2023年吉林省白山市抚松县三校九年级第二次模拟测试数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省白山市抚松县三校九年级第二次模拟测试数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年吉林省白山市抚松县三校九年级第二次模拟测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若等式成立，则“ ”的运算符号是（　　）
A． B． C． D．

二、解答题
2．如图所示的几何体的主视图是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  

三、单选题
3．不等式的解集在数轴上表示为（    ）
A． B．
C． D．
4．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（   ）

A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
5．将一副三角板按如图所示放置，则的度数为（    ）

A．75° B．85° C．95° D．105°
6．如图，在中，圆周角，为上的一点，若，则的度数为 （    ）

A．60° B．50° C．40° D．30°

四、填空题
7．分解因式： ．
8．某粒子的直径约为0.00000021米，数据0.00000021用科学记数法表示为 ．
9．如图所示的图形绕其中心至少旋转 度就可以与原图形完全重合．

10．某电子产品的进价为元，超市将价格提高作为零售价销售，则该商品的零售价为 元（用含的代数式表示）．
11．如图，．若，则的值是 ．

12．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数，若设第二次分钱的人数为，则可列方程为 ．
13．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为 ．

14．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作，再以A为圆心，AC的长为半径作，若A、D、E三点共线，则途中两个阴影部分的面积之和是 ．（结果保留）


五、解答题
15．先化简，再求值，其中，
16．为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元，求男式单车和女式单车的单价．
17．如图，点在一条直线上，点是的中点，．
求证：．

18．从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1、2、2、3，将这四张扑克牌背面，朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．
19．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为5；
(2)在图②中，画平行四边形，使其面积为9．
20．如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为，看另一边B处的俯角为，楼高为米，求楼下公园的湖宽．（结果精确到1米，参考数据:，，，）

21．如图，点和点B在反比例函数的图象上，过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交直线于点D，．
  
(1)若，求k的值．
(2)连结，若四边形的面积为6，求点B的坐标．
22．为了解甲、乙两省的旅游公司5月份收入情况，从这两省的旅游公司中，各随机抽取了25家旅游公司，获得了它们5月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
Ⅰ．甲省旅游公司5月份收入所得数据的频数分布直方图如下．
（数据分成5组：，，，，．）

Ⅱ．甲省旅游公司5月份收入的数据在这一组的是：
9.0，9.1，9.1，9.9，10.4，10.5，10.6，10.8
Ⅱ．甲、乙两省旅游公司5月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数
中位数
甲省
9.3
m
乙省
11.0
11.2
(1)表中__________．
(2)在甲省抽取的旅游公司中，记5月份收入高于它们的平均收入的旅游公司的个数为a．在乙省抽取的旅游公司中，记5月份收入高于它们的平均收入的旅游公司的个数为b．问a与b的大小关系，并说明理由．
(3)已知乙省共有1500家旅游公司，根据以上信息估计乙省旅游公司5月份的总收入为_______百万元．
23．甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后, 继续按原速前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午准时到达乙地．设汽车离甲地的路程为（千米），汽车出发时间为（时），图中折线表示接到通知前与之间的函数图象．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　　 千米时．
（2）求线段所表示的与之间的函数关系式．
（3）汽车要想准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．

24．【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD=AB．
小明的思路如下：证明：如图①，延长CD至点E，使DE=CD，连结AE，BE．结合图①，补全证明过程；
【拓展】
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E，F分别是BC，CA的中点，连结DE，DF，且DF=，DE=1，则AB的长为 ．
（2）如图③，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边CB的延长线上，连结CE，若M，N分别是AC，DE的中点，AB=2，AD=，则MN= ．

25．如图，在中，，，．点P从点出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、．在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形与重叠部分的面积为．

（1）求边的长．
（2）当时， ，当时， ．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在上时，求的值．
（4）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与的函数关系式．
26．如图，抛物线的图象与轴交于点，直线与抛物线交于，点是抛物线上一点，且，将点向下平移1个单位长度得到点，轴交直线于点，轴，且，以为边作矩形．
  
(1)____________，___________；
(2)求的值；
(3)若，矩形的周长为，求的最小值及时此时点的坐标；
(4)在点运动的过程中，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】根据运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．D
【分析】根据主视图的定义解答即可．
【详解】解：该几何体的主视图为：
  ．
故选D．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．掌握常见的几何体的三视图的画法是解题关键．
3．D
【分析】解不等式得到解集即可．
【详解】解：，
∴，
在数轴上表示为：

故选：D
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，正确掌握不等式在数轴上表示的方法是解题的关键．
4．B
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可．
【详解】解：、垂线的一条性质，故A不符合题意；
B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
5．D
【分析】由∠BAC=∠ACD＝90°，∠ACB＝30°可得∠BCD＝60°，由三角形外角性质可得∠BFD的度数．
【详解】解：∵∠BAC=∠ACD＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BFD＝∠D+∠BCD＝45°+60°＝105°，
故选：D．
【点睛】本题考查特殊直角三角形的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．C
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：



故选：C
【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．掌握相关结论是解题关键．
7．
【分析】提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题的关键．
8．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．90
【分析】该图形被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成四部分，
∵，
∴旋转度的整数倍，就可以与自身重合，
∴如图所示的图形绕其中心至少旋转度就可以与原图形完全重合．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．理解和掌握旋转对称图形的旋转角求法是解题的关键．
10．
【分析】此题的等量关系：进价×（1+提高率）=售价列出代数式即可．
【详解】解：商品的售价为元．
故答案为：．
【点睛】此题考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系进行解题．有关销售问题中的提高名词要理解透彻，正确应用．
11．15
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12．
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【详解】解：第二次每人所得，
第一次每人所得，
∵第二次每人所得与第一次相同，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握平均分，是解决问题的关键．
13．
【分析】连接，首先根据线段垂直平分线的性质，可得，，再根据三角形外角的性质，可得，再利用勾股定理可求的长，据此即可求解．
【详解】解：如图：连接，

由作法可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，勾股定可理，熟练掌握和运用线段垂直平分线的作法和性质是解决本题的关键．
14．
【分析】根据题意和正方形的性质，可以得到和的长，然后利用勾股定理可以得到的长，再根据图形，可知阴影部分的面积是扇形的面积减的面积与以为半径，圆心角为的扇形的面积之和．
【详解】解：正方形的边长为2，
，，
，，
图中阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．，1
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式


当，时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16．男式单车的单价为800元；女式单车的单价为600元
【分析】根据题意列出二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：设男式单车的单价为x元，女式单车的单价为y元．
依题意，得
解得
答：男式单车的单价为800元，女式单车的单价为600元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．
17．见解析
【分析】先证明，利用证明即可得到结论．
【详解】证明：∵点是的中点，∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．
【分析】先画树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图所示
  
共有12种可能的结果，其中抽取的这两张牌的版面数字之和为偶数的有4种，所以抽取的这两张牌的版面数字之和为偶数的概率为．
【点睛】本题考查的是树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．
19．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）利用网格特点画出图形即可；
（2）利用网格特点画出图形即可．
【详解】（1）解：如图①所示，即为所求；

理由是：由勾股定理得，，，,
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
的面积为，
则满足题意；
（2）如图②所示，平行四边形即为所求；

理由是：∵，，
∴四边形是平行四边形，
四边形的面积为，
故平行四边形满足要求．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理、平行四边形的判定等知识，准确作图是解题的关键．
20．湖宽约为米．
【分析】在求出，在求出，那么即可．
【详解】解：由题意，得，．
在中，米，
∴，
∴（米），
在中，
则米，
∴（米）．
答：湖宽约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．(1)3
(2)

【分析】（1）根据点A的坐标可得进而得出，由可得点A与点B的横坐标的差，进而求出m的值，确定点A的坐标即可；
（2）表示出点B的坐标，利用含有m的代数式表示四边形的面积求出m即可．
【详解】（1）如图，过点B作轴于E，
  
∵点，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴点，
∴，
解得，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
（2）由（1）可知点，点，即，，则，
由于四边形的面积为6，
∴，
解得，
∴点．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
22．(1)9.1；
(2)a＜b，理由见解析；
(3)16500

【分析】（1）根据中位数的意义，求出甲、乙两省的旅游公司5月份收入从小到大排列，得出处在第13位的数据即可；
（2）根据a，b所表示的意义，结合甲、乙两省的旅游公司所抽取的5月份的营业额的具体数据，得出答案；
（3）根据乙省旅游公司5月份收入的数据的平均数以及公司的数量进行计算即可．
【详解】（1）甲省旅游公司5月份收入的数据在有5家，在有6家，在有8家，这一组从小到大排列：9.0，9.1，9.1，9.9，10.4，10.5，10.6，10.8，
所以25家中数据处在中间位置的一个数是9.1，
因此中位数是9.1，即m=9.1，
故答案为：9.1；
（2）由题意得a=5+4+2=11（家），
乙省旅游公司5月份收入的数据的平均数是11.0，中位数是11.2，
因此所抽取的25家旅游公司5月份营业额在11.2以上的至少有13家，
所以b最小值为13，
∴a＜b；
（3）根据题意得：
11.0×1500=16500（百万元），
故答案为：16500．
【点睛】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．
23．（1）80；（2）；（3）100千米时
【分析】（1）由速度=路程÷时间即可求出．
（2）由（1）可设线段所表示的y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法即可求出该关系式．
（3）根据题意可求出接到通知时距离12:00的时间和此时到达乙地的距离，在用速度=路程÷时间即可求出答案．
【详解】（1）．
（2）根据（1），可设线段所表示的y与x之间的函数关系式为．
将(1.5，80)代入上式，得，
解得b=-40．
即，
当时，即，
解得：．
∴线段所表示的y与x之间的函数关系式为．
（3）由（2）可知接到通知时已经行驶了3.5h，
12:00-8:00=4h，
4-3.5=0.5h，
290-240=50km，
50÷0.5=100km/h ．        
∴汽车接到通知后需匀速行驶的速度为100千米时．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握速度=路程÷时间和正确的找出图象中所含的信息是解答本题的关键．
24．感知：见解析；拓展（1）4；（2）
【分析】感知：如图①，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，由CD是△ABC中AB边上的中线可知AD=BD，结合CD=ED，可知四边形ACBE是平行四边形，进而可知平行四边形ACBE是矩形，则AB=CE，根据CD=DE=，可知CD=；
拓展：（1）如图所示，连接E，F，由CD⊥AB于点D，可知∠ADC=∠BDC=90°，结合E，F分别为AB，AC的中点，可得DE=，，根据等边对等角可知∠1=∠2，∠3=∠4，由此可知∠1＋∠3=∠2＋∠4，则可知∠ACB=∠EDF=90°，根据DF=，DE=1，则Rt△DEF中，由勾股定理可知，，根据△ABC中，EF为中线，则EF=，则AB=2EF=2×2=4，故AB的长为4；
（2）如图所示，连接AN，CN，根据∠BAC=∠DAE=90°，即∠BAE+∠2=∠BAE+∠1=90°，可知∠1=∠2，根据AB=AC，AD=AE，可证△ABD≌△ACE（SAS），进而知∠ABD=∠ACE，则∠BAC=90°，AB=AC，则∠3=∠4=45°，所以∠ABD=180°－∠3=135°=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE－∠4=135°－45°=90°，由直角三角形的性质可知AN=，则M是AC的中点，可知NM⊥AC，则AB=AC=2，M是AC的中点，则CM==1，根据AD=AE=2，且∠DAE=90°结合勾股定理可知，则CN==2，进而可知．
【详解】感知
解：如图①，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，
∵CD是△ABC中AB边上的中线，

∴AD=BD，
又∵CD=ED，
∴四边形ACBE是平行四边形，
又∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴AB=CE，
∵CD=DE=，
∴CD=；
拓展
（1）解：如图所示，连接E，F，

∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴DE=，，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1＋∠3=∠2＋∠4，
∴∠ACB=∠EDF=90°，
∵DF=，DE=1，
∴Rt△DEF中，由勾股定理可知，
，
∵△ABC中，EF为中线，
∴EF=，
∴AB=2EF=2×2=4，
故AB的长为4；
（2）如图所示，连接AN，CN，

∵∠BAC=∠DAE=90°，即∠BAE+∠2=∠BAE+∠1=90°，
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠3=∠4=45°，
∴∠ABD=180°－∠3=135°=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE－∠4=135°－45°=90°，
∵N为DE的中点，
∴Rt△DCE中，
∴CN=，同理在Rt△DAE中，∠DAE=90°，
∴AN=，
∴CN=AN，
∵M是AC的中点，
∴NM⊥AC，
∵AB=AC=2，M是AC的中点，
∴CM==1，
∵AD=AE=2，且∠DAE=90°，
∴，
∴CN==2，
在Rt△NMC中，．
【点睛】本题考查平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，能够添加合适的辅助线是解决本题的关键．
25．（1）；（2）；（3）或；（4）
【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）先求解再用含的代数式表示 再利用三角函数建立方程求解两种情况下的即可；
（3）分两种情况讨论：如图，当在上，落在上，如图，当在上，落在上，则重合，再利用矩形的性质结合三角函数可得结论；
（4）如图，当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形， 当时，重叠部分为四边形，如图， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，当第2次落在上时， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，再利用图形的性质列面积函数关系式即可.
【详解】解：（1） ，，，

（2）当时，在上，

而四边形为矩形，



当时，在上，如图，

此时，
，

，

故答案为：
（3）如图，当在上，落在上，

此时


解得：
如图，当在上，落在上，则重合，



同理可得：


解得：
（4）当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，

此时

当落在上时，如图，

同理可得：

解得：
当时，重叠部分为四边形，如图，

同理可得：

如图，当落在上时，

同理可得： 而
解得：
当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，

此时

当第2次落在上时，
当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，
同理可得：


综上：
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，列面积函数关系式，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.
26．(1)1；
(2)
(3)最小值为，此时
(4)且

【分析】（1）将、代入即可求解；
（2）将、代入即可求解；
（3）根据题意建立与的函数关系式，即可求解；
（4）根据抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，可建立不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：将、代入得：

解得：
（2）解：将、代入得：

解得：
（3）解：∵抛物线的解析式为，直线的解析式为，
点的横坐标为，
∴，，，
∵点的横坐标为，∴，，
∴，
∵，，
∴随的增大而减小，
∴时最小，最小值为，此时．
（4）解：
抛物线的对称轴为直线
由抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小可得：
或
解得：或
故 ：且．
【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用等．掌握相关结论是解题关键．