2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学校徽内圆的图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3a=5a2B. a⋅a⋅a=3a
C. (a3)2=a5D. a(m+n)=am+an
3. 如图，直线AB/​/ED，且∠1=70°，则∠2的度数为( )
A. 95°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (a+3)(a−3)=a2−9B. m2−4=(m+2)(m−2)
C. a2−b2+1=(a+b)(a−b)+1D. (x+5)(x−1)=x2+4x−5
5. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点C到AB的距离为( )
A. 线段BD的长度
B. 线段AD的长度
C. 线段CD的长度
D. 线段BC的长度
6. 计算：2302−60×230+302的结果是( )
A. 200B. 28900C. 40000D. 67600
7. 为庆况神舟十五号发射成功，学校开展航大知识克赛活动，经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分 ​2)如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选样( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8. 在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
9. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是( )
A. x3=y−2x2−9=yB. x3=y+2x−92=yC. x3=y+2x2+9=yD. x3=y−2x−92=y
10. 如图，两个正方形的泳池，底面积分别是S1和S2，且S1+S2=160，点B是线段CG上一点，设CG=16，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为( )
A. 24
B. 32
C. 48
D. 96
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 对于方程−2x+y−1=0，用含x的代数式表示y，则y= ______ ．
12. 当a+b=2，ab=−3时，则a2b+ab2=______．
13. 一位大学毕业生参加教师招聘，其笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、90分、90分，综合成绩笔试、试讲、面试的占比为2：2：1.则该毕业生的综合成绩为______ 分.
14. 如图，三角形ABC的周长为10，D为边AC上一点，将三角形ABC沿着射线BD的方向平移3个单位长度到三角形EFG的位置，则五边形ABCGE的周长为______ ．
15. 如图，将三角形ABC绕着点A逆时针旋转得到三角形ADE，使得点B的对应点D落在边AC的延长线上，若AB=12，AE=7.5，则线段CD的长为______ ．
16. 在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
……
请观察这些系数的规律，探究(x+1)5的展开式中x3项的系数是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
因式分解：
(1)x2−16；
(2)x2−10x+25．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x+1)2+(3+x)(3−x)，其中x=−2．
19. (本小题8.0分)
解方程组：
(1)y=2x2x+y=8；
(2)3x−y=−6x+y=2．
20. (本小题8.0分)
完成下面的证明过程：
已知：如图，∠A=70°，∠AEF=110°，∠BFE=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=70°，∠AEF=110°(已知)，
∴∠A+∠AEF=180°，
∴ ______ /​/ ______ (______ )，
又∵∠BFE=∠C(已知)，
∴ ______ /​/ ______ (同位角相等，两直线平行)，
∴ ______ /​/ ______ (______ )，
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)．
21. (本小题8.0分)
综合与实践：
【问题情境】数学活动课，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y(单位：cm)，宽x(单位：cm)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表：
【实践探究】分析数据如表：
【问题解决】
(1)上述表格中：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大.”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍.”上面两位同学的说法中，合理的是______ (填“甲”或“乙”)；
(3)现有一片长10cm，宽5.1cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
22. (本小题8.0分)
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=35°，OE⊥AB于点O，OB平分∠COF．
(1)求∠COF的度数；
(2)求∠EOF的度数．
23. (本小题8.0分)
阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2−x−3的方法(如图)．
第一步：二次项2x2=x⋅2x；
第二步：常数项−3=−1×3=1×(−3)，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项−x.即2x2−x−3=(x+1)(2x−3)；
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式x2−x−2进行因式分解，可以表示为x2−x−2= ______ ；
(2)若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值．
24. (本小题10.0分)
某超市第一次用6500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少60件，甲、乙两种商品的进价和售价如表(利润=售价−进价)：
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？
(2)第一次甲、乙两种商品全部售完后，该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品.其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变.甲商品打折销售，乙商品按原价销售.第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多300元，求第二次甲商品是按原价打几折销售的？
25. (本小题10.0分)
如图1，直线AB、CD相交于点O，∠AOC：∠BOC=5：7，将一直角三角板中60°角的顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边MN在直线AB的下方．

(1)在图1中，求∠DON的度数；
(2)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转角α(0°<α≤360°)，恰好使得MN/​/CD，求此时旋转角α的大小；
(3)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转角α，当0<α<105°时，求∠COM与∠BON的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.2a+3a=5a，故此选项不合题意；
B.a⋅a⋅a=a3，故此选项不合题意；
C.(a3)2=a6，故此选项不合题意；
D.a(m+n)=am+an，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、单项式乘多项式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：如图：

∵∠1=70°，
∴∠3=180°−70°=110°，
∵AB/​/ED，
∴∠2=∠3=110°
故选：C．
首先求出∠1的补角，再由平行线的性质得出∠2等于∠1的补角．
本题考查了平行线的性质和补角的定义，求出∠3的度数即可解决问题．
4.【答案】B
【解析】解：A.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．
5.【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴点C到AB的距离为是线段CD的长度．
故选：C．
根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离进行解答．
本题主要考查了点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：2302−60×230+302
=(230−30)2
=2002
=40000．
故选：C．
利用完全平方公式进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
7.【答案】A
【解析】解：∵甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，
∴应从甲和丙同学中选，
∵甲同学的方差比丙同学的小，
∴甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故选：A．
先比较平均数得到甲同学和丙同学成绩较好，然后比较方差得到甲同学的状态稳定，于是可决定选甲同学去参赛．
本题主要考查了根据平均数和方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】
解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：依题意得x3=y+2x−92=y．
故选：B．
根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，则a+b=CG=16，a2+b2=S1+S2=160，
所以ab=(a+b)2−(a2+b2)2
=256−1602
=48，
所以所需防滑瓷砖的面积为12ab=12×48=24，
故选：A．
设正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，则a+b=16，a2+b2=160，利用ab=(a+b)2−(a2+b2)2求出ab的值，再计算12ab即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
11.【答案】2x+1
【解析】解：−2x+y−1=0，
移项，可得y=2x+1．
故答案为：2x+1．
根据−2x+y−1=0，通过移项，用含x的代数式表示y即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12.【答案】−6
【解析】解：∵a+b=2，ab=−3，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=−3×2=−6．
故答案为：−6．
利用提取公因式法进行因式分解，再将a+b=2，ab=−3代入计算即可得出答案．
本题考查了因式分解在代数式求值中的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单．
13.【答案】92
【解析】解：该毕业生的综合成绩为95×2+90×2+902+2+1=92(分)，
故答案为：92．
根据加权平均数的定义求解即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14.【答案】16
【解析】解：根据题意得：AE=BF=CG=3，EG=AC，
∵三角形ABC的周长为10，
∴AB+BC+AC=10，
∴AB+BC+EG=10，
∴五边形ABCGE的周长=AB+BC+EG+AE+CG=10+3+3=16．
故答案为：16．
根据平移的性质得到AE=BF=CG=3，EG=AC，再将五边形ABCGE的五条边相加即可得到周长．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
15.【答案】4.5
【解析】解：∵三角形ABC绕着点A逆时针旋转得到三角形ADE，
∴AD=AB=12，AC=AE=7.5，
∴CD=AD−AC=12−7.5=4.5．
故答案为：4.5．
先根据旋转的性质得到AD=AB=12，AC=AE=7.5，然后计算AD−AC即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16.【答案】10
【解析】解：∵(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
∴(x+1)5的展开式中x3项的系数是：10．
故答案为：10．
观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
本题考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−16=(x+4)(x−4)；
(2)x2−10x+25=(x−5)2．
【解析】(1)根据平方差公式分解因式即可；
(2)根据完全平方公式分解因式即可．
本题考查了公式法的综合运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=(x2+2x+1)+9−x2
=2x+10，
当x=−2时，
原式=2×(−2)+10
=6．
【解析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查了整式的化简求值，掌握整式化简求值的方法是关键．
19.【答案】解：(1)y=2x①2x+y=8②，
将①代入②得：2x+2x=8，
解得：x=2，
将x=2代入①得：y=2×2=4，
故原方程组的解为x=2y=4；
(2)3x−y=−6①x+y=2②，
①+②得：4x=−4，
解得：x=−1，
将x=−1代入②得：−1+y=2，
解得：y=3，
故原方程组的解为x=−1y=3．
【解析】(1)利用代入消元法解方程组即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
20.【答案】AB EF 同旁内角互补，两直线平行 CD EF CD AB 平行公理的推论
【解析】证明：∵∠A=70°，∠AEF=110°(已知)，
∴∠A+∠AEF=180°，
∴AB/​/EF(同旁内角互补，两直线平行)，
又∵∠BFE=∠C(已知)，
∴CD/​/EF(同位角相等，两直线平行)，
∴CD/​/AB(平行公理的推论)，
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：AB，EF，同旁内角互补，两直线平行；CD，EF；CD，AB，平行公理的推论．
根据平行线的判定方法和法则解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟记相关判定方法和性质是解题关键．
21.【答案】3.7 1.92 2.0 乙
【解析】解：(1)把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7，3.7，故a=3.7+3.72=3.7，
平均数为b=2.0×4+2.4+1.8×2+1.9×2+1.410=1.92，
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故众数c=2.0；
故答案为：3.7，1.92，2.0；
(2)∵0.0356<0.0556，
∴芒果树叶的形状差别小，故甲同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.92，中位数是1.95，众数是2.0，
∴乙同学说法合理；
故答案为：乙；
(3)∵一片长10cm，宽5.1cm的树叶，长宽比接近2.0，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
(1)根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
(2)根据题目给出的数据判断即可；
(3)根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠AOD=35°，
∴∠AOD=∠BOC=35°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF=2∠BOC=70°，
∴∠COF的度数为70°；
(2)∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COB=∠BOF=35°，
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=125°，
∴∠EOF的度数为125°．
【解析】(1)根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=35°，然后利用角平分线的定义可得∠COF=2∠BOC=70°，即可解答；
(2)根据垂直定义可得∠EOB=90°，然后利用角平分线的定义可得∠COB=∠BOF=35°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
23.【答案】(x−2)(x+1)
【解析】解：(1)将多项式因式分解，可以表示为x2−x−2=(x−2)(x+1)(2)根据画好的“十字图”，求出p的所有可能值：16，8，−8，−16．
根据材料来把二次项写成相乘形式，常数项也写成相乘的形式，再交叉相乘之和得到一次项，最后进行因式分解．
本题考查了用十字相相乘法对一元二次方程进行因式分解．
24.【答案】解：(1)设第一次购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，
根据题意得：37x+35y=6500x=2y−60，
解得x=100y=80，
答：该超市第一次购进甲种商品100件，购进乙种商品80件；
(2)设第二次甲种商品是按原价打m折销售的，
根据题意得：(42−35)×80+(50×m10−37)×100×2=(50−37)×100+(42−35)×80+300，
解得：m=9．
答：第二次甲商品是按原价打九折销售．
【解析】(1)设第一次购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据单价×数量=总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设第二次甲种商品是按原价打m折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程．
25.【答案】解：(1)∵∠AOC：∠BOC=5：7，∴∠AOC=180°×512=75°，
∵∠BOD=∠AOC=75°，
∴∠DON=∠BOD−60°=15°；
(2)①如图，当0°<α≤105°时，

∵M1N1//CD，
∴∠DON1=∠N1=30°，
∴α=∠DON1−∠DON=30°−15°=15°，
②如图，当105°<α≤360°时，

∵M2N2//CD，
∴∠COM2+∠M2=180°，
∴∠COM2=180°−90°=90°，
∴α=∠BOC+∠COM2=105°+90°=195°；
(3)①如图，当0°<α≤60°时，

∵∠COM=105°−α，∠BON=60°−α，
∴∠COM−∠BON=105°−α−(60°−α)=45°，
②如图，当60°<α<105°时，

∵∠COM=105°−α，∠BON=α−60°，
∴∠COM+∠BON=105°−α+(α−60°)=45°．
综上，∠COM−∠BON=45°或∠COM+∠BON=45°．
【解析】(1)由∠AOC：∠BOC=5：7及∠AOC与∠BOC互补，即可求得∠AOC，再由对顶角相等及角的和差关系即可求解；
(2)MN//CD的情况有两种，根据两种情况及平行线的性质即可求解；
(3)分两种情况考虑0°<α≤60°；60°<α<105°，用含α的代数式表示∠COM，∠BON，即可得到这两个角的数量关系．
本题考查了平行线的性质，角的和差关系，旋转的性质，有一定的难度，注意分类讨论．
甲
乙
丙
丁
平均数
98
96
98
95
方差
0.4
2
1.6
0.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.7
3.7
4.0
3.4
3.9
3.5
3.6
3.9
3.6
3.9
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.4
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.72
a
3.9．
0.0356
荔枝树叶的长宽比
b
1.95
c
0.0556
甲
乙
进价(元/件)
37
35
售价(元/件)
50
42