2022-2023学年福建省厦门双十中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门双十中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若经过两点A（3，y＋1）、B（2，－1）的直线的倾斜角为，则y等于（    ）

A．－1 B．2 C．0 D．－3

【答案】D

【分析】根据直线的倾斜角和两点坐标求出直线的斜率，列出方程，解之即可.

【详解】由题意知，直线的斜率为，

又，

所以，解得.

故选：D.

2．设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（    ）

A．13 B．16 C．20 D．

【答案】B

【分析】利用椭圆的定义及即可得到答案.

【详解】由椭圆的定义，，焦距，

所以的周长为.

故选：B

3．已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆心，代入抛物线，求得，进而得到抛物线得标准方程，进而可求得抛物线的焦点坐标.

【详解】由已知得，圆的圆心为：，

故把圆心坐标代入抛物线得，，解得，

则抛物线：，化简得，

可得抛物线的焦点坐标为

故选：C

4．圆与圆的位置关系为（    ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】C

【分析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切

【详解】圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆相外切

故选：C

5．过点 作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【分析】作图分析，判断点P在双曲线的外部，则符合条件的直线有和渐近线平行的直线还有切线，由此可得答案.

【详解】如图示，双曲线的渐近线为，点在双曲线外部，

则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线，包括两条和渐近线平行的直线 ，

还有两条和双曲线相切的直线，因此过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条，

故选：D.

6．如图，已知直线l与抛物线交于两点，且 ， 交于点D，点D的坐标为，则l方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线的垂直关系求出直线l的斜率，即可求得直线的点斜式方程，可得答案.

【详解】由题意可知点D的坐标为，故直线的斜率为1，

因为 ，所以直线l 的斜率为,

则l方程为，即，

故选：A.

7．已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果.

【详解】如下图所示：

设，则，因为，则，

由椭圆的定义可得，则，

所以，，则，

由勾股定理可得，则，则，

因此，该椭圆的离心率为.

故选：B.

8．已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.

【详解】解：由，设，由得，，所以，

，又得，

，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，

故选：C.

二、多选题

9．关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

【答案】ABD

【分析】对参数进行分类讨论m＝1， m＝3，1<m＜3，m＞3，m<1等五种情况进行分析即可

【详解】由题意得：

对于方程

①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴；

②当m＝3时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴；

③当m≠1，且 m≠3时，方程即，

当，m＝2时，方程为，表示圆；

若1<m＜2或2<m＜3，方程表示椭圆；

若m<1，方程表示双曲线；

若m>3，方程在实数范围内不表示任何图形.

综合可得：方程不可能是抛物线．    

故选：ABD．

10．已知直线l：，则下列结论正确的是（    ）

A．直线l的倾斜角是

B．点到直线l上的点的最短距离是2

C．直线l关于x轴对称的直线方程是

D．直线l在x轴上的截距是

【答案】BC

【分析】选项A，转化为直线的斜截式，结合即可判断；选项B，求解点到直线距离，即可判断；选项C，由直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数即可判断；选项D，计算直线与x轴的交点即可判断.

【详解】选项A，记直线倾斜角为，直线l：，故直线斜率，故，错误；

选项B，点到直线l上的点的最短距离即为点到直线的距离，正确；

选项C，直线l：与轴的交点为，直线l关于x轴对称的直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数，故直线方程为，正确；

选项D，直线l：与轴的交点为，故在x轴上的截距是，错误.

故选：BC

11．已知抛物C：的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则（    ）

A．A，B，F三点共线 B．l的斜率为

C． D．圆E的半径是6

【答案】AC

【分析】根据直线与抛物线的关系，结合几何关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：连接，过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，如下所示：

因为，又，故，

故三点共线，A正确；

对B：因为，，故，又，

故，又//轴，故直线的倾斜角为，则直线的斜率为，故B错误；

对C：根据B所求，可得直线方程为，联立抛物线方程可得：

，解得或，故两点的坐标为，

则，故，C正确；

对D：由C知，，故圆的半径为，D错误.

故选：AC.

12．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C的左右顶点为，则（    ）

A．双曲线C的方程为

B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线

C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点

D．双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3

【答案】ABD

【分析】由题意可得，代入双曲线方程可求出，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断

【详解】由题意可得，

所以，即，解得，

所以双曲线方程为，所以A正确，

双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以B正确，

由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误，

由题意得，设为双曲线上任意一点，则，，

所以，

所以双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．已知椭圆的焦距是，则的值是____．

【答案】

【分析】根据、、的关系可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.

【详解】在椭圆中，，，

由已知可得，解得.

故答案为：.

14．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是____．

【答案】

【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案.

【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴，

所以设等轴双曲线方程为，

所以，解得，

所以双曲线标准方程为

故答案为：

15．已知P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标为（2，3），则|PA|+|PM|的最小值是_____.

【答案】

【分析】根据题意判断A（2，3）在抛物线之外，延长PM交直线x＝﹣1于点N，由 |PM|＝|PN|﹣|MN|＝|PN|﹣1，得 |PA|+|PM|＝|PF|+|PA|﹣1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可.

【详解】当x＝2时，y2＝4×2＝8，所以y＝±2，即|y|＝2，因为3＞2，

所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线x＝﹣1于点N，由抛物线的定义可知|PN|＝|PM|+1＝|PF|，当三点A，P，F共线时，|PA|+|PF|最小，

此时为|PA|+|PF|＝|AF|，又焦点坐标为F（1，0），所以|AF|＝＝，

即|PM|+1+|PA|的最小值为，所以|PM|+|PA|的最小值为﹣1.

故答案为：.

16．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

【答案】

【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.

【详解】椭圆；双曲线，

双曲线和椭圆的焦点重合.

根据双曲线的定义有，

所以①，②，

根据椭圆的定义由，

所以路程

.

故答案为：

四、解答题

17．已知圆O：与x轴交于A，B两点，动点P与点A的距离是它与点B距离的倍．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)过点B作倾斜角为45°直线l交点P的轨迹于M，N两点，求弦长．

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）求出A，B两点的坐标，设出，根据题意列出方程，化简后得到结果，注意分两种情况进行求解；

（2）在第一问的基础上，分与两种情况，得到直线方程，联立相应的P的轨迹方程，利用弦长公式进行求解.

【详解】（1）由题意得：不妨设，，

则，平方得：，

化简得：，

若，

则，平方得：，

整理得：，

综上：点P的轨迹方程为或；

（2）不妨设，故直线，即，

联立与得：，

设，则，

则，

同理，当时，故直线，即，

联立与得：，

设，则，

则，

综上：.

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，△ABC的面积为2，D为边BC的中点，求AD的长度．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)结合已知条件，根据正弦定理角化边和余弦定理即可求出角A；

(2)根据三角形面积公式求出b，根据余弦定理求出a，再求出cosB，利用余弦定理即可求解AD.

【详解】（1）∵，

由正弦定理可得，即．

由余弦定理可得，

∵，∴；

（2）∵，△ABC的面积为，∴．

由余弦定理得，∴，

∴，

∴，

∴AD的长度为．

19．双曲线C：过点，且右焦点到渐近线的距离为．

(1)求双曲线方程；

(2)若双曲线C与直线l：相交于两个不同的点A，B，M（1，3）为AB中点，求直线l方程．

【答案】(1)；

(2)不存在满足题意的直线l.

【分析】(1)根据题意，利用点到直线的距离公式求得，根据双曲线过点列出方程，解之求得，即可求解；

(2)设点A、B的坐标，利用两点求出直线斜率，根据点差法求出直线的斜率，验证点不在直线上即可求解.

【详解】（1）由题意知，右焦点，渐近线，即，

因为右焦点到渐近线的距离为，所以，即，

又双曲线过点，则，解得，

所以双曲线的方程为；

（2）由题意知，直线与双曲线相交于点A、B，且为的中点，

设，则，，

由，两式相减，得，

即，得，

此时直线的方程为，但点不在直线上，

所以不存在这样的直线.

20．如图，四面体中，，E为 的中点．

(1)证明：平面 ⊥平面 ；

(2)设 ，，点F在上且 ，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）由题意求得相关线段的长，求出根据,即可求得答案.

【详解】（1）因为， ,

所以 ，所以 ，

又因为E是中点，所以 ，

又因为 ，所以 ，平面,

所以平面，又因为平面 ，

所以平面⊥平面.

（2）点F在上且,因为 ，，

所以，,而，

所以 ，

则,所以 ，

  ，

因为平面 ，所以 ,

因为，所以, 故

所以.

21．设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)点，过F的直线交C于 两点，连接 ，与C的另一个交点分别为 ，记直线的斜率分别为．求证：为定值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据点P到F的距离与到直线的距离相等，结合抛物线定义，可求得曲线方程；

（2）设设直线，联立抛物线方程，可得到，进而表示出 ，再利用根与系数的关系可得到，，化简即可得到结论.

【详解】（1）由题意知点P到F的距离与到直线的距离相等，曲线C是以F为焦点的抛物线,

设抛物线方程为 ，则 ，得，

故曲线C的方程为.

（2）证明：由题意设 ，

 设直线，

 由，可得 ， ．

由斜率公式可得 ，

直线 ，代入抛物线方程可得 ，

，所以 ，

直线 ，代入抛物线方程可得 ，

，所以 ，

故 ，即，

所以，即为定值.

【点睛】关键点点睛：抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系中的定值问题，综合性强，计算量大，解答时要能熟练应用联立直线和抛物线方程组成方程组的方法，解答的关键是利用二次方程的根与系数关系化简得出各参数之间的关系.

22．已知椭圆：的左、右焦点分别为．

(1)是椭圆上的一点，从原点O向圆R：作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点且有OP⊥OQ，求椭圆的方程；

(2)过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求△ABC面积的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据几何关系求得，再根据点的坐标满足椭圆方程，即可求得与椭圆方程；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的横坐标，结合三角形面积公式，构建△的面积关于参数的函数，再求函数最大值即可.

【详解】（1）根据题意可得：，又，故，

又点在椭圆上，则，解得，故椭圆方程为：.

（2）因为，故，设直线方程为：，

联立椭圆方程可得：，，

设两点的坐标为，则，

根据题意可得：，

直线方程为：，直线的方程为：，

联立两直线方程可得：，

即，即；

故△的面积

，

又，故，故

，

令，故，

又在单调递减，在单调递增，

故当时，取得最小值为，此时取得最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的范围问题；第二问中处理问题的关键是联立直线方程求得点的横坐标，同时关于面积的计算，恰当的换元，也是处理问题的关键；属综合中档题.