2022-2023学年河北省石家庄市正定县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市正定县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省石家庄市正定县七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有(    )


A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
2. 下列是二元一次方程的是(    )
A. x+2y=3 B. x2+y=1 C. y+1x=2 D. 2x−1=5
3. 在等式x2⋅(−x)⋅=x11中，括号内的代数式为(    )
A. x8 B. (−x)8 C. −x9 D. −x8
4. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(    )


A. 10° B. 20° C. 50° D. 70°
5. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为120000，把120000用科学记数法表示为(    )
A. 5×10−4 B. 2×10−4 C. 5×10−5 D. 2×10−5
6. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是(    )
A. (a+1)(a−1)=a2−1 B. x2+2x+1=x(x+2)+1
C. a2−6a+9=(a−3)2 D. −18x4y3=−6x2y2⋅3x2y
7. 如果(m+3)x>2m+6的解集为x<2，那么m的取值范围是(    )
A. m<0 B. m<−3 C. m>−3 D. m是任意实数
8. 如图，将△ABC折叠，使点B落在AB边B′处，展开后得到折痕h，则h是△ABC的(    )
A. 高线
B. 角平分线
C. 中线
D. 中位线
9. 已知三角形的三边长分别是3，8，x；若x的值为偶数，则x的值有(    )
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>26”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则x最小整数值取多少(    )


A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
11. 如图，已知“〇”“□”“△”分别表示三种不同物体，用天平比较它们的质量大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”“□”“△”的物体按质量从大到小的顺序排列为(    )


A. 〇□△ B. 〇△□ C. □〇△ D. △□〇
12. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B=48°，∠C=68°，则∠DAE的度数是(    )
A. 10°
B. 12°
C. 14°
D. 16°
13. 如图，下列条件中，能判定DE//AC的是(    )
A. ∠BED=∠EFC
B. ∠1=∠2
C. ∠BEF+∠B=180°
D. ∠3=∠4


14. 某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x 人，分成y 个小组，则可得方程组(    )
A. 7x+4=y8x−3=y B. 7y=x+48y+3=x C. 7y=x−48y=x+3 D. 7y=x+48y=x+3
15. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，点F在BE上，且EF=2BF，若S△BCF=3，则S△ABC=(    )
A. 9
B. 12
C. 16
D. 18
16. 对于关于x，y的二元一次方程组x−y=3ax+3y=2−a，甲、乙两人的判断如下.甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a=−1；乙：无论a取何值，x+2y的值始终不变.则(    )
A. 甲的判断正确 B. 乙的判断正确
C. 甲、乙的判断都正确 D. 甲、乙的判断都不正确
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
17. (−2)2−(π−1)0+(14)−1= ______ ．
18. 已知4y2+my+9是完全平方式，把4y2+my+9分解因式得：______ ．
19. 若关于x的不等式组x−a>3x+23−1>x−12无解，则a的取值范围是______ ．
20. (1)如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是______ ；
(2)在图1中的任一小三角形内任取一点P2(如图2)，则图中互不重叠的所有角的和是______ ；
(3)以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是______ (用含n的代数式表示)．


三、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
请你阅读老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．
老师：我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a⊕b=4a−3b．
例如：5⊕6=4×5−3×6=2．
(1)若x⊕y=1，x⊕2y=−2，分别求出x和y的值；
(2)若满足x⊕2≤0，且3x⊕(−8)>0，求x的取值范围．
22. (本小题9.0分)
如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M，P；
(2)将整式P因式分解．

23. (本小题9.0分)
如图，将两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形．

(1)若图1中的阴影部分面积为a2−b2，则图2中的阴影部分面积为______ (用含字母a，b的代数式表示)；
(2)由(1)你可以得到的等式是______ ；
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
①若x2−y2=16，x−y=2，则x+y= ______ ；
②计算：77.752−22.252．
③解方程：(x+1)2−(x−1)2=−8．
24. (本小题8.0分)
如图1，∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，AB//CD．

(1)若∠FAB=150°，则∠HCD= ______ ．
(2)嘉嘉同学发现：无论∠FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图2，过点A作AM//FH，交CD于点M，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．
(3)如图3，把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=120°”，其他条件保持不变，直接写出∠FAB与∠HCD的数量关系．
25. (本小题10.0分)
2022年冬奥会上智慧化全覆盖，机器人得到广泛应用，冬奥会组委会针对不同的物品运送场景选取了几个不同类型的智能物流机器人.这样不仅能高效运输，同时也能减少人员接触.具体运输情况如表所示：

A型机器人/个
B型机器人/个
运输物品总数/件
第一批
2
5
34
第二批
4
3
26
问：
(1)每个A型机器人和B型机器人分别可以运输物品多少件？
(2)若每个A型机器人售价3万元，每个B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20个，总费用不超过55万元，那么A型号机器人最多购买多少个？
26. (本小题12.0分)
如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出过点O的4条直线中至多只有一条直线与直线a平行
即与直线a相交的直线至少有3条．
故选B．

2.【答案】A 
【解析】解：A选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意；
B选项，x的次数是2，不符合题意；
C选项，不是整式方程，不符合题意；
D选项，不含两个未知数，不符合题意；
故选：A．
根据二元一次方程的定义判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法的计算法则，得出答案．
本题考查同底数幂的乘法运算，掌握法则是正确计算的前提．
【解答】
解：x2⋅(−x)⋅(−x8)=x2+1+8=x11，
故选D．  
4.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
【解答】
解：如图：

∵∠AOC=∠2=50°时，OA//b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°−50°=20°．
故选：B．  
5.【答案】C 
【解析】解：120000=0.00005=5×10−5．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

6.【答案】C 
【解析】解：A，B选项的右边不是积的形式，故A，B选项不符合题意；
C选项，a2−6a+9=(a−3)2，这是因式分解，故C选项符合题意；
D选项，左边不是多项式，故D选项不符合题意；
故选：C．
根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：由不等式(m+3)x>2m+6，得
(m+3)x>2(m+3)，
∵(m+3)x>2m+6的解集为x<2，
∴m+3<0，
解得，m<−3；
故选：B．
由原不等式变形为(m+3)x>2(m+3)，解该不等式的下一步是两边都除以x的系数(m+3)，题中给出的解集是x<2，改变了不等号的方向，所以x的系数是小于0的，据此可以求得m的取值范围．
本题考查了不等式的解集．当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．

8.【答案】A 
【解析】解：如图所示，
∵点B落在AB边B′处，
∴由折叠的性质：∠BDC=∠B′DC=12∠ADB=12×180°=90°，
∴CD⊥AB，即：h是△ABC的高线，
故选：A．
根据折叠的性质可推出∠BDC=∠B′DC=90°，即可得出CD⊥AB，从而得出结论．
本题考查折叠的性质，以及三角形高线的认识，理解基本性质和定义是解题关键．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
已知两边时，三角形第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和，   这样就可以确定x的范围，从而确定x的值．
【解答】
解：根据题意得：8−3 ∵x的值为偶数
∴可以取6，8，10这三个数．
故选D．
  
10.【答案】D 
【解析】解：依题意，得：3x−1>26，
解得：x>9．
∵x为整数，
∴x的最小值为10．
故选：D．
根据程序操作进行了1次后就停止，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

11.【答案】A 
【解析】解：由图(1)可知，1个〇的质量大于1个□的质量，
由图(2)可知，1个□的质量等于2个△的质量，
∴1个□质量大于1个△质量．
故按质量从小到大的顺序排列为△□〇．
故选：A．
可先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小，可知〇>□，2个△=一个□即△<□，由此可得出答案．
此题考查不等式的性质，关键是根据不等式的性质解答．

12.【答案】A 
【解析】解：∵∠B=48°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC=32°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=68°，
∴∠DAC=90°−∠C=22°，
∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=32°−22°=10°，
故选：A．
根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高定义等知识点，能求出∠EAC的度数是解此题的关键．

13.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
【解答】
解：A.∠BED=∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，故选项错误；
B.∠1=∠2是EF和BC被EC所截得到的内错角，因而可以判定EF//BC，但不能判定DE//AC，故选项错误；
C.∠BEF+∠B=180°是EF和BC被AB所截得到的同旁内角，因而可以判定EF//BC，但不能判定DE//AC，故选项错误；
D.∠3=∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE//AC，故选项正确．
故选D．  
14.【答案】C 
【解析】解：根据若每组7人，则余下4人，得方程7y=x−4；
根据若每组8人，则有一组少3人，得方程8y=x+3．
可列方程组为7y=x−48y=x+3．
故选：C．
此题中的关键性的信息是：①若每组7人，则余下4人；②若每组8人，则有一组少3人．
考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．

15.【答案】D 
【解析】解：如图，∵EF=2BF，S△BCF=3，
∴S△BEC=3S△BCF=3×2=9，
∵D是BD的中点，
∴S△BDE=S△CDE=12S△BEC=4.5，
∵E是AD的中点，
∴S△ABD=S△ACD=2S△BDE=9，
∴S△ABC=2S△ABD=18，
∴△ABC的面积为18，
故选：D．
根据EF=2BF，S△BCF=3，求得S△BEC=3S△BCF=9，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE=S△CDE=12S△BEC=4.5，从而求出S△ABD=S△ACD=2S△BDE=9，再根据S△ABC=2S△ABD计算即可得解．
本题考查了三角形的面积，解题主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．

16.【答案】C 
【解析】解：设x−y=3a①x+3y=2−a②，
①+②得：2x+2y=2+2a．
∴x+y=1+a．
当x，y的值互为相反数时，1+a=0，
∴a=−1．
∴甲判断正确．
又解方程组x−y=3ax+3y=2−a，得x=2a+12y=12−a．
∴x+2y=2a+12+2(12−a)
=2a+12+1−2a
=32．
∴乙判断正确．
故选：C．
由题意，将方程组的两个方程相加，得出x+y=1+a，当x，y的值互为相反数时，即可得出a=−1，得出甲判断正确；用a表示出x，y解方程组再代入x+2y可得x+2y=32，得出乙判断正确，进而可以得解．
本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．

17.【答案】7 
【解析】解：(−2)2−(π−1)0+(14)−1
=4−1+4
=7，
故答案为：7．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】(2y+3)2或(2y−3)2 
【解析】解：∵(2y±3)2=4y2±12y+9，
∴在4y2+my+9中，m=±12．
当m=12时，4y2+my+9=4y2+12y+9=(2y+3)2；
当m=−12时，4y2+my+9=4y2−12y+9=(2y−3)2．
故答案为：(2y+3)2或(2y−3)2．
这里首末两项是2y和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2y和3积的2倍，故m=±12.再根据完全平方公式分解因式．
本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

19.【答案】a≥−2 
【解析】解：x−a>3①x+23−1>x−12②，
解不等式①得：x>a+3，
解不等式②得：x<1，
∵不等式组无解，
∴a+3≥1，
解得：a≥−2．
故答案为：a≥−2．
首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．

20.【答案】540°  900°  (2n+1)×180° 
【解析】(1)在图1中的任一小三角形内任取一点P1(如图1)，则图中互补重叠的所有角的和是三个三角形内角的和即：3x180°=540°，
故答案为：540°；
(2)在图1中的任一小三角形内任取一点P2(如图2)△ABC内的点的个数是2，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5，则图中互不重叠的所有角的和是5×180°=900°，
故答案为：900°；
(3)当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3，当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5依此类推得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7：当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1..当取到点P时，图中互不重叠的所有角的和是(2n+1)X180°，
故答案为：(2n+1)×180°．
(1)图1中三角形内部有一个点，得出三角形的个数，利用三角形的内角和定理即可即可得结论；
(2)根据图2中三角形内部有两个点得出三角形的个数，利用三角形的内角和定理即可；
(3)根据图形中当点的个数增加时，三角形个数的变化规律即可得结论．
本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．

21.【答案】解：(1)∵x⊕y=1，x⊕2y=−2，
∴4x−3y=1，4x−6y=−2，
即4x−3y=14x−6y=−2，
解得：x=1y=1，
∴x的值为1，y的值为1；
(2)∵x⊕2≤0，且3x⊕(−8)>0，
∴4x−6≤0，12x+24>0，
即4x−6≤012x+24>0，
解得：−2 ∴x的取值范围为：−2 【解析】(1)按照定义的新运算可得4x−3y=14x−6y=−2，然后进行计算即可解答；
(2)按照定义的新运算可得4x−6≤012x+24>0，然后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，实数的运算，解一元一次不等式，理解定义的新运算是解题的关键．

22.【答案】解：(1)根据题意得：M=(3x2−4x−20)−3x(x−3)
=3x2−4x−20−3x2+9x
=5x−20；
P=3x2−4x−20+(x+2)2
=3x2−4x−20+x2+4x+4
=4x2−16；
(2)P=4x2−16
=4(x2−4)
=4(x+2)(x−2)． 
【解析】(1)根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
(2)把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．

23.【答案】(a+b)(a−b)  a2−b2=(a+b)(a−b)  8 
【解析】解：(1)图2中的阴影部分面积为(a+b)(a−b)；
故答案为：(a+b)(a−b)；
(2)由(1)你可以得到的等式是：a2−b2=(a+b)(a−b)；
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
(3)①x2−y2=(x+y)(x−y)=16，
把x−y=2代入得：2(x+y)=16，
解得：(x+y)=8；
故答案为：8；
②77.752−22.252
=(77.75+22.25)(77.75−22.25)
=100×55.5
=5550；
③(x+1)2−(x−1)2=−8，
∴(x+1+x−1)(x+1−x+1)=−8，
∴4x=−8，
x=−2．
(1)根据长方形的面积公式列式计算即可得解；
(2)根据两阴影部分的面积相等解答；
(3)分别利用平方差公式进行计算即可得解．
本题考查了平方差公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．

24.【答案】60 
【解析】解：(1)过点F作FG//AB，如图1．
∵FG//AB，∠FAB=150°，
∴∠AFG+∠FAB=180°，
∴∠AFG=180°−∠FAB=180°−150°=30°，
∵∠EFH=90°，
∴∠CFG=∠EFH−∠AFG=90°−30°=60°，
∵AB//CD，
∴FG//CD，
∴∠HCD=∠CFG=60°．
故答案为：60°；
(2)∠FAB−∠HCD=90°．
理由：∵AM//FH，∠EFH=90°，
∴∠EFH+∠FAM=180°，
∴∠FAM=180°−∠EFH=180°−90°=90°，
∴∠HCD=∠AMC，
∵AB//CD，
∴∠BAM=∠AMC，
∵∠FAB−∠HCD=∠FAB−∠BAM=∠FAM=90°，
∴无论∠FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值；
(3)∠FAB−∠HCD=180°−120°=60°．
过点A作AN//FH与CD相交于点N，如图3，
∵AN//FH，∠EFH=120°，
∴∠EFH+∠FAM=180°，
∴∠FAN=180°−∠EFH=180°−120°=60°，
∴∠HCD=∠ANC，
∵AB//CD，
∴∠BAN=∠ANC，
∵∠FAB−∠HCD=∠FAB−∠BAN=∠FAN=60°．
∴∠FAB−∠HCD=180°−120°=60°．
(1)过点F作FG//AB，如图1，由已知FG//AB，∠FAB=150°，根据平行线的性质可得∠AFG+∠FAB=180°，可计算出∠AFG的度数，由∠EFH=90°，可计算出∠CFG的度数，由平行线的性质即可得出答案；
(2)由已知条件AM//FH，∠EFH=90°，根据平行线的性质可得∠EFH+∠FAM=180°，计算出∠FAM的度数，由平行线的性质可得∠BAM=∠AMC，由∠FAB−∠HCD=∠FAB−∠BAM即可得出答案；
(3)过点A作AN//FH与CD相交于点N，如图5，由已知条件AN//FH，∠EFH=120°，根据平行线的性质可得∠EFH+∠FAM=180°，∠HCD=∠ANC，即可计算出∠FAN的度数，由∠FAB−∠HCD=∠FAB−∠BAN，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．

25.【答案】解：(1)设每个A型机器人可以运输物品x件，每个B型机器人可以运输物品y件，
根据题意得：2x+5y=344x+3y=26，
解得：x=2y=6．
答：每个A型机器人可以运输物品2件，每个B型机器人可以运输物品6件；
(2)设购买A型机器人m个，则购买B型机器人(20−m)个，
根据题意得：3m+2.5(20−m)≤55，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：A型机器人最多购买10个． 
【解析】(1)设每个A型机器人可以运输物品x件，每个B型机器人可以运输物品y件，根据表格中的数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买A型机器人m个，则购买B型机器人(20−m)个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过55万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26.【答案】解：(1)∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=55°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=125°；

(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，
∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，
∴∠Q=180°−(∠QBC+∠QCB)=180°−(90°+12∠A)=90°−12∠A；

(3)如图③中，延长BC到F．
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，
即∠E=12∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=12∠ABC+12∠MBC
=12(∠ABC+∠A+∠ACB)
=90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°；
②∠EBQ=3∠Q，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°；
③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°；
④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°． 
【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再根据三角形内角和定理求出即可；
(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB=180°+∠A，根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB=90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；
(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠ECF，∠ABC=2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF=∠EBC+∠E，求出∠A=2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，②∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q，再求出答案即可．
本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，注意：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，②三角形的内角和等于180°，用了分类讨论思想．