2022-2023学年河南省信阳市光山县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省信阳市光山县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省信阳市光山县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是(    )
A. 0.3 B. 7 C. 12 D. 23
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(    )
A. 1，2，3 B. 4，5， 41 C. 3, 4, 5 D. 6，8，12
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60°，BD=6，则AB的长为(    )


A. 32 B. 3 C. 3 D. 2 3
4. 对于函数y=−2x+3下列说法错误的是(    )
A. y随x的增大而减小 B. 它的图象与y轴的交点是(0,3)
C. 当x<3时，y<0 D. 它的图象不经过第三象限
5. 甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是108分，方差分是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则这5次测试成绩最稳定的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 下列计算正确的是(    )
A. 2− 12= 22 B. 2+ 2=2 2
C. 6÷ 2=3 D. 2× 5= 7
7. 下列命题中正确的是(    )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=10，BD=6，AD=4，则▱ABCD的面积是(    )


A. 12 B. 12 3 C. 24 D. 30
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P(1,2)，则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集为(    )

A. x>1 B. x>2 C. x<2 D. x<1
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A(−3,0)，B(2,b)，则正方形ABCD的面积是(    )
A. 13
B. 20
C. 25
D. 34
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若函数y= x−4x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
12. 某超市销售同种品牌三种不同规格的盒装牛奶，它们的单价分别为10元，6元，5元，当天销售情况如图所示，则当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为______元．


13. 如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD=10，AB=7，则BE= ______ ．


14. 如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A运动至点A停止，设运动的路程为x，△ABP的面积为y，且y与x之间的关系如图2所示，则平行四边形ABCD的周长为______ ．


15. 如图，在▱ABCD中，AB=2AD，AD=5，M为AB的中点，CM=6 2，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作▱CEDF，则EF的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1) 48÷ 2− 12× 12+ 54；
(2)已知x=2− 3，求代数式(7+4 3)x2+(2+ 3)x+ 3的值．
17. (本小题9.0分)
如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度．

18. (本小题9.0分)
某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共抽查学生______ 人，并将条形图补充完整；
(2)捐款金额的众数是______ ，中位数是______ ；
(3)在八年级1100名学生中，捐款20元及以上(含20元)的学生估计有多少人？


19. (本小题9.0分)
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y(千米)，甲车行驶的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．

(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间；
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程．
20. (本小题9.0分)
如图，▱ABCD中，AD=BD，过点C作CE//BD，交AD的延长线于点E．
(1)求证：四边形BDEC是菱形；
(2)连接BE，若AB=4，AD=7，求BE的长．

21. (本小题10.0分)
某商场同时购进A，B两型号商品共200件，进价和售价如表所示，设购进A型商品x件(x为正整数)，该商场售完全部A，B两型号商品获得的总利润为y元．
商品型号
A型
B型
每件进价(单位：元)
140
120
每件售价(单位：元)
200
170
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该商场计划投入不多于26400元购进这两种型号商品，则最多购进多少套A型商品？若A，B两型号商品全部售完，则商场可获得的最大利润是多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，直线y1=2x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线y2=kx+b经过点D(3,0)，与直线y1=2x+6交于点C(m,4)．
(1)求直线CD的解析式；
(2)若M为线段CD上一个动点，若S△ACD=4S△ADM，求此时点M的坐标；
(3)若点P为直线AB上的一个动点，过P为作PQ//y轴交直线CD于点Q.若线段PQ的长为6，请直接写出点P的坐标．

23. (本小题11.0分)
已知：如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，作射线BE，过点D作DF⊥BE于点F，交BC的延长线于点G，连接FC.求证：BF−DF= 2CF．

(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和∠EBC相等的角，即______ ；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路.小颖：我受结论中“BF−DF”的启发，可在线段BF上截取BH=DF，再证HF= 2CF…
小明，我受结论中“ 2CF”的启发，可构造一个以CF为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)老师对问题进行了拓展：如图2，点M，N分别是线段BE，DG的中点，若AB=4，DE=1，则MN的长度为______ ．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、 0.3= 310= 3010，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 7，是最简二次根式；
C、 12= 4×3=2 3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、 23= 63，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：A、∵1+2=3，
∴以1，2，3为边不能组成三角形，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵42+52=( 41)2，
∴以5，4， 41为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵( 3)2+( 4)2≠( 5)2，
∴以 3， 4， 5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+82≠122，
∴以6，8，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=12AC，OB=12BD=3，AC=BD=6，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=3，
故选：B．
先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=3即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：A、因为一次函数y=−2x+3的比例系数k=−2<0，所以y随x的增大而减小，故A选项不符合题意；
B、因为一次函数y=−2x+3的常数项b=3，所以它的图象与y轴的交点是(0,3)，故B选项不符合题意；
C、因为一次函数y=−2x+3，k=−2，b=3，所以−bk=−3−2=32，图象与x轴的交点坐标是(32,0)，所以当x<32时，y>0，故C选项符合题意；
D、因为一次函数y=−2x+3的比例系数k=−2<0，b=3，所以它的图象经过第一、二、四选项，故选项D不符合题意．
故选：C．
根据一次函数y=−2x+3的比例系数k=−2，常数项b=3，利用一次函数的性质确定其增减性和图象所在的象限，从而判断图象与y轴和x轴的交点坐标．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是理解掌握一次函数的图象和性质与比例系数k和常数项b的关系．

5.【答案】D 
【解析】解：∵S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，
∴S丁2 ∴成绩最稳定的是丁．
故选：D．
直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则数据的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．
此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解： 2− 12= 2− 22= 22，故选项A正确，符合题意；
2+ 2不能合并，故选项B错误，不符合题意；
6÷ 2= 3，故选项C错误，不符合题意；
2× 5= 10，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选：C．
根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

8.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=10，BD=6，
∴OA=OC=12AC=5，OB=OD=12BD=3，
∵AD=4，
∴AD2+DO2=OA2，
∴△ADO是直角三角形，且∠BDA=90°，
即AD⊥BD，
∴▱ABCD面积为：AD⋅BD=4×6=24．
故选：C．
由▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，AC=10，BD=6，AD=4，易求得OA与OD的长，又由勾股定理的逆定理，证得AD⊥BD，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

9.【答案】D 
【解析】解：如图所示，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P(1,2)，
所以，不等式kx+b>mx+n的解集为x<1．
故选：D．
观察函数图象得到，当x<1时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b>mx+n的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10.【答案】D 
【解析】解：作BM⊥x轴于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAO+∠BAM=90°，
又∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠DAO=∠ABM，
在△DAO和△ABM中，
∠DAO=∠ABM∠DOA=∠AMBAD=AB
∴△DAO≌△ABM(AAS)，
∴AM=OD，
∵A(−3,0)，B(2,b)，
∴OA=3，OM=2，
∴OD=AM=5，
∴AD= OA2+OD2= 32+52= 34，
∴正方形ABCD的面积=34，
故选D．
作BM⊥x轴于M.只要证明△DAO≌△ABM，推出AM=OD，由A(−3,0)，B(2,b)，推出OA=3，OM=2，推出OD=AM=5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

11.【答案】x≥4 
【解析】解：由题意得：x−4≥0且x−3≠0，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4，
故答案为：x≥4．
根据二次根式 a(a≥0)以及分母不为0可得x−4≥0且x−3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)以及分母不为0是解题的关键．

12.【答案】7.3 
【解析】解：10×40%+6×30%+5×30%
=4+1.8+1.5
=7.3(元)，
即当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为7.3元；
故答案为：7.3．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，即可得到当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格．
本题考查了加权平均数，解答本题的关键是掌握加权平均数的计算方法．

13.【答案】3 
【解析】解：∵▱ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD//BC，
∴∠ADE=∠CDE，∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴EC=DC，
▱ABCD中，AD=10，AB=7，
∴BC=AD=10，DC=AB=7=EC，
∴BE=BC−EC=10−7=3．
故答案为：3．
利用角平分线的定义以及平行线的性质、等腰三角形的判定得出EC=DC，再利用平行四边形的性质得出BE的长．
此题主要考查了平行四边形的性质等知识，熟记平行四边形的性质是解题关键．

14.【答案】14 
【解析】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=3时，y开始不变，说明BC=3，x=7时，接着变化，说明CD=7−3=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2(BC+CD)=14．
故答案为：14．
根据函数的图象、结合图形求出BC、CD的值，即可得出平行四边形ABCD的周长．
本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出BC、CD的长度是解决问题的关键．

15.【答案】2 7 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，CD//AB，
∴CD=AB=2AD=2×5=10，∠CDM=∠AMD，∠DCM=∠BMC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=12AB，
∵AD=BC=12AB，
∴AM=AD，BM=BC，
∴∠ADM=∠AMD，∠BCM=∠BMC，
∴∠CDM=∠ADM=12∠ADC，∠DCM=∠BCM=12∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠CDM+∠DCM=12(∠ADC+∠BCD)=12×180°=90°，
∴∠DMC=90°，
∴MD=  CD2−CM2= 102−(6 2)2=2 7，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴CM//DF，
∵DM⊥CM，
∴平行线CM与DF之间的距离是2 7，
∴当EF⊥CM时，则EF=MD=2 7，此时EF的值最小，
∴EF的最小值是2 7，
故答案为：2 7．
由平行四边形的性质得AD=BC，AD//BC，CD//AB，则CD=AB=2AD=10，∠CDM=∠AMD，∠DCM=∠BMC，由AM=BM=12AB，AD=BC=12AB，得AM=AD，BM=BC，则∠ADM=∠AMD，∠BCM=∠BMC，所以∠CDM=∠ADM=12∠ADC，∠DCM=∠BCM=12∠BCD，则∠CDM+∠DCM=12(∠ADC+∠BCD)=90°，则∠DMC=90°，所以MD=  CD2−CM2=2 7，因为CM//DF，DM⊥CM，所以当EF⊥CM时，则EF=MD=2 7，此时EF的值最小，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∠DMC=90°是解题的关键．

16.【答案】解：(1)原式= 48÷2− 12×12+ 54
= 24− 6+3 6
=2 6− 6+3 6
=4 6；
(2)∵x=2− 3，
∴x2=(2− 3)2=7−4 3，
∴原式=(7+4 3)(7−4 3)+(2+ 3)(2− 3)+ 3=49−48+4−3+ 3=2+ 3． 
【解析】(1)根据二次根式的除法法则、乘法法则、二次根式的性质、合并同类二次根式的运算法则计算；
(2)根据完全平方公式、平方差公式计算．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．

17.【答案】解：延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m，
设BG=x m，则BC=(26−1−x)m，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2=CB2，
∴x2+152=(26−1−x)2，
解得x=8，
∴BA=BG+GA=8+1=9(m)，
∴AB的长度为9m． 
【解析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米，设BG=x米，则BC=(26−1−x)米，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．

18.【答案】50  10  12.5 
【解析】解：(1)本次抽查的学生有：14÷28%=50(人)，
则捐款10元的有50−9−14−7−4=16(人)，
补全条形统计图图形如下：

故答案为：50；
(2)由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10；
将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两个数据分别是10，15，所以中位数是(10+15)÷2=12.5．
故答案为：10，12.5；
(3)捐款20元及以上(含20元)的学生有：1100×7+450=242(人)．
(1)由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；
(2)从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
(3)由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占比例估计总体中的人数．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，众数和中位数，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

19.【答案】解：(1)300÷(180÷1.5)=2.5(小时)，
答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时；

(2)设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∴300=2.5k+b0=5.5k+b，
解得：k=−100b=550，
∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y=−100x+550(2.5≤x≤5.5)；

(3)300÷[(300−180)÷1.5]=3.75小时，
当x=3.75时，y=175千米，
答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米． 
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
(1)根据题意结合图象列算式即可得到结论；
(2)根据题意，利用待定系数法即可求解；
(3)先求得乙车到达A地时x的值，代入(2)所求得的解析式即可得出答案．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵CE//BD，
∴四边形BDEC是平行四边形，
∵AD=BD，
∴BC=BD，
∴平行四边形BDEC是菱形；
(2)解：如图，设BE交CD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，BC=AD=7，
由(1)可知，四边形BDEC是菱形，
∴OC=OD=12CD=2，OB=OE，BE⊥CD，
∴∠BOC=90°，
∴OB= BC2−OC2= 72−22=3 5，
∴BE=2OB=6 5，
即BE的长为6 5． 
【解析】(1)先证四边形BDEC是平行四边形，再证BC=BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)设BE交CD于点O，由平行四边形的性质得CD=AB=4，BC=AD=7，再由菱形的性质得OC=OD=2，OB=OE，BE⊥CD，然后由勾股定理得OB=3 5，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：(1)根据题意得：y=(200−140)x+(170−120)(200−x)=10x+10000，
∴y与x的函数关系式为：y=10x+10000；
(2)根据题意得：140x+120(200−x)≤26400，
解得：x≤120，
根据利润y与购进A型商品数量x的函数关系y=10x+10000(0 则当x=120时，商场可获得最大利润，即最大值=10×120+10000=11200(元)．
答：最多购进120套A型商品，若A，B两型号商品全部售完，则商场可获得的最大利润是11200元． 
【解析】(1)根据总利润=(A商品的售价−A商品的进价)×购进A商品的数量+(B商品的售价−B商品的进价)×购进B商品的数量代入列关系式，并化简；
(2)根据总成本≤26400列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；
本题是一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，在此类题中，要明确售价、进价、利润的关系式：单件利润=售价−进价，总利润=单个利润×数量，商品利润率=商品利润/商品进价×100%；认真读题，弄清题中的每一个条件；对于最值问题，可利用一次函数的增减性来解决：形如y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．

22.【答案】解：(1)∵直线y2与直线y1交于点C(m,4)，
∴把点C(m,4)代入y1=2x+6，得2m+6=4，解得m=−1．
∴点C(−1,4)．
把点C(−1,4)，点D(3,0)代入y2=kx+b，得−k+b=43k+b=0，
解得k=−1b=3．
∴直线CD的解析式为y2=−x+3；
(2)在y=2x+6中，令y=0，则求得x=−3，
∴点A(−3,0)，
∴AD=3+3=6，
∴S△ACD=12×6×4=12，
∵S△ACD=4S△ADM，
∴S△ADM=3，
设点M的坐标为(a,−a+3)，
∴S△ADM=12×6×(−a+3)=3，
∴a=2，
∴点M的坐标为(2,1)；
(3)∵点P在直线AB上，点Q在直线CD上，且PQ//y轴，
∴设点P(x,2x+6)，则点Q(x,−x+3)．
∵线段PQ的长为6，
∴|2x+6+x−3|=6，解得x=1或x=−3．
当x=1时，2x+6=8；
当x=−3时，2x+6=0，
∴点P的坐标为(1,8)或(−3,0)． 
【解析】(1)将点C(m,4)代y1=2x+6求得m的值，继而求得点C的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式即可；
(2)先求出△ACD的面积，设点M的坐标为(a,−a+3)，根据三角形面积公式列出关于a的方程，求出a的值即可求解；
(3)利用平行直线上点的坐标特征和两点间的距离公式列出方程，通过方程求得答案．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得直线解析式、正确表示点的坐标是解题的关键．

23.【答案】∠GDC=∠EBC  262 
【解析】(1)解：∵DF⊥BE，
∴∠EBC+∠G=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠GDC+∠G=90°，
∴∠GDC=∠EBC，
故答案为：∠GDC=∠EBC；
(2)证明：方法一：如图1，在BF上截取BT=DF，连接TC，
由(1)知：∠GDC=∠EBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，
在△BCT和△DCF中，
BC=CD∠CBT=∠CDFBT=DF，
∴△BCT≌△DCF(SAS)，
∴CT=CF，∠BCT=∠DCF，
∵∠FCT=∠DCF+∠TCD=∠BCT+∠TCD=∠BCD=90°，
∴TF= 2CF，
又∵BF−BT=TF，BT=DF，
∴BF−DF= 2CF．
方法二：如图1，过点C作CT⊥CF交BF于T，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
∵CT⊥CF，
∴∠TCF=∠BCD=90°，
∴∠BCT=∠DCF，
在△BCT和△DCF中，
∠CBT=∠CDFCB=CD∠BCT=∠DCF，
∴△BCT≌△DCF(SAS)，
∴CT=CF，BT=DF，
∴TF= 2CF，
∴BF−DF=BF−BT=TF= 2CF；
(3)解：MN=12 26，理由如下：
如图2，连接CM、CN，

∵正方形ABCD，AB=4，
∴BC=CD=4，∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCD=90°，
∵DE=1，
∴CE=CD−DE=3−1=2，
∴BE= BC2+CE2= 42+22=2 5，
又∵M、N分别是线段BE、DG的中点，
∴CM=12BE=BM=EM= 5，CN=12DG=DN=GN，
∴∠EBC=∠BCM，∠GDC=∠DCN，
由(1)知：∠GDC=∠EBC，
∴∠BCM=∠DCN=∠GDC=∠EBC，
在△GDC和△EBC中，
 ∠GDC=∠EBCCD=BC∠DCG=∠BCE，
∴△GDC≌△EBC(ASA)，
∴DG=BE=2 5，
∴CM=CN=12BE= 5，
∵∠BCM+∠MCD=∠BCD=90°，
∴∠DCN+∠MCD=∠MCN=90°，
∴MN= CM2+CN2= 5+5= 10，
即MN的长为 10．
(1)利用正方形性质和等角的余角相等即可求得答案；
(2)方法一：如图1，在BF上截取BT=DF，连接TC，可证得△BCT≌△DCF(SAS)，得出：CT=CF，∠BCT=∠DCF，再证得∠BCD=∠FCT=90°，可得TF= 2CF，即可证得结论；
方法二：过点C作CT⊥CF交BF于T，可证得△BCT≌△DCF(SAS)，即可证得结论；
(3)如图2，连接CM、CN，利用勾股定理可得BE= BC2+CE2= 32+22= 13，再证得△GDC≌△EBC(ASA)，再利用勾股定理即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形性质−斜边上的中线等于斜边的一半，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．