贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试数学（文）试题（解析版）

凯里一中2018届《黄金卷》第二套模拟考试文科数学试卷

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知为虚数单位，则（  ）

A.     B.     C.     D. 8

【答案】A

【解析】

，故选A.

2.已知，，则（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

， ，故选C.

3.已知向量与的夹角为，且，，则（  ）

A. 3    B. 4    C. 6    D. 8

【答案】C

【解析】

，故选C.

4.点到直线的距离是（  ）

A. 1    B. 2    C.     D. 6

【答案】B

【解析】

由得， ，故选B.

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

如图所示，该三视图对应的直观图为四棱锥，由图可知最长棱为，，都是最短棱，由两条异面直线所成的角的定义知：与所成的角相等，与所成的角相等，均等于，且，在中，，故选D.

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

6.已知，，，则、、的大小关系是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

因为幂函数 在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选D.

【 方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

7.若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

，由于为偶函数，则，， ，故选B.

8.已知抛物线的焦点是椭圆（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

由题知线段是椭圆的通径，线段与轴的交点是椭圆的下焦点，且椭圆的，又，，由椭圆定义知，故选C.

9.中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为（），例如.我国南北朝时代名著《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图的程序框图，则输出的（  ）

A. 16    B. 18    C. 23    D. 28

【答案】D

【解析】

该程序框图的功能是求满足下列条件的正整数：①被除余数为；②被除余数为；③被除余数为，结合四个选项，符合题意的正整数只有，故选D.

10.设、，已知，，且（，），则的最大值是（  ）

A. 1    B. 2    C.     D.

【答案】A

【解析】

， ，当且仅当时取等号，故选A.

11.图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

如图所示，设已知的正八面体为，可知平面于球心，且点为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点，连接并延长，交于点，可知为的中点，连接，则 ，由，得，即正八面体内切球的半径为，所以内切球的表面积为，故选A.

12.已知函数，函数有4个零点，则实数的取值范围是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

令得，函数有个零点，即函数与函数图象有个交点，当时，，设是的切线，切点为，，解之得，当时，，故函数图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，由图知，当时，函数与函数图象有个交点，函数有个零点，，故选B.

【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

第Ⅱ卷

二、填空题：（本题共4小题每题5分，共20分）

13.已知、满足约束条件，则目标函数的最大值与最小值之和为__________．

【答案】

【解析】

如图所示，作出线性约束条件满足的平面区域是三角形内部包括边界，当直线与直线重合时，目标函数取得最大值，当直线经过可行域中的点时，目标函数取到最小值的最大值与最小值之和为，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

14.已知、、是的三个内角，且，，则__________．

【答案】

【解析】

，，得，因此，故答案为.

15.过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________.

【答案】

【解析】

如图所示，连接，由双曲线的定义知 ，当且仅当三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，故答案为.

16.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则实数的取值范围是__________．

【答案】或

【解析】

时，，而，故在

上为减函数，又在上为奇函数，故为偶函数，当时，为增函数，由，根据单调性和奇偶性可得，解得，或者取值范围是或，故答案为或.

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知数列满足，且.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）数列满足，判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.故,根据裂项相消法结合放缩法可得.

试题解析：（Ⅰ）由题意可得，即，又，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列；          

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.

故,

∴，故.

18.2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：,,,，，，得到如图所示的频率分布直方图.问：

（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；

（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在的概率.

【答案】（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设名群众年龄的中位数为，则，解得，从而可得这名群众年龄的中位数；（Ⅱ）按分层抽样的方法随机抽取年龄在的群众人，年龄在的群众人，利用列举法可得人抽取三人的事件数为，其中选派的3名群众年龄都在的基本事件有个，根据古典概型概率公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为，则

，解得，

即80名群众年龄的中位数55．

（Ⅱ）由已知得，年龄在中的群众有人，

年龄在的群众有人， 按分层抽样的方法随机抽取年龄在的群众

人，记为1，2；随机抽取年龄在的群众人， 记为.则基本事件有：

，

共20个，参加座谈的导游中有3名群众年龄都在的基本事件有： 共4个，设事件为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在”，则. 

【方法点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.

19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，,.

（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；

（Ⅱ）若，，求三棱锥的高.

【答案】（1）见解析； （2） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线 ,且平面,平面,∴平面；（Ⅱ）由,可得与底面垂直，在中，设的中点为，连接，则是三棱柱的高，计算出三角形与面积，利用可求得点到平面的距离为.

试题解析：

（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,

中位线 ,

且平面,平面,

∴平面.

（Ⅱ）在中，设的中点为，连接，则，又，

∴,又∵，

∴，∴ ，解得.

所以点到平面的距离为：.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.

20.已知抛物线的焦点曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点.

试题解析：（Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得， 所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然.故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得

①当，即时，直线的方程为，

②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点，也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点.

21.已知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若数列满足，，记的前项和为，求证：.

【答案】（I）；（II）；（III）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时，在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论.

试题解析：（Ⅰ）由，得.所以

 令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 .

（Ⅱ）由得，

当时，因为，所以显然不成立，因此.

令，则，令，得.

当时，，，∴，所以，即有.

因此时，在上恒成立.

②当时，，在上为减函数，在上为增函数，

∴，不满足题意.

综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.

（III）证明：由知数列是的等差数列，所以

所以

由（Ⅱ）得，在上恒成立.

所以.    将以上各式左右两边分别相加，得

.因为

所以

所以.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.已知直线， (为参数，为倾斜角).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.

（1）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将由代入，化简即可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）将的参数方程代入，得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.

试题解析：（Ⅰ）由及，得，即

所以曲线的极坐标方程为

（II）将的参数方程代入，得

∴,    所以，又，

所以，且,

所以,

由，得，所以.

故的取值范围是.

选修4-5：不等式选讲

23.已知、、均为正实数.

（Ⅰ）若，求证：

（Ⅱ）若，求证：

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先证明，再证明，从而可得结果；（Ⅱ）由，，∴， ∴.

试题解析：（Ⅰ）∵，三式相加可得

∴,

.

又均为正整数，∴成立．

（Ⅱ）：，，∴，

∴

,

当且仅当，即时，“=”成立.