贵州省凯里市第一中学2023届高三高考模拟（黄金Ⅰ卷）文科数学试题（含解析）

这是一份贵州省凯里市第一中学2023届高三高考模拟（黄金Ⅰ卷）文科数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

贵州省凯里市第一中学2023届高三高考模拟（黄金Ⅰ卷）文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，则复数的虚部为（    ）
A． B． C． D．
3．“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（    ）
  
A．甲的众数小于乙的众数 B．乙的极差小于甲的极差
C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均数大于甲的平均数
4．已知向量，，记向量与的夹角为，则（    ）
A． B． C． D．
5．若实数，满足约束条件，则的最小值是（    ）
A．1 B． C． D．
6．等差数列的公差为，前项为，若数列的最大项是第20项和第21项，则（    ）
A．18 B．20 C．22 D．24
7．已知，则（    ）
A． B． C． D．
8．已知平面、、，其中，，点在平面内，有以下四个命题：
①在内过点，有且只有一条直线垂直；
②在内过点，有且只有一条直线平行；
③过点作的垂线，则；
④与、的交线分别为、，则．
则真命题的个数为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．某足球比赛有A，B，C，D，E，F，G，H共8支球队，其中A，B为第一档球队，C，D为第二档球队，E，F为第三档球队，G，H为第四档球队，现将上述8支球队分成2个小组，每个小组4支球队，若同一档位的球队不能出现在同一个小组中，则A，D，F被分在同一个小组的概率为（    ）
A． B． C． D．
10．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
11．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
12．若，，，则（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数a的一个值为 .
14．曲线在处的切线与曲线只有一个交点，则 ．
15．已知函数，则函数在区间上共有 个零点．
16．已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .

三、解答题
17．二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀.某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了150名学生进行答题，其中男生占，记录其性别和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图.
  
(1)若该校有3000人，试估计该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数；
(2)完成下面的列联表，判断能否有的把握认为“是否全部答对”与性别有关？

完全答对
部分答对
合计
男



女



合计



附：，其中.

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
18．在中，角的对边分别为，满足，且．
(1)求的大小；
(2)若，求的面积．
19．如图，在三棱柱中，，.
  
(1)证明：；
(2)若，，，点E为的中点，求三棱锥的体积.
20．已知椭圆的长轴长为4，上顶点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的最小值．
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，，证明：.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．
(1)求的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，求以与、与的交点为顶点的多边形的面积．
23．已知函数，．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据不等式的解法求得集合，，结合集合并集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合，，
根据集合并集的概念及运算，可得.
故选：A.
2．C
【分析】利用复数的运算法则求出复数，即可得到其虚部.
【详解】由已知得，
则复数的虚部为，
故选：.
3．D
【分析】根据已知条件，结合众数、极差的定义，以及方差和平均数公式，即可求解．
【详解】由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4，5，6，3，4，3，3，
乙志愿者的宣传次数分别为：5，4，4，5，4，3，3，
甲的平均数为，
乙的平均数为，故D错误，
甲的众数为3，乙的众数为4，故甲的众数小于乙的众数，故A正确；
甲的极差为3，乙的极差为2，则乙的极差小于甲的极差，故B正确；
甲的方差为，
乙的方差为，
故甲的方差大于乙的方差，故C正确．
故选：D．
4．D
【分析】根据数量积、模的坐标表示求出、、，即可求出，再由二倍角公式计算可得.
【详解】因为，，所以，，
，
所以，则.
故选：D
5．B
【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
【详解】根据约束条件画出可行域（如图），
  
把变形为，得到斜率为1，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线．
由图可知，当直线过点时，截距最小，
解方程组，得点A坐标为，
所以的最小值为．
故选：B.
6．C
【分析】直接利用等差数列的性质，求得，进而求得结果.
【详解】由数列的最大项是第20项和第21项，可得，
即，解得，即，
因为等差数列的公差为，
所以，解得.
故选：C.
7．A
【分析】根据和差角以及二倍角公式化简，由弦切互化即可代入求解.
【详解】由得，，将代入得，
故选：A
8．B
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．
【详解】，，，
又点在平面内，在内过点，有且只有一条直线垂直，故①正确；
当在与的交线上时，在内过点，不存在直线平行，故②错误；
当在与的交线上时，过点作的垂线，则，故③错误；
与、的交线分别为、，由平面与平面平行的性质，可得，故④正确．
真命题的个数为2．
  
故选：B．
9．B
【分析】根据题意计算总的情况数，再分析满足条件的情况数即可求解.
【详解】根据题意，所有可能的情况有8种：
和两组；和两组；
和两组；和两组；
和两组；和两组；
和两组；和两组；
其中A，D，F被分在同一个小组的情况有两种情况：
和两组；和两组.
故A，D，F被分在同一个小组的概率为
故选：B.
10．D
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数，则，即，解得，
所以的定义域为，且，
所以为奇函数，
又函数在上单调递减，
所以在上单调递减，则在上单调递减，
所以不等式，即，
等价于，解得，即实数的取值范围是.
故选：D
11．C
【分析】由已知可得,,的坐标，求得,所在直线的斜率，再由直线与直线的斜率之比为3列式求双曲线的离心率．
【详解】由题意可得，，，
点的横坐标为，代入，又，所以，
，，
则，可得．
即双曲线的离心率为2．
故选：C．
  
12．B
【分析】根据对数的运算性质可得，即可得，由作差法即可判断.
【详解】，
，故，

由于，所以，故，
因此，
故选：B
13．3（答案不唯一，只要满足均可）．
【分析】作出函数的图象，结合图象即可得解．
【详解】由于函数为对勾函数，且，当且仅当取等号，
函数为单调递增函数，且，
作出函数的图象如下图所示，
  
由图象可知，要使方程有三个实数解，则需，
则符合题意的一个的值为3．
故答案为：3（答案不唯一，只要满足均可）．
14．或
【分析】首先利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线与曲线，根据，求出参数的值.
【详解】对于函数，当时，又，所以，
所以切线方程为，
又与曲线只有一个交点，
由，消去整理得，
所以关于的方程有两个相等的实数根，即，解得或.
故答案为：或
15．
【分析】化简函数，令，求得所以，结合，列出不等式，求得的取值，即可求解.
【详解】由函数，
令，即，解得，所以，
因为，可得且，
解得且，所以，
所以函数在区间上共有3个零点.
故答案为：.
16．
【分析】由题意可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，分别求得数列中的前10项，进而归纳出，由数列的裂项相消求和可得所求和．
【详解】由，，
可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，
又，，可得数列的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得
进而可得，
则数列的前50项和为
．
故答案为：．
17．(1)
(2)有的把握认为“是否全部答对”与性别有关

【分析】（1）根据比例算出男女生人数，再根据答对人数所占比例进而可得总答对人数；
（2）根据分层抽样的概念，结合题目中的占比求解各数据，再依据独立性检验的计算步骤，可得答案.
【详解】（1）由题意，男生共人，其中答对的人数；
女生共人，其中答对的人数；
故该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数共
（2）按照性别分层抽样抽取出的男生人数为，则抽取的女生人数为：；
抽取的女生中全部答对的人数为：，部分答对的人数为：；
抽取的男生中全部答对的人数为：，部分答对的人数为：；

完全答对
部分答对
合计
男



女



合计



，由，
则有的把握认为“是否全部答对”与性别有关.
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理和，求得，即可求得的大小；
（2）由（1）求得，根据正弦定理得到，结合三角形的面积公式，化简得到，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
可得，
又因为，所以，且，所以，
因为，所以.
（2）解：因为，
在中，可得，即，
又因为，可得，联立方程组，解得，
由正弦定理，可得，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，从而得证；
（2）证明平面，根据点E为的中点得出体积的关系，最后应用棱锥的体积公式计算即可．
【详解】（1）取的中点，连接，，
，，，，
又，平面，平面，平面，
而平面，
；
  
（2）在中，，，
可得，，
在中，，，可得，
在中，，，，
可得，即，
由（1）知，平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，
平面，点E为的中点，
三棱锥的体积

20．(1)
(2)

【分析】（1）利用长轴的长度以及点到直线的距离公式求解；
（2）设点，， 将直线与椭圆联立利用韦达定理求得和的关系式，再将直线与联立求得,将直线与联立求得,利用弦长公式即可求出,化简整理利用二次函数的性质求出最值即可.
【详解】（1）由已知条件得，解得，
上顶点坐标为，，解得或，
由于，则，
所以的方程为；
（2）由（1）得，设，，
联立可得，其中，
，，
设直线的方程为，
联立解得
点在直线上，则，即，
同理可得，
所以



令，则,
此时，当时有最小值，即.
    
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，化简可得，令，，利用导数判断的单调性，并证明即可．
【详解】（1）由题得，其中，
令，，其中对称轴为， ．
①若，则，
此时，则，所以在上单调递增；
②若，则，
此时在上有两个根，，且，
所以当时，，则，单调递增；
当,时，，则，单调递减；
当,时，，则，单调递增，
③当时，当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
④当时，，
此时在上有两个根，，
所以当时，，则，单调递减；
当,时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，
所以


．
令，，
则，故在上单调递减，
所以，所以，
即．
【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，要对其中的参数进行分类讨论，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
22．(1)
(2)

【分析】（1）消去参数即可求得普通方程，再利用基本不等式求出的范围即可；
（2）将直线和都转化为直角坐标方程，分别与联立求出交点，即可判断该多边形为三角形，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）曲线的参数方程为，（为参数）可知
，，消去参数得，
其中，当且仅当时取等号，则，
所以的普通方程为；
（2）由，可知直线的极坐标方程为化为直角坐标方程为，
直线的极坐标方程为化为直角坐标方程为，
联立，解得或，
联立，解得或（舍去），
所以以与、与的交点为顶点的多边形为三角形，
设,,,可得,,
,,所以,
所以为钝角，所以，
所求三角形的面积为.
23．(1)
(2)

【分析】（1）将写成分段函数，再分类讨论，分别计算可得；
（2）依题意可得或恒成立，再分别求出的最大值及的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数，
所以不等式可化为或或，
解得或或，
所以不等式的解集为；
（2）若，即，
即有或恒成立，
由，
可得的最大值为，即有；
由，
可得的最小值为，即有；
所以的取值范围是．