浙江省衢州市乐成寄宿中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份浙江省衢州市乐成寄宿中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

衢州市乐成寄宿中学2022-2023学年度下学期期中考试
高一数学试卷
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A. 5 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案.
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得：，
故选：A.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 多面体至少有个面
B. 有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D. 棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可．
【详解】对于A，多面体至少有个面，故选项A错误；
对于B，有个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；
对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；
对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确.
故选：D．
3. 已知为锐角，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据求得，根据求得，再根据正切的差角公式求解即可.
【详解】因为为锐角，所以
所以，
因为，所以，
.
故选：C.
4. 已知向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得出，再根据得到，最后利用向量数量积的定义求出与的夹角.
【详解】非零向量，满足，∴，
由可得，解得，
设为与的夹角，
，
，.
故选：A．
5. 给出的下列条件中能成为的充分不必要条件是（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合集合的包含关系解决即可.
【详解】由题知，，
所以，解得，或，
对于A，能成为的充分必要条件；
对于B, 能成为的充分不必要条件；
对于C，能成为的既不充分也不必要条件；
对于D，能成为既不充分也不必要条件；
故选：B
6. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正数、满足，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
7. 已知复数，则的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用的性质、复数的模及复数除法运算求出复数z和，再根据共轭复数的概念求解.
【详解】因为，
则，
所以的共轭复数为i.
故选：B.
8. 如图，一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.如果过点作一条直线分别交，于点，，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可将问题转化为求面积的最小值，利用正弦定理及基本不等式即可解决.
【详解】设
则
=
化简得：
，当且仅当，即时取得等号，故
而
当面积的最小时，剩下的四边形面积的最大为
故选：A
【点睛】本题考察平面图形的面积最值，可转化为求三角形面积最值，一般情况都可以转化为利用基本不等式或者同一变量的函数值域问题，属于压轴题.
二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用欧拉公式及特殊角的三角函数值即可求解；
对于B，利用欧拉公式及复数的模公式，结合同角三角形的平方关系即可求解；
对于C，利用欧拉公式及诱导公式即可求解；
对于D，利用欧拉公式及复数的几何意义即可求解.
【详解】对于A，由，得，故A错误；
对于B，由，得，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，由，得，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误.
故选：BC.
10. 已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过斜二测画法的定义可知BC为轴时，为最大值，以BC为轴，则此时为最小值，故的长度范围是，C选项可以
以AB为轴进行求解出，从而求出正确结果.
【详解】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，

A正确，
以BC轴，则此时，
则的长度范围是，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，
则，，
由勾股定理得：，C正确；

故选：AC
11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）

A. 为定值
B. 的取值范围是
C. 当时，为定值
D. 时，的最大值为12
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.
【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则


，故A正确．
取AC的中点为M，连接OM，
则
，
而
故的取值范围是故B错误；
当时，
，故C正确．
当时，圆O半径取AC中点为，中点为，
则

，
最后等号成立是因为，
不等式等号成立当且仅当，故D正确．
故选:ACD.
12. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则是在的投影向量
D. 若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C错误.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.
【详解】如图所示：

对选项A，，故A错误.
对选项B，

，故B正确.
对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.
因为，所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，如图所示：

在的投影为，
所以是在的投影向量，故选项C错误.
对选项D，如图所示：

因为在上，即三点共线，
设，.
又因为，所以.
因为，则，.
令，
当时，取得最大值为.故选项D正确.
故选：BD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案天灾答题卡中的横线上.
13. 用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．
【详解】设原正方形的边长为，根据斜二测画法的原则可知，，
高，
∴对应直观图的面积为，即，故原正方形的面积为16，

故答案:16．
14. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线可知，据此即可得解.
【详解】因为向量与共线，且，为非零不共线向量，
所以，
故，解得，
故答案为：
15. 如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积运算得出，，根据二次函数性质即可求的最小值．
【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，

则，，，
设点坐标为，则，，，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
16. 对于三角形形状的判断，以下说法正确的有：__________
①若，则为等腰三角形；
②若，则为等边三角形．
③，则为直角三角形．
④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则为钝角三角形．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】根据正弦定理边化角，可推得或，判断①；根据向量数量积的运算律可判断②；举反例可判断③；根据向量数量积的运算律结合向量的模可判断④；利用正弦定理角化边结合余弦定理可判断⑤.
详解】对于①，，则,
即，由于，则，
则或，即或，
故为等腰三角形或直角三角形，①错误；
对于②，由可得，
即，故，
同理由可得,
故为等边三角形，②正确．
对于③，不妨取,满足，但不是直角三角形．③错误；
对于④，因为 ，故，
即，
又，所以 ，
故，由于，故，
同理可得，结合 ，
故≌≌,可得，
故为等边三角形，④正确；
对于⑤，由得，
即，即，
由于，故为钝角，故为钝角三角形，⑤正确，
故答案为：②④⑤
【点睛】方法点睛：判断三角形形状问题可以利用正余弦定理，根据角的范围进行判断，注意正余弦定理边角互化的应用，也可以利用向量的线性运算或者数量积的运算进行判断.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知．
（1）求函数在上的严格增区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，待到函数的图像，若函数的图像关于点对称，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变化得到，利用整体法求解出函数的单调递增区间，得到答案；
（2）先求出的解析式，得到，由对称性得到，得到的最小值，求出答案.
【小问1详解】
，
因为，所以，
因在上单调递增，所以，
解得：，
故函数在上的严格增区间为；
【小问2详解】
，
的图像关于点对称，故，
，
故，解得：，
因为，所以当时，取得最小值，
故的最小值为.
18. 已知向量满足，且，.
（1）求；
（2）求与的夹角
（3）求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的运算律可直接构造方程求得结果；
（2）利用向量夹角公式直接求解即可；
（3）由，利用向量数量积的运算律可求得结果.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
，又，.
【小问3详解】
.
19. 已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．
（1）求复数z；
（2）求的模．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解；
（2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.
【小问1详解】
设复数，
因为为实数，所以，则复数，
又因为为纯虚数，
则，得，
所以复数.
【小问2详解】
由（1）可知复数，则，
所以的模为.
20. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合向量运算、正弦定理求得，由此求得.
（2）利用正弦定理将表示为三角函数的形式，结合三角函数值域的求法求得的取值范围、
【小问1详解】
在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
【小问2详解】
由正弦定理得：，∴，，
∴

，
∵，∴，即，
∴，，
∴，
即.
21. 平面内给出三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4，1)，求解下列问题：
（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标；
（2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
（3）若(＋k)(2－)，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）且
（3）
【解析】
【分析】（1）根据投影向量坐标公式计算即可；
（2）根据与的夹角为锐角得到且与不同向共线，然后列不等式求解即可；
（3）根据得到，然后解方程即可.
【小问1详解】
在方向上的投影向量坐标为.
【小问2详解】
，，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，即，解得且.
【小问3详解】
，，
因为，所以，解得.
22. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．

（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3），最小值为
【解析】
【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解；
（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；
（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.
【小问1详解】
当时，，
所以，
又
所以是等边三角形，所以，
所以在中，，即，
所以；
【小问2详解】
，，，
在中，由正弦定理得，
所以
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，所以；
【小问3详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
所以

所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故关于的函数表达式为，最小值为.