2023年广东省汕头市中考二模数学试题(含解析)
展开2023年广东省汕头市中考二模数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列四个数中,比小的数是( )
A. B. C.0 D.1
2.以下调查中适合作抽样调查的有( )
①了解全班同学期末考试的成绩情况;
②了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况;
③了解“神七”飞船各部件的安全情况;
④了解《长江作业本》在全省七年级学生中受欢迎的程度.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B. C. D.
4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( )
A. B. C. D.
5.若两个相似三角形的周长之比是,则它们的面积之比是( )
A.1∶2 B.1∶ C.2∶1 D.1∶4
6.在平面直角坐标系中,将点A(1,﹣2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A′,则点A′的坐标是( )
A.(﹣1,1) B.(﹣1,﹣2) C.(﹣1,2) D.(1,2)
7.如图,与交于点,,,,则的度数为( )
A. B. C. D.
8.若点在第二象限,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图像交于点P,则根据图像可得,关于x、y的二元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
10.如图,已知的半径为3,弦,为上一动点(点与点、不重合),连接并延长交于点,交于点,为上一点,当时,则的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
二、填空题
11.单项式的系数是 ,次数是 .
12.已知,则代数式的值是 .
13.八年级(2)班名女生的体重(单位:)分别为:、、、、,这组数据的中位数是 .
14.如图,在矩形中,,的平分线交于点,作点关于的对称点,若点落在矩形的边上,则的长为 .
15.如图,在扇形中,,半径交弦于点,且,若,则图中阴影部分的周长为 (结果保留).
三、解答题
16.计算:.
17.解方程:
18.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角度数为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树的高度(结果保留根号).
19.某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共株已知甲种树苗每株元,乙种树苗每株元.
(1)若购买树苗共用元,问甲、乙两种树苗应各买多少株?
(2)据统计,甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和,若要保证该小区的空气净化指数之和不低于,则甲树苗最多可以买多少株?
20.如图,点A、、都在圆上.
(1)过点作圆的切线;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若,,,求圆的半径.
21.如图,四边形是正方形,将四边形沿翻折,点、的对应点分别为、,点恰好是的中点.
(1)若,求的长度;
(2)若与的交点为,连接,试说明.
22.如图,的边在x轴正半轴上,点C的坐标为,反比例函数的图象经过点,D是边的中点.
(1)求反比例函数的解析式及点D的坐标.
(2)尺规作图:过点D作的平行线,交的边于点M,交反比例函数的图象于点P.(保留作图痕迹,不写作法)
(3)在(2)的条件下,连接,求的面积.
23.如图,在直角坐标系中有一直角三角形,为坐标原点,,,将此三角形绕原点逆时针旋转,得到,抛物线经过点、、.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为,
①是否存在一点,使的面积最大?若存在,求出的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
②设抛物线对称轴与轴交于一点,连接,交于,直接写出当与相似时,点的坐标;
参考答案:
1.A
【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
【详解】解:根据有理数比较大小的方法,可得
-2<-1,0>-1,>-1,1>-1,
∴四个数中,比-1小的数是-2.
故选:A.
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小.
2.C
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【详解】解:①了解全班同学期末考试的成绩情况全面调查;
②了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况抽样调查;
③了解“神七”飞船各部件的安全情况全面调查;
④了解《长江作业本》在全省七年级学生中受欢迎的程度抽样调查,
故选:C.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
3.A
【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可
【详解】解:从正面看底层是两个正方形,左边是三个正方形,则立体图形的主视图是,
故选:A.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,解题的关键是熟知从正面看得到的图形是主视图.
4.C
【分析】根据题意可画出树状图,然后进行求解概率即可排除选项.
【详解】解:由题意得:
∴一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是;
故选C.
【点睛】本题主要考查概率,熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键.
5.D
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.
【详解】∵两个相似三角形的周长之比是1∶2,
∴两个相似三角形的相似比是1∶2,
∴它们的面积之比是:1∶4,
故选D.
【点睛】考查相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方.
6.A
【分析】根据点平移规律“左减右加,上加下减”求解即可.
【详解】解:根据向左平移横坐标减,
向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1,纵坐标为﹣2+3=1,
即A′的坐标为(﹣1,1).
故选:A.
【点睛】本题坐标与图形变化-平移,解题的关键是熟练掌握点的坐标平移规律.
7.C
【分析】首先根据两直线平行,内错角相等得出,由补角的性质定理可得,然后由的内角和为,求出的大小.
【详解】解:,
∴,
∵,
∴,
在中,
∵,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理,解题的关键是熟练掌握基本知识.
8.D
【分析】根据点P在第二象限知它的横坐标小于0,纵坐标大于0,列一元一次不等式组,求解集即可.
【详解】解:由P(1-a,a+2)在第二象限,得,
解得a<-2.
故选:D.
【点睛】本题考查第二象限内点的坐标特点、解一元一次不等式组等知识点,属于基础题,熟练掌握各个象限内点的坐标特点是解题关键.
9.C
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标,从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解.
【详解】解:根据函数图可知,
函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是(﹣3,1),
故的解是,
故选:C.
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答问题.
10.C
【分析】如图(见解析),先利用解直角三角形可得,再根据圆周角定理可得,然后根据相似三角形的判定与性质可得,从而可得,设,从而可得,最后利用二次函数的性质求解即可得.
【详解】解:如图,延长交于点,连接,
为的半径,
,
,
,
在中,,即,
,
由圆周角定理得:,
在和中,,
,
,即,
设,则,且,
,
由二次函数的性质可知,在内,当时,取最大值,最大值为4,
即的最大值为4,
则的最大值为,
故选:C.
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点,通过作辅助线,构造相似三角形和直角三角形是解题关键.
11. 3
【分析】单项式的系数是指数字因数,次数是指各字母的指数之和,据此回答即可.
【详解】解:单项式的系数是 ,次数是2+1=3.
故答案为:;3.
【点睛】本题考查单项式的概念,解题的关键是正确理解单项式的概念,本题属于基础题型.
12.21
【分析】由已知可得x-2y=3,继而对所求的式子进行变形后,利用整体代入思想即可求得答案.
【详解】∵x=2y+3,
∴x-2y=3,
∴4x-8y+9=4(x-2y)+9=4×3+9=21,
故答案为21.
【点睛】本题考查了代数式求值,正确的进行变形是解题的关键.
13.38
【分析】将个数据按照从小到大顺序排列,找出中位数即可.
【详解】解:排列得:、、、、,
则中位数为,
故答案为:.
【点睛】此题考查了中位数,熟练掌握中位数的求法是解本题的关键.
14.
【分析】先根据角平分线的定义得到,再由作点关于的对称点,若点落在矩形的边上,即可得到,从而得到,再利用含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求解即可.
【详解】解:四边形是矩形,
,,
平分,
,
作点关于的对称点,若点落在矩形的边上,
,
,
,
,
,
,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质,勾股定理,角平分线的定义,轴对称的性质,含30度角的直角三角形的性质,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15./
【分析】先计算出,则,利用含度的直角三角形三边的关系得到,,所以,进而根据弧长公式求得的长,即可求解.
【详解】解:,,
,
,
,
,
,
在中,,,
,
∴
∵
∴图中阴影部分的周长为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了求弧长,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握弧长公式是解题的关键.
16.
【分析】先化简各式,然后再进行计算即可解答.
【详解】解:
.
【点睛】本题考查了实数的运算,零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值,准确熟练地进行计算是解题的关键.
17.x1=7,x2=
【分析】观察原方程,可运用二次三项式的因式分解法进行求解.
【详解】解:原方程可化为:(x-7)(x+1)=0,
x-7=0或x+1=0;
解得:x1=7,x2=.
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法,解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程.
18.
【分析】先证明得到,再解直角三角形求出即可.
【详解】解:由题意知,,
∴,
∴,
在,,
∴,
答:这棵树 的高度约为.
【点睛】本题考查了利用三角函数解直角三角形的知识,把实际问题转化成成几何图形求解是解决本体的关键.
19.(1)甲种树苗买株,则乙种树苗买株
(2)225株
【分析】(1)设甲种树苗买株,则乙种树苗买株,根据“甲树苗的费用乙树苗的费用”作为相等关系列方程即可求解;
(2)设买株甲种树苗,株乙种树苗时该小区的空气净化指数之和不低于,先根据“空气净化指数之和不低于”列不等式求得的取值范围.
【详解】(1)解:设甲种树苗买株,则乙种树苗买株,
,
,
,
答:甲种树苗买株,则乙种树苗买株.
(2)设买株甲种树苗,株乙种树苗时该小区的空气净华指数之和不低于,
,
,
,
解得:,
即最多买株甲种树苗.
【点睛】本题考查的是用一元一次方程的应用,一元一次不等式的应用,此类题是近年中考中的热点问题.
20.(1)见解析
(2)5
【分析】(1)过点作即可;
(2)由与圆相切以及可得为直角三角形,设,则,根据勾股定理即可求得结果.
【详解】(1)解:过点作,如图,直线即为所求;
(2)解:∵与圆相切,
∴,
∵,
,
∴;
在中,设,则,根据勾股定理可得:,
,
.
圆的半径为.
【点睛】本题主要考查尺规作图以及与圆有关的性质,掌握过直线外一点作已知直线的垂线是解题的关键,同时也考查了垂径定理以及勾股定理.
21.(1)3
(2)见解析
【分析】(1)根据翻折的性质结合勾股定理即可求解;
(2)延长、交于点,可证≌,得,;而,则,所以,则,所以,得,即可证明.
【详解】(1)解:四边形是正方形,
,,
是的中点,
,
,
,,
由翻折得,
,且,
,
解得,
的长度是.
(2)解:延长、交于点,则,
在和中,
,
≌,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识,正确地作出所需辅助线是解题的关键.
22.(1),
(2)见解析
(3)3
【分析】(1)待定系数法求出反比例函数解析式,平行四边形的性质求出点的坐标,中点坐标公式,求出点的坐标;
(2)作线段的垂直平分线交于点M,作直线,直线即为所求,且交反比例函数图象于点.
(3)先求出的坐标,利用进行求解即可.
【详解】(1)解:把点代入得.
∴反比例函数的解析式为.
∵的边在x轴正半轴上,点C的坐标为,
∴,轴.
又∵,
∴.
∵D是边的中点,
∴.
(2)解:作线段的垂直平分线交于点M,作直线,直线即为所求,且交反比例函数图象于点,如图所示:
∵的边在x轴正半轴上,为的中点,
∴,,
∴四边形为平行四边形,
∴.
(3)∵点,点为的中点,
∴点,
∴点的纵坐标为2,
把代入,得.
∴点.
∴.
∴.
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质,用待定系数法确定反比例函数的解析式,平行四边形的性质,尺规作图,三角形的面积公式.熟练掌握相关知识点并灵活运用,是解题的关键.
23.(1)
(2)①存在,最大值为;②或
【分析】根据正切函数,可得,根据旋转的性质,可得,根据待定系数法,可得函数解析式;
可求得直线的解析式,过作轴于点,交于点,可用表示出的长,当取最大值时,则的面积最大,可求得其最大值;
根据相似三角形的性质,可得与的关系,根据解方程,可得的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
【详解】(1)
解:在中,,,
,
是由绕点逆时针旋转而得到的,
,
,.
,,的坐标分别为,,,
代入解析式得:
,
解得:,
抛物线的解析式为;
(2)存在点使的面积最大,的面积有最大值为
理由如下:
设直线解析式为,
把、两点坐标代入可得:
,
解得:,
直线解析式为,
如图,过作轴,交轴于点,交直线于点,
点横坐标为,
,,
点在第二象限,
点在点上方,
,
当时,有最大值,最大值为,
,
当有最大值时,的面积有最大值,
,
综上可知,存在点使的面积最大,的面积有最大值为;
当时,,过点作轴于点,,
,
,
点的横坐标为,
,
在第二象限,
,,
,
解得,,与在二象限,横坐标小于矛盾,舍去,
当时,,
,
当时,,
此时,轴,
当与相似时,点的坐标为或.
【点睛】本题考查了二次函数综合题,解的关键是利用旋转的性质得出,的长,又利用了待定系数法;解的关键是利用相似三角形的性质得出.
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