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(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题06 空间点、线与面的位置关系（课时训练）（原卷版+解析）
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这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题06 空间点、线与面的位置关系（课时训练）（原卷版+解析），共28页。
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
2．（2022·全国·高一）如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
3．（2022·江西·高三期末（文））在长方体中，，，点，分别为，的中点，则与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江西赣州·高二期末（理））在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．（2022·四川省广安代市中学校高二阶段练习（理））在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和DD1的中点，则异面直线和B1M所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．60°
6．（2022·陕西宝鸡·一模（文）），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①若，，则与所成的角等于与所成的角；
②若 ，，，则与是异面直线；
③若 ，，，则；
④若，，，则．A．1B．2C．3D．4
7．（2022·四川乐山·高二期末（文））如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·高三学业考试）己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．
①截面形状一定是等边三角形：
②截面形状可能为五边形；
③截面面积的最大值为，最小值为；
④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．
10．（2021·全国·高一课时练习）空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
11．（2022·山东济南·高二期末）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.
12．（2021·湖北·高二阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为2，与底面所成角的余弦值为，则该直四棱柱的体积为___________.
13．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________．
B组 能力提升
14．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面
15．（2021·山东聊城·高一期中）(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
16．（2022·重庆·高三开学考试）(多选题)如图所示是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与所在直线垂直B．与所在直线平行
C．与所在直线异面D．与所在直线成角
17．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）(多选题)设有三条不重合直线a、b、c和三个不重合平面，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
18．（2022·重庆南开中学高二期末）(多选题)已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
19．（2022·重庆·一模）(多选题)已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°
20．（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）(多选题)设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
21．（2022·江西九江·一模（理））已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．
①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；
②M的面积最大值为；
③M的周长为定值．
22．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向作匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度作匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.
专题06 空间点、线与面的位置关系
A组 基础巩固
1．（2022·陕西西安·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面的基本性质判断各选项的正误.
【详解】
A：不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B：如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
C：两条异面直线就不在一个平面内，故C错误；
D：两条相交直线确定一个平面，正确.
故选：D.
2．（2022·全国·高一）如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
【分析】
由图可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案
【详解】
由图可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，
故选：A
3．（2022·江西·高三期末（文））在长方体中，，，点，分别为，的中点，则与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平移法，构造出异面直线所成的角，解三角形可得.
【详解】
如图，分别取，的中点，，连接，，，
∵，且，故四边形是平行四边形，故，
同理可证：，所以为所求的角（或其补角），又因为，，所以，故，所以.
故选：C.
4．（2022·江西赣州·高二期末（理））在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三棱柱的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解.
【详解】
根据直三棱柱的特征，
补全可得如图所示的正方体，
易知，为直线与所成角，
连接，则为等边三角形，
所以，
所以直线与所成角的大小为.
故选：B
5．（2022·四川省广安代市中学校高二阶段练习（理））在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和DD1的中点，则异面直线和B1M所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，然后再求解即可.
【详解】
过点作交于，交于，易知,
所以，而，
所以，故，所以异面直线和B1M所成的角为.
故选：C
6．（2022·陕西宝鸡·一模（文）），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①若，，则与所成的角等于与所成的角；
②若 ，，，则与是异面直线；
③若 ，，，则；
④若，，，则．A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案.
【详解】
对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确；
对②，根据题意m,n既不平行也不相交，故m,n异面，所以②正确；
如图，在正方体中，若为平面ABCD，为平面，取m为AB，n为，显然异面，所以③错误；
若为平面ABCD，为平面，则m为AB，取n为BC，则，所以④错误.
故选：B.
7．（2022·四川乐山·高二期末（文））如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.
【详解】
连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.
故选：C.
8．（2022·浙江·高三学业考试）己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.
【详解】
“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．
①截面形状一定是等边三角形：
②截面形状可能为五边形；
③截面面积的最大值为，最小值为；
④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．
【答案】④
【解析】
【分析】
在正方体中作出满足题意的截面，即可作出判断.
【详解】
如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，
∴①②明显错误；
截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；
当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．
故④正确.
故答案为：④
10．（2021·全国·高一课时练习）空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
【答案】32
【解析】
【分析】
按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解
【详解】
首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，
故答案为：32
11．（2022·山东济南·高二期末）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.
【答案】##30°
【解析】
【分析】
过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.
【详解】
过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.
设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则
于是，,.
在中，，取DE的中点F，则，所以，即，于是.
故答案为：.
12．（2021·湖北·高二阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为2，与底面所成角的余弦值为，则该直四棱柱的体积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由面得到是与底面ABCD所成的角，进而根据条件求出，最后求出柱体的体积.
【详解】
由题意面，则是与底面ABCD所成的角，由.
所以该直四棱柱的体积.
故答案为：.
13．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________．
【答案】①③
【解析】
【分析】
由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.
【详解】
还原正方体如下图示：
由正方体性质知：//且有,故①正确，②错误.
③,由图知：与是异面直线，故正确.
④,由正方体的性质知：,故错误.
故答案为：①③.
B组 能力提升
14．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
只需证明A，M，O三点均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上即可判断.
【详解】
平面AA1C∩平面AB1D1=AO，
∵直线A1C交平面AB1D1于点M，
∴M∈AO，即A，O，M三点共线；
根据A，O，M三点共线，知A1A∩AO=A，
∴M，O，A1，A四点共面；
同理M，O，C1，C四点共面；
OM，B1D是异面直线，故O，M，B1，D四点共面是错误的，
故选：ABC．
15．（2021·山东聊城·高一期中）(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据三点C1，M，O是平面C1BD与平面ACC1A1的公共点可知C1，M，O三点共线，由此可得答案.
【详解】
在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
又A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴A，B，C均正确，D不正确.
故选：ABC
16．（2022·重庆·高三开学考试）(多选题)如图所示是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与所在直线垂直B．与所在直线平行
C．与所在直线异面D．与所在直线成角
【答案】BCD
【解析】
【分析】
作出正方体，利用异面直线所成角的定义可判断AD选项；利用平行四边形的性质可判断B选项；利用图形可判断C选项.
【详解】
如下图所示，连接.
对于A选项，因为且，则四边形为平行四边形，
故与所成的角为或其补角，
易知为等边三角形，则，A错；
对于B选项，由A可知，四边形为平行四边形，则，B对；
对于C选项，由图可知，与所在直线异面，C对；
对于D选项，因为且，故四边形为平行四边形，
所以，与所成的角为或其补角，
因为为等边三角形，则，即与所在直线成角，D对.
故选：BCD.
17．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）(多选题)设有三条不重合直线a、b、c和三个不重合平面，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据平行的传递性可判断A，根据空间直线的位置关系可判断B，根据平行面的传递性可判断C，根据面面之间的位置关系可判断D
【详解】
对于A，由平行线的传递性可知，若，则，所以A正确，
对于B，若，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，
对于C，根据平行面的传递性可知，若，则，所以C正确，
对于D，若，则可能平行，也可能相交，如空间直角坐标系中，三个面两两垂直，所以D错误，
故选：AC
18．（2022·重庆南开中学高二期末）(多选题)已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对A，由线面平行的性质可判断正确；对B，可能存在，对C，由面面垂直的性质可判断正确；对D，由垂直和平行的性质可判断正确.
【详解】
对A，由线面平行的性质可知，直线平行于已知平面，则直线平行于过该直线的平面与已知平面的交线，故A正确；
对B，当，不满足命题，故B错误；
对C，如图所示，，作，
因为，，，所以,，
又因为，所以，因为，所以，故C正确；
对D，因为，，所以，又，则，故D正确.
故选：ACD
19．（2022·重庆·一模）(多选题)已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°
【答案】AC
【解析】
【分析】
选项A.由题意满足条件的直线是平面与平面PAB的交线，从而可判断；选项B.由平行公理可判断；C选项.由线线平行的性质结合异面直线成角的概念可判断；D选项.由异面直线成角可判断.
【详解】
选项A.过点P与直线AB相交的直线必在平面PAB内，
过点P与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确；
选项B.若存在一条直线与，都平行，则，矛盾，B不正确；
C选项.因为，若则，若，则平面，
显然满足条件的直线唯一，即，C正确；
D选项.取，的中点E，F，连PE，PF，则，，
若l与直线，所成角为45°，则l与PE，PF所成角为45°，
显然的角平分线及其外角平分线均符合，D不正确.
故选：AC
20．（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）(多选题)设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可.
【详解】
对于A，当直线AB与垂直时，过AB的所有平面都与垂直；
当直线AB与不垂直时（无论相交还是平行），设A，B在平面内的射影为点和，
则直线和平行，且它们都垂直于平面，直线和所在的平面与垂直，正确；
对于B，当与相交时，内不存在直线与平行，否则直线AB与平行，故B错误；
对于C，当与平行时，内所有直线与都没有交点，故C错误；
对于D，选项A中确定的平面与平面的交线记为m，则平面内所有与m垂直的直线都与平面垂直，于是也和直线AB垂直，故D正确．
故选：AD．
21．（2022·江西九江·一模（理））已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．
①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；
②M的面积最大值为；
③M的周长为定值．
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据平面，平面，分点E与或重合和点E与不重合，两种情况讨论求解判断.
【详解】
如图所示：
平面，平面，
①当点E与或重合时，M为正或正，
周长为，面积为，在平面上投影面积为；
②当点E与不重合时，设，则，
∴，，
∴，
同理可得：，，
故M的周长为定值．
M的面积为
，
当时，取得最大值．
M在平面上投影的面积，
由①②知M在平面上投影的面积取值范围是，
M的面积最大值为，M的周长为定值．
故答案为：②③
22．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向作匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度作匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.
【答案】##
【解析】
【分析】
画出符合要求的图形，观察得到轨迹是菱形，并进行充分性和必要性两方面的证明，并求解出轨迹图形的面积.
【详解】
如图，分别是正方形ABCD，，的中心，下面进行证明：菱形EFGC的周界即为动线段PQ的中点H的轨迹，
首先证明：如果点H是动线段PQ的中点，那么点H必在菱形EFGC的周界上，
分两种情况证明：（1）P，Q分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设P从B到C，而Q同时从到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中点H必在上；
（2）P，Q分别在两条异面直线上，不失一般性，设P从A到B，同时Q从到，由于速度相同，则，由于H为PQ的中点，连接并延长，交底面ABCD于点T，连接PT，则平面与平面交线是PT，
∵∥平面，
∴∥PT，
∴，
而，∥BC，
∴是等腰直角三角形，，从而T在AC上，可以证明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行线的唯一性，显然H在DG上，
综合（1）（2）可证明，线段PQ的中点一定在菱形EFGC的周界上；
下面证明：如果点H在菱形EFGC的周界上，则点H必定是符合条件的线段的中点.
也分两种情况进行证明：
（1）H在CG或CE上，过点H作PQ∥（或BD），而与BC及（或CD及BC）分别相交于P和Q，由相似的性质可得：PH=QH，即H是PQ的中点，同时可证：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合题设条件
（2）H在EF或FG上，不失一般性，设H在FG上，连接并延长，交平面AC于点T，显然T在AC上，过T作TP∥CB于点P，则TP∥，在平面上，连接PH并延长，交于点Q，在三角形中，G是的中点，∥AC，则H是的中点，于是，从而有，又因为TP∥CB，，所以，从而，因此P，Q符合题设条件.
由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一点，则H必是符合题设条件的动线段PQ的中点，证毕.
因为四边形为菱形，其中，所以边长为且，为等边三角形，，所以面积.
故答案为：
【点睛】
对于立体几何轨迹问题，要画出图形，并要善于观察，利用所学的立体几何方面的知识，大胆猜测，小心验证，对于多种情况的，要画出相应的图形，注意分类讨论.
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
2．（2022·全国·高一）如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
3．（2022·江西·高三期末（文））在长方体中，，，点，分别为，的中点，则与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江西赣州·高二期末（理））在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．（2022·四川省广安代市中学校高二阶段练习（理））在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和DD1的中点，则异面直线和B1M所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．60°
6．（2022·陕西宝鸡·一模（文）），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①若，，则与所成的角等于与所成的角；
②若 ，，，则与是异面直线；
③若 ，，，则；
④若，，，则．A．1B．2C．3D．4
7．（2022·四川乐山·高二期末（文））如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·高三学业考试）己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．
①截面形状一定是等边三角形：
②截面形状可能为五边形；
③截面面积的最大值为，最小值为；
④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．
10．（2021·全国·高一课时练习）空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
11．（2022·山东济南·高二期末）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.
12．（2021·湖北·高二阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为2，与底面所成角的余弦值为，则该直四棱柱的体积为___________.
13．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________．
B组 能力提升
14．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面
15．（2021·山东聊城·高一期中）(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
16．（2022·重庆·高三开学考试）(多选题)如图所示是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与所在直线垂直B．与所在直线平行
C．与所在直线异面D．与所在直线成角
17．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）(多选题)设有三条不重合直线a、b、c和三个不重合平面，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
18．（2022·重庆南开中学高二期末）(多选题)已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
19．（2022·重庆·一模）(多选题)已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°
20．（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）(多选题)设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
21．（2022·江西九江·一模（理））已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．
①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；
②M的面积最大值为；
③M的周长为定值．
22．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向作匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度作匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.
专题06 空间点、线与面的位置关系
A组 基础巩固
1．（2022·陕西西安·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面的基本性质判断各选项的正误.
【详解】
A：不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B：如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
C：两条异面直线就不在一个平面内，故C错误；
D：两条相交直线确定一个平面，正确.
故选：D.
2．（2022·全国·高一）如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
【分析】
由图可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案
【详解】
由图可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，
故选：A
3．（2022·江西·高三期末（文））在长方体中，，，点，分别为，的中点，则与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平移法，构造出异面直线所成的角，解三角形可得.
【详解】
如图，分别取，的中点，，连接，，，
∵，且，故四边形是平行四边形，故，
同理可证：，所以为所求的角（或其补角），又因为，，所以，故，所以.
故选：C.
4．（2022·江西赣州·高二期末（理））在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三棱柱的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解.
【详解】
根据直三棱柱的特征，
补全可得如图所示的正方体，
易知，为直线与所成角，
连接，则为等边三角形，
所以，
所以直线与所成角的大小为.
故选：B
5．（2022·四川省广安代市中学校高二阶段练习（理））在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和DD1的中点，则异面直线和B1M所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，然后再求解即可.
【详解】
过点作交于，交于，易知,
所以，而，
所以，故，所以异面直线和B1M所成的角为.
故选：C
6．（2022·陕西宝鸡·一模（文）），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①若，，则与所成的角等于与所成的角；
②若 ，，，则与是异面直线；
③若 ，，，则；
④若，，，则．A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案.
【详解】
对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确；
对②，根据题意m,n既不平行也不相交，故m,n异面，所以②正确；
如图，在正方体中，若为平面ABCD，为平面，取m为AB，n为，显然异面，所以③错误；
若为平面ABCD，为平面，则m为AB，取n为BC，则，所以④错误.
故选：B.
7．（2022·四川乐山·高二期末（文））如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.
【详解】
连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.
故选：C.
8．（2022·浙江·高三学业考试）己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.
【详解】
“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．
①截面形状一定是等边三角形：
②截面形状可能为五边形；
③截面面积的最大值为，最小值为；
④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．
【答案】④
【解析】
【分析】
在正方体中作出满足题意的截面，即可作出判断.
【详解】
如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，
∴①②明显错误；
截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；
当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．
故④正确.
故答案为：④
10．（2021·全国·高一课时练习）空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
【答案】32
【解析】
【分析】
按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解
【详解】
首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，
故答案为：32
11．（2022·山东济南·高二期末）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.
【答案】##30°
【解析】
【分析】
过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.
【详解】
过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.
设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则
于是，,.
在中，，取DE的中点F，则，所以，即，于是.
故答案为：.
12．（2021·湖北·高二阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为2，与底面所成角的余弦值为，则该直四棱柱的体积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由面得到是与底面ABCD所成的角，进而根据条件求出，最后求出柱体的体积.
【详解】
由题意面，则是与底面ABCD所成的角，由.
所以该直四棱柱的体积.
故答案为：.
13．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________．
【答案】①③
【解析】
【分析】
由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.
【详解】
还原正方体如下图示：
由正方体性质知：//且有,故①正确，②错误.
③,由图知：与是异面直线，故正确.
④,由正方体的性质知：,故错误.
故答案为：①③.
B组 能力提升
14．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
只需证明A，M，O三点均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上即可判断.
【详解】
平面AA1C∩平面AB1D1=AO，
∵直线A1C交平面AB1D1于点M，
∴M∈AO，即A，O，M三点共线；
根据A，O，M三点共线，知A1A∩AO=A，
∴M，O，A1，A四点共面；
同理M，O，C1，C四点共面；
OM，B1D是异面直线，故O，M，B1，D四点共面是错误的，
故选：ABC．
15．（2021·山东聊城·高一期中）(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据三点C1，M，O是平面C1BD与平面ACC1A1的公共点可知C1，M，O三点共线，由此可得答案.
【详解】
在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
又A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴A，B，C均正确，D不正确.
故选：ABC
16．（2022·重庆·高三开学考试）(多选题)如图所示是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与所在直线垂直B．与所在直线平行
C．与所在直线异面D．与所在直线成角
【答案】BCD
【解析】
【分析】
作出正方体，利用异面直线所成角的定义可判断AD选项；利用平行四边形的性质可判断B选项；利用图形可判断C选项.
【详解】
如下图所示，连接.
对于A选项，因为且，则四边形为平行四边形，
故与所成的角为或其补角，
易知为等边三角形，则，A错；
对于B选项，由A可知，四边形为平行四边形，则，B对；
对于C选项，由图可知，与所在直线异面，C对；
对于D选项，因为且，故四边形为平行四边形，
所以，与所成的角为或其补角，
因为为等边三角形，则，即与所在直线成角，D对.
故选：BCD.
17．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）(多选题)设有三条不重合直线a、b、c和三个不重合平面，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据平行的传递性可判断A，根据空间直线的位置关系可判断B，根据平行面的传递性可判断C，根据面面之间的位置关系可判断D
【详解】
对于A，由平行线的传递性可知，若，则，所以A正确，
对于B，若，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，
对于C，根据平行面的传递性可知，若，则，所以C正确，
对于D，若，则可能平行，也可能相交，如空间直角坐标系中，三个面两两垂直，所以D错误，
故选：AC
18．（2022·重庆南开中学高二期末）(多选题)已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对A，由线面平行的性质可判断正确；对B，可能存在，对C，由面面垂直的性质可判断正确；对D，由垂直和平行的性质可判断正确.
【详解】
对A，由线面平行的性质可知，直线平行于已知平面，则直线平行于过该直线的平面与已知平面的交线，故A正确；
对B，当，不满足命题，故B错误；
对C，如图所示，，作，
因为，，，所以,，
又因为，所以，因为，所以，故C正确；
对D，因为，，所以，又，则，故D正确.
故选：ACD
19．（2022·重庆·一模）(多选题)已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°
【答案】AC
【解析】
【分析】
选项A.由题意满足条件的直线是平面与平面PAB的交线，从而可判断；选项B.由平行公理可判断；C选项.由线线平行的性质结合异面直线成角的概念可判断；D选项.由异面直线成角可判断.
【详解】
选项A.过点P与直线AB相交的直线必在平面PAB内，
过点P与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确；
选项B.若存在一条直线与，都平行，则，矛盾，B不正确；
C选项.因为，若则，若，则平面，
显然满足条件的直线唯一，即，C正确；
D选项.取，的中点E，F，连PE，PF，则，，
若l与直线，所成角为45°，则l与PE，PF所成角为45°，
显然的角平分线及其外角平分线均符合，D不正确.
故选：AC
20．（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）(多选题)设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可.
【详解】
对于A，当直线AB与垂直时，过AB的所有平面都与垂直；
当直线AB与不垂直时（无论相交还是平行），设A，B在平面内的射影为点和，
则直线和平行，且它们都垂直于平面，直线和所在的平面与垂直，正确；
对于B，当与相交时，内不存在直线与平行，否则直线AB与平行，故B错误；
对于C，当与平行时，内所有直线与都没有交点，故C错误；
对于D，选项A中确定的平面与平面的交线记为m，则平面内所有与m垂直的直线都与平面垂直，于是也和直线AB垂直，故D正确．
故选：AD．
21．（2022·江西九江·一模（理））已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．
①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；
②M的面积最大值为；
③M的周长为定值．
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据平面，平面，分点E与或重合和点E与不重合，两种情况讨论求解判断.
【详解】
如图所示：
平面，平面，
①当点E与或重合时，M为正或正，
周长为，面积为，在平面上投影面积为；
②当点E与不重合时，设，则，
∴，，
∴，
同理可得：，，
故M的周长为定值．
M的面积为
，
当时，取得最大值．
M在平面上投影的面积，
由①②知M在平面上投影的面积取值范围是，
M的面积最大值为，M的周长为定值．
故答案为：②③
22．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向作匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度作匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.
【答案】##
【解析】
【分析】
画出符合要求的图形，观察得到轨迹是菱形，并进行充分性和必要性两方面的证明，并求解出轨迹图形的面积.
【详解】
如图，分别是正方形ABCD，，的中心，下面进行证明：菱形EFGC的周界即为动线段PQ的中点H的轨迹，
首先证明：如果点H是动线段PQ的中点，那么点H必在菱形EFGC的周界上，
分两种情况证明：（1）P，Q分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设P从B到C，而Q同时从到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中点H必在上；
（2）P，Q分别在两条异面直线上，不失一般性，设P从A到B，同时Q从到，由于速度相同，则，由于H为PQ的中点，连接并延长，交底面ABCD于点T，连接PT，则平面与平面交线是PT，
∵∥平面，
∴∥PT，
∴，
而，∥BC，
∴是等腰直角三角形，，从而T在AC上，可以证明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行线的唯一性，显然H在DG上，
综合（1）（2）可证明，线段PQ的中点一定在菱形EFGC的周界上；
下面证明：如果点H在菱形EFGC的周界上，则点H必定是符合条件的线段的中点.
也分两种情况进行证明：
（1）H在CG或CE上，过点H作PQ∥（或BD），而与BC及（或CD及BC）分别相交于P和Q，由相似的性质可得：PH=QH，即H是PQ的中点，同时可证：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合题设条件
（2）H在EF或FG上，不失一般性，设H在FG上，连接并延长，交平面AC于点T，显然T在AC上，过T作TP∥CB于点P，则TP∥，在平面上，连接PH并延长，交于点Q，在三角形中，G是的中点，∥AC，则H是的中点，于是，从而有，又因为TP∥CB，，所以，从而，因此P，Q符合题设条件.
由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一点，则H必是符合题设条件的动线段PQ的中点，证毕.
因为四边形为菱形，其中，所以边长为且，为等边三角形，，所以面积.
故答案为：
【点睛】
对于立体几何轨迹问题，要画出图形，并要善于观察，利用所学的立体几何方面的知识，大胆猜测，小心验证，对于多种情况的，要画出相应的图形，注意分类讨论.
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