的函数图象是S2，
故答案为：S2；
(2)∵12×150240−150=20(天)，20+12=32(天)，20×240=4800(里)，
∴两图象交点A的坐标是(32,4800)；
故答案为：(32,4800)；
(3)根据题意，S=240(t−12)=240t−2880，
∴良马行走路程S关于行走时间t的函数解析式为S=240t−2880．
(1)根据题意直接可得良马行走路程S关于行走时间t的函数图象是S2；
(2)列式求出良马追上劣马所需的时间和行驶的路程即可得到A的坐标；
(3)由路程等于速度乘时间即可列出函数关系式．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵E是CD的中点，
∴CE=DE
在△ODE和△FCE中，
DE=CE∠DEO=∠CEFEO=EF，
∴△ODE≌△FCE(SAS)
∴OD=CF．
同理可得C=DF，
∴四边形ODFC是平行四边形
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，∠BCD=90°，AB=CD=6，AC=BD，
∵E为CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE//BC，
∴∠CBD=∠DOE=30°，
∴AC=BD=2CD=12．
【解析】(1)首先证明四边形ODFC是平行四边形，再由OD=OC即可推出四边形ODFC是菱形；
(2)由矩形的性质结合三角形的中位线定理证得OE//BC，由平行线的性质得到∠CBD=∠DOE=30°，根据含30度直角三角形的性质即可求出AC．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住菱形的判定方法，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵A(6,8)，B在x轴上，AB⊥x轴，
∴AB=8，BO=6
∵AB=BC，
∴BC=8，
所以CO=2，
∴C(−2,0)，
设直线AC表达式为：y=kx+b(k≠0)，过A(6,8)，C(−2,0)，
8=6k+b0=−2k+b，解得k=1b=2，
∴直线AC表达式为：y=x+2．
(2)∵直线AC与y轴交于点D，
令x=0，y=2，
∴D(0,2)
∵点E在直线AC上，
设E(x,x+2)，
S△COD=12CO⋅DO=2，
S△ODE=12OD⋅x=12S△COD=1
解得x=1，
∴点E(1,3)．
(3)∵点E在直线AC上，AB=BC
∴∠EAB=45°，
所以线段AE、AB不能同时做正方形的边，
①当AE为对角线，AB为边时，
∵∠EAB=45°，
∴当E与C重合时，四边形ABEF为正方形，
CF=AB=AF=CB=8，
∴F(−2,8)；
②当AE为边，AB为对角线时，
即E为AC的中点，△ABE为等腰直角三角形，此时E(2,4)，
四边形AEBF为正方形，EF与AB互相垂直平分且相等，
∴EF=AB=8，EF⊥AB，
∴F(10,4)；
综上：点F(−2,8)或(10,4)．
【解析】(1)根据题中AB=BC求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线表达式；
(2)求出点D的坐标，根据题中信息列出方程，解方程即可；
(3)A、B为定点，点E在直线AC上，所以∠EAB≠90°，故AB和AE不能同时做正方形的边，分类讨论：①当AE为对角线，AB为边时；②当AB为对角线，AE为边时．再利用正方形的性质求出答案．
本题以一次函数为背景考查了一次函数与几何的综合运用，考查学生对待定系数法、正方形的性质的掌握．本题难度适中，解决问题的关键是在动点问题中利用定点和确定的线段关系分类讨论，然后利用正方形的性质求解．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AF//BE，
∵E是边BC的中点，F是边AD的中点，
∴EF//AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴设平行四边形ABEF边EF上的高为h，
∴S△EFG=12EF⋅h=12S平行四边形ABEF=14S平行四边形ABCD=52；
(2)△EFG是等腰三角形，
理由：取BC的中点K，连接FK与CG交于点R，
由(1)可知EF//AB，
∵EG⊥AB，
∴R是CG的中点，∠FRG=∠BGC=90°，
∴FK垂直平分CG，
∴FG=FC，
∴△EFG是等腰三角形；
(3)过点G作GN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，
∵∠B=60°，∠BGE=90°，
∴∠BEG=30°，
∴BG=12BE=12x，
在Rt△BNG中，∠BGN=30°，
∴BN=12BG=14x，
∴NG= BG2−BN2= 34x，
∵∠BAM=30°，
∴BM=12AB=1，
∴AM= AB2−BM2= 3，
∴点G到AD的距离为AM−NG= 3− 34x，
∴y=S梯形ABEF−S△AFG−S△BGE
=12(x+1)× 3−12×( 3− 34x)×1−12x⋅ 34x
=− 38x2+5 38x，
∵E是边BC上的动点，BC=2，
∴0
(2)取BC的中点K，连接FK与CG交于点R，证出FG=FC，则可得出结论；
(3)过点G作GN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，由勾股定理及直角三角形的性质求出点G到AD的距离，由y=S梯形ABEF−S△AFG−S△BGE可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
2022-2023学年上海市宝山区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数y=12x−1的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列方程有实数根的是( )
A. x4+1=0 B. x3+1=0 C. x−3+1=0 D. 1x−1=xx−1
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是( )
A. AD//BC−
B. AB=−CD
C. BO=DO
D. CO=OA
4. 上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程.如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是( )
A. 9x−91.5x=15 B. 91.5x−9x=0.25 C. 91.5x−9x=15 D. 9x−91.5x=0.25
5. 北京时间2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号运载火箭发射成功.某校六年级航天兴趣小组共16人，随机调查了六年级的部分学生对中国航天事业的关注程度.发现很多同学心中都有一个伟大的航天梦，那么“在该校六年级所有学生中随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，抽中的学生一定来自航天兴趣小组”是( )
A. 随机事件 B. 确定事件 C. 必然事件 D. 不可能事件
6. 如图，△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，那么下列判断中错误的是( )
A. 四边形ADEF是平行四边形．
B. 如果AB=AC，那么四边形ADEF是菱形
C. 如果∠A=90°，那么四边形ADEF是矩形
D. 如果△ABC是等腰直角三角形，那么四边形ADEF是正方形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. |AB+BA|= ______ ．
8. 一次函数y= 2x+2的图象在y轴上的截距是______ ．
9. 方程3x3=81的根是______ ．
10. 方程(x−2) 3−2x=0的根是______ ．
11. 已知直线y=3x+1与直线y=mx+2相交于点P(a,7)，那么m= ______ ．
12. 已知点A(m,2.5)，B(n,−1)都在一次函数y=7x+1的图象上，那么m与n的大小关系是______ ．
13. 已知点A是直线y=−3x+1在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是______ ．
14. 如果一个二十边形的每个内角都相等，那么它的每个外角的度数是______ ．
15. 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是______．
16. 七巧板游戏是中国人的智慧结晶.如图，七巧板是由7个几何图形组成的正方形，其中1、3、5、6、7是等腰直角三角形，4是正方形，2是平行四边形，一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在2号板区域的概率是______ ．
17. 如图，已知梯形ABCD，AB=AD=CD=4，∠BAD=120°，那么S梯形ABCD= ______ ．
18. 已知矩形ABCD，AB=3，把矩形ABCD沿直线BD翻折，点A落在点E处，如果CE的长度等于该矩形的一条边长，那么BD= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
解方程：1x−3+2=1−x3−x．
20. (本小题10.0分)
解方程组：x+y=2x2−4y2=0．
21. (本小题10.0分)
如图，已知点E在梯形ABCD的边AB上
(1)计算：AB+BC+CD= ______ ．
(2)设AD=a，AE=b，EC=c，
①试用向量a，b，c表示向量DC= ______ ：
②在图中求作：a+b(不要求写出作法，只需写出结论即可)
22. (本小题10.0分)
元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，舞马日行一百五十里，母马先行一十二日，问良马几何追及之.”它的大意是：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与每马行走路程s(单位：里)关于行走时间t(单位：日)的函数图象
(1)射线OA记为S1，射线BA记为S2那么良马行走路程S关于行走时间t的函数图象是______ ；(填S₁或S2)
(2)两图象交点A的坐标是______ ；
(3)求良马行走路程S关于行走时间t的函数解析式．
23. (本小题12.0分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD的中点，联结OE并延长至点F，使EF=EO，线联结DF、CF．
(1)求证：四边形DOCF是菱形；
(2)已知AB=6，∠DOE=30°，求AC的长．
24. (本小题12.0分)
如图，点A的坐标为(6,8)，点B、C在x轴上，且AB⊥x轴，AB=BC，直线AC与y轴交于点D，E是直线AC上的一个动点．
(1)求直线AC的表达式；
(2)当点E在线段AD上，联结OE，如果△ODE的面积是△OCD面积的一半，求点E的坐标；
(3)设点F是平面内一点，如果以A、E、B、F为顶点的四边形为正方形，试求出点F的坐标；
25. (本小题14.0分)
平行四边形ABCD中，E是边BC上的动点，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，F是边AD的中点，联结EF、FG．
(1)如图1，当E是边BC的中点时，如果四边形ABCD的面积为10，求△EFG的面积；
(2)如图2，点E移动至点C处，试判断△EFG形状，并说明理由；
(3)如图3，如果AB=AD=2，∠B=60°，设BE=x，S△EFG=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y=12x−1，
∴k=12>0，图象经过第一、三象限，
b=−1<0，直线与y轴负半轴相交，图象经过第四象限，
即一次函数y=12x−1的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
由k=12>0，可知图象经过第一、三象限，又b=−1<0，直线与y轴负半轴相交，图象经过第四象限，由此得解即可．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
2.【答案】B
【解析】解：A.x4+1=0，
x4=−1，
不论为何值，x4不能为负，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.x3+1=0，
x3=−1，
x=−1，即此方程有实数根，故本选项符合题意；
C. x−3+1=0，
x−3=−1，
不论为何值， x−3不能为负，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D.1x−1=xx−1，
去分母，得x=1，
经检验x=1不是方程的解，即方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
求出x4=−1，再根据偶次方的非负性判断即可；求出x=−1，再判断选项B即可；求出 x−3=−1，再根据算术平方根的非负性判断即可；去分母后求出x=1，再进行检验，再判断选项D即可．
本题考查了解一元二次方程，解无理方程和解分式方程等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：解无理方程和解分式方程一定要进行检验．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=CD，BO=OD，CO=OA，
∴AD//BC，AB=−CD，BO=OD，CO=OA，
∴选项C错误，选项A、B、D正确，
故选：C．
根据矩形的性质得出AD//BC，AB=CD，BO=OD，CO=OA，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，平面向量，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵甲的速度是乙的1.5倍，且乙的速度为x km/h，
∴甲的速度为1.5x km/h．
依题意得：9x−91.5x=0.25．
故选：D．
由甲、乙速度之间的关系可得出甲的速度为1.5x km/h，利用时间=路程÷速度，结合甲比乙提前15分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：“在该校六年级所有学生中随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，抽中的学生一定来自航天兴趣小组”是随机事件．
故选：A．
根据随机事件的定义进行解答即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴DE//AC，EF//AB，
∴DE//AF，EF//AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
故A不符合题意；
∵AD=12AB，AF=12AC，且AB=AC，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF是菱形，
故B不符合题意；
∵四边形ADEF是平行四边形，且∠A=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
故C不符合题意；
当△ABC是等腰直角三角形，且∠A=90°时，则四边形ADEF是矩形，
∵AB=AC，AD=12AB，AF=12AC，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF是正方形，
当△ABC是等腰直角三角形，且∠B=90°时，则AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∴四边形ADEF不是正方形，
∴当△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF不一定是正方形，
故D符合题意，
故选：D．
由D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，根据三角形的中位线定理得DE//AC，EF//AB，则四边形ADEF是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD=12AB，AF=12AC，且AB=AC，得AD=AF，则四边形ADEF是菱形，可判断B不符合题意；由四边形ADEF是平行四边形，且∠A=90°，证明四边形ADEF是矩形，可判断C不符合题意；当△ABC是等腰直角三角形，且∠A=90°时，则四边形ADEF是矩形，由AB=AC，AD=12AB，AF=12AC，得AD=AF，则四边形ADEF是正方形，当△ABC是等腰直角三角形，且∠B=90°时，则AB=BC，∠A=∠C=45°，则四边形ADEF不是正方形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定、菱形的定义、矩形的定义、正方形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形及特殊的平行四边形的定义和判定定理是解题的关键．
7.【答案】0
【解析】解：|AB+BA|
=|0|
=0．
故答案是：0．
根据共线向量和向量的模解答．
本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
8.【答案】2
【解析】解：∵当x=0时，y=2，
∴一次函数y= 2x+2的图象在y轴上的截距是2，
故答案为：2．
代入x=0求出y值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记代入x=0求出的y值即可该函数图象在y轴上的截距是解题的关键．
9.【答案】x=3
【解析】解：两边都除以3，得x3=27，
开立方，得x=3，
故答案为：x=3．
运用立方根知识进行求解．
此题考查了运用立方根进行有关方程求解的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
10.【答案】x=32
【解析】解：(x−2) 3−2x=0，
x−2=0或 3−2x=0，
解得：x=2或x=32，
经检验x=2不是原方程的解，x=32是原方程的解．
故答案为：x=32．
根据(x−2) 3−2x=0得出x−2=0或 3−2x=0，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能求出x−2=0和3−2x=0是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
11.【答案】52
【解析】解：∵直线y=3x+1经过点P(a,7)，
∴7=3a+1，
解得a=2，
∴P(2,7)，
∵直线y=3x+1与直线y=mx+2相交于点P(2,7)，
∴7=2m+2，
解得m=52，
故答案为：52．
首先把P(a,7)代入直线y=3x+1即可求出a的值，从而得到P点坐标，然后利用待定系数法即可求解．
此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握两函数图象的交点满足两个解析式．
12.【答案】m>n
【解析】解：∵k=7>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A(m,2.5)，B(n,−1)都在一次函数y=7x+1的图象上，且2.5>−1，
∴m>n．
故答案为：m>n．
由k=7>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合2.5>−1，即可得出m>n．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13.【答案】(14,14)或(12,−12)
【解析】解：当点A在第一象限时，y=x，
∴−3x+1=x，
解得：x=14，
∴此时点A的坐标为(14,14)；
当点A在第二或第四象限时，y=−x，
∴−3x+1=−x，
解得：x=12，
∴此时点A的坐标为(12,−12).
综上所述，点A的坐标是(14,14)或(12,−12).
故答案为：(14,14)或(12,−12).
分点A在第一象限及点A在第二或第四象限两种情况考虑，当点A在第一象限时，将y=x代入y=−3x+1中，解之可得出x的值，进而可得出点A的坐标；当点A在第二或第四象限时，将y=−x代入y=−3x+1中，解之可得出x的值，进而可得出点A的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
14.【答案】162°
【解析】解：∵二十边形的内角和=(20−2)⋅180°=3240°，
又∵二十边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数=3240°÷20=162°．
故答案为：162°．
根据多边形的内角和公式计算出内角和，再算出每个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于(n−2)⋅180°．
15.【答案】菱形
【解析】解：连接AC、BD，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=12BD，
同理，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EH=12BD，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，根据矩形的性质得到AC=BD，进而得出EH=HG=GF=FE，根据菱形的判定定理得出结论．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】18
【解析】解：设正方形边长为1，则其面积为1，
3号板是平行四边形，面积为12×14=18，
故它最终停留在3号板上的概率是18．
故答案为：18．
设大正方形的边长为1，先求出2号板区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
17.【答案】12 3
【解析】解：∵AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠ABC，∠A=∠ADC=120°，
∵AD//CB，
∴∠ADB=∠CBD，∠A+∠ABC=180°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC=2×4=8，BD= 3DC=4 3，
∴DH=12BD=2 3，
∴梯形ABCD的面积=12(AD+CB)⋅DH=12×(4+8)×2 3=12 3．
故答案为：12 3．
由条件知梯形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质，等腰三角形的性质推出∠DBC=30°，由直角三角形的性质求出BC，DH的长，由梯形面积公式即可求出梯形ABCD的面积．
本题考查梯形，直角三角形性质，关键是证明梯形ABCD是等腰梯形，求出∠DBC=30°，由直角三角形的性质求出BC，DH的长，即可解决问题．
18.【答案】2 3或6
【解析】解：当AD
∴AB=CD=3，AB//CD，∠BCD=90°，
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折得AB=EB，∠ABD=∠EBD，
∴CD=EB，∠CDB=∠EBD，
∴DF=BF，
∴CD−DF=EB−BF，
∴CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC，
∴∠FCE+∠FEC=2∠FEC=∠DFE，∠CDB+∠EBD=2∠EBD=∠DFE，
∴2∠FEC=2∠EBD，
∴∠FEC=∠EBD，
∵∠FEC=∠CBE，∠CBE+∠EBD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBE=∠EBD=∠CDB=13×90°=30°，
∴BC=12BD，
∴BD2−(12BD)2=32，
∴BD=2 3；
当AD>AB且CE=CD时，如图2，设ED交CB于点G，
∵AD=CB，AD=ED，
∴CB=ED，
∵AD//CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ADB=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
∴BG=DG，
∴CB−GB=ED−DG，
∴CF=EG，
∴∠GCE=∠GEC，
∴∠CBD+∠EDB=2∠CBD=∠CGD，∠GCE+∠GEC=2∠GCE=∠CGD，
∴2∠CBD=2∠GCE，
∴∠CBD=∠GCE，
∵EB=AB=CD，
∴EB=CE，
∴∠GCE=∠EBC，
∴∠CBD=∠EBC=∠EDB，
∵∠DEB=∠A=90°，
∴∠CBD+∠EBC+∠EDB=∠DBE+∠EDB=90°，
∴∠CBD=13×90°=30°，
∴BD=2CD=6，
综上所述，BD的长为2 3或6，
故答案为：2 3或6．
分两种情况，一是AD
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大．
19.【答案】解：原方程两边同乘(x−3)得：1+2(x−3)=x−1，
去括号得：1+2x−6=x−1，
移项，合并同类项得：x=4，
检验：将x=4代入(x−3)中得4−3=1≠0，
则原方程的解为：x=4．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
20.【答案】解：由 x2−4y2=0 得，
(x+2y)(x−2y)=0，
∴x+2y=0或x−2y=0，
当x+2y=0时，x=−2y，
把x=−2y代入x+y=2得，
−2y+y=2，
∴y=−2，
∴x=−2y=4
∴x=4y=−2，
当x−2y=0时，x=2y，
把x=2y代入x+y=2得，
2y+y=2，
∴y=13，
∴x=23，
∴x=23y=13，
方程组的解为：x=4y=−2或x=23y=13，
【解析】先将 x2−9y2=0 左边因式分解，得出x+3y=0或x−3y=0.然后分类讨论即可．
本题考查二先二次方程组的解法，关键将 x²−9y²=0 左边因式分解，转化为二元一次方程求解．
21.【答案】AD −a+b+c
【解析】解：(1)AB+BC+CD=AD．
故答案为：AD；
(2)①DC=DA+AE+EC=−a+b+c．
故答案为：−a+b+c．
②如图，AT即为所求．
(1)(2)利用三角形法则求解即可；
(3)作DT//AE，使得DT=AE，连接AT，AT即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
22.【答案】S2 (32,4800)
【解析】解：(1)根据题意，良马行走路程S关于行走时间t的函数图象是S2，
故答案为：S2；
(2)∵12×150240−150=20(天)，20+12=32(天)，20×240=4800(里)，
∴两图象交点A的坐标是(32,4800)；
故答案为：(32,4800)；
(3)根据题意，S=240(t−12)=240t−2880，
∴良马行走路程S关于行走时间t的函数解析式为S=240t−2880．
(1)根据题意直接可得良马行走路程S关于行走时间t的函数图象是S2；
(2)列式求出良马追上劣马所需的时间和行驶的路程即可得到A的坐标；
(3)由路程等于速度乘时间即可列出函数关系式．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵E是CD的中点，
∴CE=DE
在△ODE和△FCE中，
DE=CE∠DEO=∠CEFEO=EF，
∴△ODE≌△FCE(SAS)
∴OD=CF．
同理可得C=DF，
∴四边形ODFC是平行四边形
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，∠BCD=90°，AB=CD=6，AC=BD，
∵E为CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE//BC，
∴∠CBD=∠DOE=30°，
∴AC=BD=2CD=12．
【解析】(1)首先证明四边形ODFC是平行四边形，再由OD=OC即可推出四边形ODFC是菱形；
(2)由矩形的性质结合三角形的中位线定理证得OE//BC，由平行线的性质得到∠CBD=∠DOE=30°，根据含30度直角三角形的性质即可求出AC．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住菱形的判定方法，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵A(6,8)，B在x轴上，AB⊥x轴，
∴AB=8，BO=6
∵AB=BC，
∴BC=8，
所以CO=2，
∴C(−2,0)，
设直线AC表达式为：y=kx+b(k≠0)，过A(6,8)，C(−2,0)，
8=6k+b0=−2k+b，解得k=1b=2，
∴直线AC表达式为：y=x+2．
(2)∵直线AC与y轴交于点D，
令x=0，y=2，
∴D(0,2)
∵点E在直线AC上，
设E(x,x+2)，
S△COD=12CO⋅DO=2，
S△ODE=12OD⋅x=12S△COD=1
解得x=1，
∴点E(1,3)．
(3)∵点E在直线AC上，AB=BC
∴∠EAB=45°，
所以线段AE、AB不能同时做正方形的边，
①当AE为对角线，AB为边时，
∵∠EAB=45°，
∴当E与C重合时，四边形ABEF为正方形，
CF=AB=AF=CB=8，
∴F(−2,8)；
②当AE为边，AB为对角线时，
即E为AC的中点，△ABE为等腰直角三角形，此时E(2,4)，
四边形AEBF为正方形，EF与AB互相垂直平分且相等，
∴EF=AB=8，EF⊥AB，
∴F(10,4)；
综上：点F(−2,8)或(10,4)．
【解析】(1)根据题中AB=BC求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线表达式；
(2)求出点D的坐标，根据题中信息列出方程，解方程即可；
(3)A、B为定点，点E在直线AC上，所以∠EAB≠90°，故AB和AE不能同时做正方形的边，分类讨论：①当AE为对角线，AB为边时；②当AB为对角线，AE为边时．再利用正方形的性质求出答案．
本题以一次函数为背景考查了一次函数与几何的综合运用，考查学生对待定系数法、正方形的性质的掌握．本题难度适中，解决问题的关键是在动点问题中利用定点和确定的线段关系分类讨论，然后利用正方形的性质求解．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AF//BE，
∵E是边BC的中点，F是边AD的中点，
∴EF//AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴设平行四边形ABEF边EF上的高为h，
∴S△EFG=12EF⋅h=12S平行四边形ABEF=14S平行四边形ABCD=52；
(2)△EFG是等腰三角形，
理由：取BC的中点K，连接FK与CG交于点R，
由(1)可知EF//AB，
∵EG⊥AB，
∴R是CG的中点，∠FRG=∠BGC=90°，
∴FK垂直平分CG，
∴FG=FC，
∴△EFG是等腰三角形；
(3)过点G作GN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，
∵∠B=60°，∠BGE=90°，
∴∠BEG=30°，
∴BG=12BE=12x，
在Rt△BNG中，∠BGN=30°，
∴BN=12BG=14x，
∴NG= BG2−BN2= 34x，
∵∠BAM=30°，
∴BM=12AB=1，
∴AM= AB2−BM2= 3，
∴点G到AD的距离为AM−NG= 3− 34x，
∴y=S梯形ABEF−S△AFG−S△BGE
=12(x+1)× 3−12×( 3− 34x)×1−12x⋅ 34x
=− 38x2+5 38x，
∵E是边BC上的动点，BC=2，
∴0
(2)取BC的中点K，连接FK与CG交于点R，证出FG=FC，则可得出结论；
(3)过点G作GN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，由勾股定理及直角三角形的性质求出点G到AD的距离，由y=S梯形ABEF−S△AFG−S△BGE可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
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