中考数学第一轮复习教案
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中考数学第一轮复习教案
第一单元 数 与 式
第1讲 有 理 数
课标要求
(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．
(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道的含义(这里a表示有理数)．
(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)．
(4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．
(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、计算题的形式来考查，分值为3～10分．主要考查的内容：有理数的分类、绝对值、相反数、倒数、科学记数法、乘方、有理数的大小比较和意义等．其中绝对值、科学记数法、倒数和相反数出现频次比较多．预测2021年中考依然以这几个知识点为主来考查，建议加强对概念的理解并有针对性做练习加以理解和巩固.
一、有关概念
1. 有理数的分类
(1)按有理数的意义分类
有理数
(2)按正、负来分
有理数
2. 数轴三要素：________、________和________；数轴上原点表示的数是________；原点右边表示的数是________，原点左边表示的数是________．
3. 相反数：只有________不相同的________叫做互为相反数；数a的相反数是________．(特别地，0的相反数是________)；a与b互为相反数⇔________.
4. 倒数：数a(a≠0)的倒数是________．(特别地，________没有倒数)，a和b互为倒数⇔________.
二、运算规律
1. 绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点与原点的________叫做数a的绝对值，记作________．正数a的绝对值是________，负数a的绝对值是________，0的绝对值是________，即＝
2. 有理数的大小比较
(1)数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数________．
(2)正数________0，负数________0，正数________一切负数．
(3)两个负数比较大小，绝对值大的________．
3. 有理数的运算法则
(1)加法法则
①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取__________的加数的符号，并用________________减去______________；
③若a，b互为相反数，则a＋b＝________；
④一个数同0相加，仍得________．
(2)加法的运算律
①加法交换律：a＋b＝________；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝____________.
※在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
a．互为相反数的两个数先相加——相反数结合法；
b．符号相同的两个数先相加——同号结合法；
c．分母相同的数先相加——同分母结合法；
d．几个数相加得到整数的数先相加——凑整法；
e．整数与整数、小数与小数相加——同形结合法．
(3)有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的________．用字母表示为：a－b＝________.
(4)乘法法则
法则一：两数相乘，同号得________，异号得________，并把绝对值________．
法则二：任何数同0相乘，都得________．
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是
________时，积是正数；负因数的个数是________时，积是负数．
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于________．
(5)乘法运算律
①乘法交换律：ab＝________.
②乘法结合律：(ab)c＝________.
③乘法分配律：a(b＋c)＝________.
(6)除法法则
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的________．
②两数相除，同号得________，异号得________，并把________相除.0除以任何一个不等于0的数，都得________．
(7)乘方
①概念：求n个________因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________．在an中，a叫做________，n叫做________．
②性质：
a．负数的奇次幂是________，负数的________次幂是正数．
b．正数的任何次幂都是________，0的任何正整数次幂都是________．
(8)有理数的混合运算顺序
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
三、科学记数法与近似数
1．科学记数法：把一个数N表示成a×10n的形式(其中1≤n)
同底数幂相乘：am·an＝________(a≠0)；
同底数幂相除：am÷an＝________(a≠0)；
幂的乘方：(am)n＝________(a≠0)；
积的乘方：(ab)n＝________；
商的乘方：＝________(b≠0)；
零指数幂：a0＝________(a≠0)；
负整数指数幂：a－n＝________(a≠0)．
5. 整式的乘除
(1)乘法法则
单项式乘以单项式：系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的________不变，作为积的因式．
单项式乘以多项式：
m(a＋b＋c)＝____________.
多项式乘以多项式：
(a＋b)(m＋n)＝____________.
(2)乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________.
完全平方公式：(a±b)2＝____________.
(3)整式除法法则
单项式除以单项式：系数相除的结果作为商的____；同底数幂相除，作为商的因式；只在被除式中含有的字母，则连同它的____ 仍作商中的因式.
,
整式的有关概念
(2018·河池，第3小题，3分)
下列单项式中，与3a2b为同类项的是( )
A．－a2b B．ab2
C．3ab D．3
【思路点拨】解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同．
(2017·玉林、崇左，第14小题，3分)
若4a2b2n＋1与amb3是同类项，则m＋n＝________．
,
整式的运算
(2020·贵港，第5小题，3分)
下列运算正确的是( )
A．2a＋3b＝5ab B．5a2－3a＝2a
C. (ab3)2＝a2b6 D．(a＋2)2＝a2＋4
【思路点拨】2a与3b不是同类项，不能合并，A错误；5a2与3a不是同类项，不能合并，B错误；(ab3)2＝a2b6，C正确；(a＋2)2 ＝a2＋4a＋4 ，D错误 .
(2020·桂林，第7小题，3分)
下列计算正确的是( )
A．x·x＝2x B．x＋x＝2x
C. (x3)3 ＝x6 D. (2x)2＝2x2
,
整式的化简求值
(2015·河池，第20小题，6分)先化简，再求值：(3－x)(3＋x)＋(1＋x)2，其中x＝2.
【思路点拨】用平方差公式和完全平方公式对多项式(3－x)(3＋x)＋(1＋x)2进行化简，再把x代入化简结果求值．
[2015·来宾，第19小题(2)，6分]
先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x＋3)，其中x＝－3.
, 幂的运算性质
(2020·北部湾经济区，第4小题，3分)
下列运算正确的是( )
A. 2x2＋x2＝2x4 B. x3·x3＝2x3
C．(x5)2 ＝x7 D. 2x7÷x5＝2x2
【思路点拨】解：A.2x2＋x2＝3x2，故此选项错误；B.x3·x3＝x6，故此选项错误；C.(x5)2＝x10，故此选项错误；D.2x7÷x5＝2x2，正确．故选：D.
(2018·玉林，第4小题，3分)
下列计算结果为a6的是( )
A．a7－a B．a2·a3
C．a8÷a2 D．(a4)2
法则、公式理解记忆不清
(2020·河池，第4小题，3分)
下列运算，正确的是( )
A．a(－a)＝－a2 B．(a2)3＝a5
C. 2a－a＝1 D．a2＋a＝3a
【思路点拨】本题主要考查对法则的理解和公式的记忆．部分同学因对合并同类项法则记忆不清，导致计算错误，建议加强对法则的理解和公式的记忆．
a(－a)＝－a2 ，A正确； (a2)3＝a6 ，B错误；2a－a＝a，C错误 ；a2与a不是同类项，不能合并 ，D错误 .
(2015·贺州，第6小题，3分)
下列运算正确的是( )
A．(x2)3＋(x3)2＝2x6
B．(x2)3·(x3)2＝2x12
C. x4·(2x)2＝2x6
D．(2x)3·(－x)2＝－8x5
1. 下列计算正确的是( )
A．a3÷a3＝a B．(x2)3＝x5
C．m2·m4＝m6 D．2a＋4a＝8a
2. 在下列代数式中，次数为3的单项式是( )
A．xy2 B．x3＋y3
C．x3y D．3xy
3. 如果2x2y3与x2yn＋1是同类项，那么n的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 多项式1＋xy－xy2的次数及最高次项的系数分别是( )
A．2，1 B．2，－1
C．3，－1 D．5，－1
5. (2020·玉林) 下列计算正确的是( )
A．8a－a＝7 B．a2＋a2＝2a4
C．2a·3a＝6a2 D. a6÷a2＝a3
6. 下列运算正确的是( )
A．5ab－3a＝2b
B．－2b(4a－b2)＝－8ab－2b3
C．－a2＋2a2＝a2
D．a(a2－1)＝a3－1
7. 下列计算正确的是( )
A．2xy＋3yx＝5xy B．xy4÷(－xy)＝y3
C．4x3＋3x3＝7x4 D．3x÷2x＝
8. (2019·宜昌)化简(x－3)2－x(x－6)的结果为( )
A．6x－9 B．－12x＋9
C．9 D．3x＋9
9. 由m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，可得：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，即(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3……①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形不正确的是( )
A．(x＋4y)(x2－4xy＋16y2)＝x3＋64y3
B．(2x＋y)(4x2－2xy＋y2)＝8x3＋y3
C．(a＋1)(a2＋a＋1)＝a3＋1
D．x3＋27＝(x＋3)(x2－3x＋9)
10. 如图，从边长为(a＋4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为 cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A．(2a2＋5a) cm2 B．(3a＋15) cm2
C．(6a＋9) cm2 D．(6a＋15) cm2
11. 若a2－b2＝，a－b＝，则a＋b的值为( )
A．－ B.
C．1 D．2
12．(2019·绥化)计算：(－m3)2÷m4＝________．
13．(2019·潍坊)若2x＝3，2y＝5，则2x＋y＝________．
14．(2018·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________．
15. 3×9m×27m＝321，则m的值是________．
16．(2019·宁波)先化简，再求值：(x－2)(x＋2)－x(x－1)，其中x＝3.
17. 嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
第5讲 因式分解
课标要求
能用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、分式的化简题的形式来考查，特别是填空题居多，分值为3～6分．主要考点为理解因式分解的定义，利用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)对多项式进行因式分解．预测2021年中考以上考点依然会出现，建议加强理解定义，熟练方法，并加以练习巩固.
一、定义
1. 因式分解：把一个多项式化为几个________的________的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2. 公因式：一个多项式每一项都含有的________的因式叫做这个多项式的公因式．
确定公因式的方法：公因式的系数应取各项系数的________公因数；字母取各项的________字母，而且各字母的指数取次数最________的．
二、分解因式的方法
1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有________，可以把这个________提到括号外面，将多项式写成因式______________________的形式，这种分解因式的方法叫________法，即ma＋mb＋mc＝____________.
2. 运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用它来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做________法．
(1)运用平方差公式：a2－b2＝____________.
两项式能用平方差公式分解因式具备的特征：
①系数能平方；(系数是完全平方数)
②字母指数要成双；(指数是偶数)
③两项符号相反．(两项一正一负)
(2)运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________.
多项式能用完全平方公式分解因式具备的特征：
①它是一个三项式；
②其中有两项是某两数的平方和；
③第三项是这两数积的二倍．
三、注意
1. 因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．
2. 提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式．
3. 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．
4. 用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么．
5. 因式分解要进行到每个多项式因式都不能再分解为止．结果中若有相同的因式，应写成幂的形式.
因式分解
1．直接提取公因式
(2020·贺州，第7小题，3分)
多项式2a2b3＋8a4b2因式分解为( )
A．a2b2(2b＋8a2) B．2ab2(ab＋4a3)
C．2a2b2(b＋4a2) D．2a2b(b2＋4a2b)
【思路点拨】用提公因式法分解因式.
小结
此题考查了提公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式.
(2017·桂林，第13小题，3分)
分解因式：x2－x＝________．
2．利用公式分解因式
(2019·贺州，第8小题，3分)把多项式4a2－1分解因式，结果正确的是( )
A．(4a＋1)(4a－1)
B．(2a＋1)(2a－1)
C．(2a－1)2
D．(2a＋1)2
【思路点拨】用平方差公式分解因式.
小结
如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：多项式为两项时，考虑平方差公式；多项式为三项时，考虑完全平方公式.
(2020·柳州，第11小题，3分)
下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )
A．a2－b2 B．－a2－b2
C．a2＋b2 D. a2＋2ab＋b2
3．提取公因式后利用公式分解因式
(2020·贵港，第14小题，3分)
因式分解：ax2－2ax＋a＝________.
【思路点拨】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解．
(2020·梧州，第14小题，3分)
分解因式：2a2－8＝________.
1. 下列式子变形是因式分解的是( )
A．x2＋5x＋6＝x＋6
B．x2＋5x＋6＝
C.＝x2＋5x＋6
D．x2＋5x＋6＝
2. (2020·桂林) 因式分解a2－4的结果是( )
A．(a＋2)(a－2) B．(a－2)2
C．(a＋2)2 D. a(a－2)
3. (2019·潍坊)下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)
B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2
D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
4. 若a4－b4＝，a2＋b2＝，a－b＝，则a＋b的值为( )
A．－ B. C．1 D．2
5. (2020·百色) 因式分解：2ab－a＝________ .
6. 分解因式：x2－4＝____________.
7. 因式分解：a2＋2a＋1＝____________.
8. 分解因式：x3－x＝____________.
9. (2019·东营)因式分解：x(x－3)－x＋3＝________．
10. 分解因式：mn2＋6mn＋9m＝____________.
11．(2019·威海)分解因式：2x2－2x＋＝________．
12．(2020·雅安)若(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2＝________．
13. (2019·河池)分解因式：(x－1)2＋2(x－5)．
14. 阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．
(1)二次项系数2＝1×2；
(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；
1×3＋2×(－1)＝1 1×(－1)＋2×3＝5
1×(－3)＋2×1＝－1 1×1＋2×(－3)＝－5
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1.
即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝____________．
第6讲 分 式
课标要求
了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、化简求值的形式来考查，分值为3～9分．主要考点为分式有意义的条件、分式的加减、分式的乘除法、分式的混合运算等．尤其是分式的混合运算几乎各地市每年都考，分值为4～6分．预测2021年中考以上考点依然是热点，建议加强理解概念，熟练运算法则，并加以练习巩固.
一、分式
1. 概念：形如(A，B是整式，且B中含有________，________≠0)的式子，叫做分式．其中A叫做分式的________，B叫做分式的________．
2. ________和________统称为有理式．
3. 当________时，分式无意义，反之当________时，分式有意义．
4. 当________且________时，分式的值为0.
二、分式的基本性质及运算规律
1. 分式的基本性质
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个________整式，分式的值不变．
即＝，＝(C≠0)，其中A，B，C均为整式．
2. 分式基本性质的运用
(1)约分：把一个分式分子与分母的________约去．为此，首先要找出分子与分母的________．
最简分式：分子与分母中不再含有________的分式称为最简分式．
(2)通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的________的分式．通分的关键是确定几个分式的________，通常取各分母的所有因式的______________作为公分母(叫做最简公分母)．
3. 分式的运算
(1)加减法：±＝，±＝.
(2)乘除法：·＝，÷＝·＝.
(3)乘方：＝(b≠0，n为正整数)．
(4)分式的混合运算：按先算________，再算________，最后算________这样的顺序进行．
如遇到括号，先算括号里面的．运算结果必须是________分式或整式．
分式有意义的条件
(2020·柳州，第15小题，3分) 分式中，x的取值范围是________．
【思路点拨】若分式有意义，则分母不等于零.
小结
要透彻理解分式的概念，应从以下三个方面考虑：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.
当x＝________时，分式无意义．
,
分式的化简求值(混合运算)
类型一 分式的加减法
(2018·百色，第20小题，6分)
已知a2＝19，求－－的值．
类型二 分式的乘除法
(2020·北部湾经济区，第20小题，6分)
先化简再求值：÷，其中x＝3 .
类型三 混合运算
(2017·贺州，第20小题，6分)
先化简，再求值：÷，其中x＝＋1.
【思路点拨】先根据分式混合运算的法则把原式化简，再把x的值代入进行计算．
小结
失分警示：①分式的分子或分母是多项式时，一定要把分子或分母看作一个整体，运算时要用括号括起来；②选合适值或选某个范围内的值代入时，要考虑分式有意义的条件.
(2020·百色，第20小题，6分)
先化简，再求值：÷ ，其中x＝2021 .
1. 下列式子中是分式的是( )
A. B. C. D.
2. (2020·贵阳)当x＝1时，下列分式没有意义的是( B )
A. B. C. D.
3. 若分式的值为0，则x的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．±2
4. (2019·扬州)分式可变形为( )
A. B．－
C. D．－
5. 把分式中a，b都扩大2倍，则分式的值( )
A．扩大4倍 B．扩大2倍
C．缩小为原来的 D．不变
6. (2019·临沂)计算－a－1的正确结果是( )
A. － B.
C．－ D.
7. 分式与的最简公分母是________．
8. (2019·梧州)化简：－a＝________．
9. (2019·吉林)计算：·＝________．
10. 计算：＋＝________.
11. 约分：(1)； (2).
通分：，.
(2020·贵港) 先化简再求值：÷ ，其中m＝－5 .
(2020·遵义)化简式子÷，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
第二单元 方程与不等式
第7讲 一元一次方程
课标要求
(1)能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
(2)经历估计方程解的过程．
(3)掌握等式的基本性质．
(4)能解一元一次方程.
考情分析
该内容主要是以选择题或解答题的形式来考查，分值为3～11分．主要考查的内容为：列一元一次方程解应用题之行程问题、工程问题、利润问题和分配问题等．这几个知识点近几年出现比较频繁，尤其是行程问题、工程问题和利润问题几乎各地市每年都考，分值为3～8分．预测2021年中考行程问题、工程问题和利润问题依然是热点，建议加强训练与这几个问题有关的题型.
一、方程的有关概念
1. 含有________的等式叫做方程．
2. 方程的解：使方程等号左右两边________的未知数的值，叫做方程的解(或方程的根)．
3. 解方程：求得____________的过程，叫做解方程．
二、等式的性质
1. 等式的性质1：等式两边同时加(或减)____________，结果仍相等．
即，如果a＝b，那么a±c＝________.
2. 等式的性质2：等式两边同时乘以________，或同时除以一个______________，结果仍相等．
即，如果a＝b，那么ac＝________；
如果a＝b且c≠0，那么＝________.
注意：等式的性质是方程变形、化简的依据与法则．
三、一元一次方程
1. 概念：只含有________未知数(元)，且未知数的次数是________，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程．
2. 解一元一次方程的步骤：去分母、________、________、______________、______________.
3. 列一元一次方程解应用题的步骤(审、设、列、解、答)
(1)审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
(2)设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
(3)列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
(4)解方程．
(5)检验，看方程的解是否符合题意．
(6)写出答案并作答．
注意：解应用题的基本书写格式：
设→根据题意列方程→解这个方程→答．
四、常见的应用题类型及等量关系
1. 行程问题
(1)相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离．
(2)追及问题
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程．
同时不同地出发：前者走的路程＋不同出发点距离＝追者所走的距离．
(3)顺逆流问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度．
2. 劳力调配问题
从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语．
3. 工程问题
(1)工作总量＝工作效率×工作时间．
(2)各部分工作量之和＝1.
4. 利润率问题
(1)商品利润＝商品售价－商品进价．
(2)商品利润率＝×100%.
(3)售价＝进价×(1＋利润率).
一元一次方程及其解法
解方程：＋1＝x－.
【思路点拨】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1，求出解．
小结
解一元一次方程，在去分母时，千万不要漏乘不含分母的项；在去括号、移项及系数化为1时，应注意符号的变化.
(2016·贺州，第20小题，6分)
解方程：－＝5.
,
列一元一次方程解应用题
(2020·百色，第24小题，10分)
某玩具生产厂家，A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现新增25名工人分配到两车间，使得A车间工人总数是B车间工人总数的两倍．
(1)请问新分配到A、B车间各多少人？
(2)A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人增加生产线后比原来提前几天完成任务？
【思路点拨】(1)设新分配到A车间x人，则新分配到B车间(20－x)人，然后根据题目中“A车间工人总数是B车间工人总数的两倍”，即可列出方程；(2)算出新分配前后各用多少天，即可求出．
(2015·百色，第24题，10分)
某次知识竞赛有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题．
(1)甲队必答题答对答错各多少题？
(2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队拉拉队队员小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的话不一定对！”请你举一例说明“小黄的话”有何不对．
1. 把方程3x＋＝3－去分母，正确的是( )
A．3x＋(2x－1)＝3－(x＋1)
B．18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)
C．18x＋(2x－1)＝18－(x＋1)
D．3x＋2(2x－1)＝3－3(x＋1)
2. (2020·桂林) 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要进行比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A.x＝110 B. x＝110
C．x＝110 D．x＝110
3. 小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A．x＋12(x－5)＝48 B．x＋5(x－12)＝48
C．x＋5(12－x)＝48 D．5x＋(12－x)＝48
4. (2019·南充)关于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解为x＝1，则a＋m的值为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
5. (2019·阜新)某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( )
A．160元 B．180元
C．200元 D．220元
6. (2019·荆门)欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是( )
A．盈利 B．亏损
C．不盈不亏 D．与售价a有关
7. (2020·柳州) 一元一次方程 2x－8＝0的解是________．
8. (2019·济南)代数式与代数式3－2x的和为4，则x＝________．
9. (2019·南通)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为______________________．
10. (2019·毕节)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2 240元，则这种商品的进价是________元．
11. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后得到的新数比原数大9，则原来的两位数是________．
12．(2019·安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天？
第8讲 二元一次方程组
课标要求
(1)能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
(2)掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组．
(3)*能解简单的三元一次方程组.
考情分析
该内容主要是以解答题的形式来考查，分值为6～8分左右．主要考查的内容为：解二元一次方程组和列二元一次方程组解应用题．其中列二元一次方程组解应用题几乎每年都考，分值为6～8分．预测列方程组解应用题依然是2021年中考的热点，建议加强对这个知识点的训练.
一、二元一次方程
1. 定义：含有________未知数，并且未知数的次数都是________的方程叫做二元一次方程．
2. 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组________的值，叫做二元一次方程的一个解．
注意：二元一次方程有无数个解．
二、二元一次方程组
1. 定义：由两个____________组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
2. 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．
3. 二元一次方程组的解法：________消元法和________消元法．
4. 解二元一次方程组的基本思想是________，通过________，将“二元”转化为“一元”．
三、列二元一次方程组解应用题
列二元一次方程组解应用题的基本步骤和方法与列一元一次方程解应用题相同，不同的是要设________个未知数，列________个方程．
二元一次方程组的解法)
(2020·桂林，第20小题，6分)
解二元一次方程组：
【思路点拨】利用加减(或代入)消元法求解．
小结
解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法.
(2020·贺州，第20小题，6分)
解方程组：
二元一次方程组的应用
(2019·河池，第24小题，8分)
在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)该店在“五·四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1 800元，该店的商品按原价的几折销售？
小结
列二元一次方程组解应用题，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找到题目中的等量关系，列出方程组求解.
(2019·百色，第24小题，10分)
一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
(2020·北部湾经济区，第24小题，10分)
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2 h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5 h共分拣垃圾8吨．
(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台(10≤a≤45)，B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；
(3)机器人公司的报价如下表：
型号
原价
购买数量
少于30台
购买数量
不少于30台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
在(2)的条件下，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少？请说明理由．
1. 方程2x－y＝1和2x＋y＝7的公共解是( )
A. B.
C. D.
2. (2019·贺州)已知方程组则2x＋6y的值是( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
3. 一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到方程组为( )
A.
B.
C.
D.
4. (2019·邵阳)某出租车起步价所包含的路程为0～2 km，超过2 km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7 km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2 km后每千米收费y元，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
5. (2020·绍兴)若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是________(写出一个即可)．
6. (2019·上海)《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛________斛米．(注：斛是古代一种容量单位)
7. 某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有________种购买方案．
8. (2020·玉林) 解方程组：
9. (2019·枣庄)对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：ab＝2a＋b，例如34＝2×3＋4＝10.
(1)求4(－3)的值；
(2)若x(－y)＝2，(2y)x＝－1，求x＋y的值．
10. (2019·烟台)亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
第9讲 分式方程
课标要求
(1)能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
(2)能解可化为一元一次方程的分式方程．
(3)能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、解答题的形式来考查，解答题居多，分值为3～8分．主要考点为解分式方程，列分式方程解应用题．预测2021年中考以上考点依然会出现，建议掌握解法，熟练运用，并加以练习巩固.
一、定义
分式方程：________中含有未知数的方程叫做分式方程．
二、分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思路：把分式方程转化为________方程．
2. 具体步骤和方法
(1)去分母：方程两边同时乘以____________，将分式方程化为整式方程．
(2)按解整式方程的步骤求出未知数的值．
(3)验根：求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根．验根时把整式方程的根代入____________，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根．若解出的根是增根，则原分式方程无解．
三、列分式方程解应用题
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意．
,
解分式方程
(2018·北部湾经济区，第20小题，6分)
解分式方程：－1＝.
【思路点拨】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验x是否为分式方程的解．
小结
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定要注意验根.
[2019·梧州，第21小题，6分]
解分式方程：＋1＝.
,
分式方程的实际应用
(2020·贵港，第23小题，8分)
在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同类型的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8 000元购买A型口罩的数量与用5 000元购买B型口罩的数量相同．
(1)A、B两种型号口罩的单价各是多少个？
(2)根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3 800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【思路点拨】设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是(x＋1.5)元，根据“用8 000元购买A型口罩的数量与用5 000元购买B型口罩的数量相同”，可以找到等量关系．
小结
列分式方程解应用题的步骤：
(1)分析题意；(2)设未知数；(3)找相等关系并列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)答．其中找到合适的等量关系是解决问题的关键.
(2018·百色，第24小题，10分)
班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
(2020·玉林，第24小题，8分)
南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
(2016·桂林，第24小题，8分)
五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害．某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2 000件送往灾区．已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同．
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各多少元？
(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若爱心组织按照此需求量的比例购买这2 000件物品，需筹集资金多少元？
1. 下面是四位同学解方程＋＝1的过程中去分母的一步，其中正确的是( )
A．2＋x＝x－1 B．2－x＝1
C．2＋x＝1－x D．2－x＝x－1
2. 分式方程＋1＝的解是( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
3. 对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝－，若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为( )
A. B. C. D．－
4. (2020·柳州) 甲、乙两人做某种机械零件，已知每小时甲比乙多做6个，甲做90个所用的时间和乙做60个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，以下所列方程正确的是( )
A.＝ B. ＝
C.＝ D.＝
5. (2020·北部湾经济区) 甲、乙两地相距600 km，提速前动车的速度为v km/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20 min，则可列方程为( )
A.－＝ B.＝－
C.－20＝ D.＝－20
6. (2020·南京)方程＝的解是__________．
7. 当x＝________时，＝1.
8. 已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝________.
9. 关于x的分式方程＋＝1无解，则m的值是________．
10. 关于x的分式方程＝－1的解是负数，则m的取值范围是__________．
11. 某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为____________．
12. 解方程：＋＝.
13. (2020·常州)解方程：＋＝2.
14. (2019·济南)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3 000元，购买B种图书花费了1 600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
(1)求A和B两种图书的单价；
(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售．学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
15. 某商店经销一种商品，4月份的营业额为2 000元，为扩大销售量，5月份该商品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．
(1)求该商品4月份的销售价格；
(2)若4月份销售这种商品获利800元，5月份销售这种商品获利多少元？
第10讲 一元二次方程
课标要求
(1)能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
(2)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
(3)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
(4)了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求应用这个关系解决其他问题)．
(5)能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、应用题的形式来考查，分值为3～11分．主要考点为一元二次方程的解、根与系数关系、根的判别式、一元二次方程的应用．预测2021年中考以上考点依然会出现，建议加强理解定义，熟记公式，掌握方法与灵活运用，并加以练习巩固.
一、一元二次方程的有关定义
1. 一元二次方程的概念：只含有________未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的整式方程就是一元二次方程．
2. 一般表达式：________________，其中________是二次项，________叫二次项系数；________是一次项，________叫一次项系数，________是常数项．二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式．
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的________的值，就是一元二次方程的解．
二、一元二次方程的解法
1. 直接开平方法：适用于能化为x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
2. 配方法：即把一元二次方程配成(x－m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法．
3. 公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)．
4. 因式分解法：即把一元二次方程变形为m(x＋a)(x＋b)＝0的形式，则x＋a＝0或x＋b＝0，那么方程的两个根为x＝－a或x＝－b.
三、根的判别式
当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2－4acb，那么a±c________b±c.
2. 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向________，即如果a>b，c>0，那么ac________bc.
3. 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向________，即如果a>b，c－2
C. x2
【思路点拨】主要考查解一元一次不等式，先移项，再系数化为1，即可解出不等式 .
小结
在数轴上表示解集时，要注意“两定”：一定边界点，二定方向．定边界点时“≥”或“≤”是实心点，“＞”或“＜”是空心点；定方向的原则为小于向左，大于向右.
(2014·桂林，第20小题，6分)
解不等式4x－3＞x＋6，并把解集在数轴上表示出来．
一元一次不等式的实际应用
(2018·贺州，第23小题，8分)
某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
(1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？
(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
【思路点拨】设A型车的单价为x元/辆，根据题意列出方程求解；(2)根据投入资金不超过5.86万元，结合(1)中所得自行车的单价，构建不等关系式求解．
小结
列不等式解应用题时，一般抓住题中含有的“至少”(≥)、“最多”(≤)、“不低于”(≥)、“不高于”(≤)、“不大于”(≤)、“不小于”(≥)等关键词，列出关系式求解.
(2020·桂林，第24小题，8分)
某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
(1)求每副围棋和象棋各是多少元？
(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
1. 下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A．5＋4＞8 B．2x－1
C．2x≤5 D.－3x≥0
2. 不等式2x－31 B.＜1
C.< D．ab＜1
4. (2019·宁波)不等式>x的解为( )
A．x＜1 B．x＜－1
C．x＞1 D．x＞－1
5. 不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6. “x与y的和大于1”用不等式表示为____________．
7. 不等式－3x>的解集是________．
8. (2019·广安)点M(x－1，－3)在第四象限，则x的取值范围是________．
9. 若m＞5，则可用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集为________．
10. 若关于x的不等式3m－2x2，则实数m的值为________．
11. 若关于x的不等式a(x－1)＋b(x＋1)＞0的解是x＜，则关于x的不等式a(x＋1)＋b(x－1)＞0的解是________．
12. 小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买________瓶甲饮料．
13. 解不等式≤，并把它的解集在数轴上表示出来．
14. (2020·贺州) 今年夏天，多地连降大雨，某地因大雨导致山体塌方，致使车辆通行受阻，某工程队紧急抢修，需要爆破作业．现有A、B两种导火索，A种导火索的燃烧速度是B种导火索速度的，同样燃烧长度为36 cm的导火索，A种所需时间比B种的多20 s.
(1)求A、B两种导火索的燃烧速度分别是多少？
(2)为了安全考虑，工人选燃烧慢的导火索进行爆破，一工人点燃导火索后以6 m/s的速度跑到距爆破点100 m外的安全区，问至少需要该种导火索多长？
15. 一个工程队原定在10天内至少要挖掘600 m3的土方．在前两天共完成了120 m3后，接到要求要提前2天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方？
16. 某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？
17. 某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的总费用不能超过7 150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾？
18. 某商场用36 000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6 000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
(1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8 160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
第12讲 一元一次不等式组
课标要求
会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
考情分析
该内容主要是以填空题、选择题、应用题的形式来考查，分值为3～11分．主要考查的内容为：解一元一次不等式组和列一元一次不等式组解应用题．这两个知识点几乎每年都考．预测这两个知识点在2021年中考依然会出现，建议要多训练一些与这两个知识点有关的题型，并及时总结、归纳方法以达到强化的作用.
一、一元一次不等式组的概念和解法
1. 一元一次不等式组的概念：关于同一个________的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
2. 一元一次不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的____________，就是这个一元一次不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组的解法
(1)求出每个__________________的解集；
(2)确定这些解集的__________．
二、列一元一次不等式组解应用题
1．基本步骤：审题，设未知数，列不等式组，解不等式组，按实际问题检验并写出答案．
2．关键步骤：从实际问题中探求两个不等量关系，列不等式组．
,
一元一次不等式组的解法
(2020·河池，第6小题，3分)
不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【思路点拨】本题主要考查解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式组的解集．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
(2020·桂林，第9小题，3分)
不等式组的整数解共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2017·贺州，第9小题，3分)
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
(2017·百色，第12小题，3分)
关于x的不等式组的解集中最少有5个整数解，则整数a的最小值是( )
A．3 B．2 C．1 D.
(2020·梧州，第20小题，6分)
解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来 .
【思路点拨】本题考查的是一元一次不等式组的解法，注意解一元一次不等式组的步骤：①求出每个不等式的解集；②确定这些解集的公共部分．
小结
求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.
(2019·北部湾经济区，第20小题，6分)
解不等式组：并利用数轴确定不等式组的解集．
,
一元一次不等式组的应用
(2020·梧州，第24小题，10分)
为了保护绿水青山，某景区从大门A处仅设置乘环保车、乘船两种交通方式到达景点B，乘车需要30分钟到达，乘船需要24分钟到达．已知每隔2分钟发一辆车，每辆车最多坐40人；每隔12分钟发一班船，每艘船最多坐300人 .
(1)如果第一辆车与第一艘船同时从大门A出发，设第a辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，求a与b的关系式；
(2)现有3 100名游客在大门A处，若开始时，车与船同时出发，最后将全部游客送达景点B处时，所需最短时间是多少分钟？
小结
一元一次不等式组的实际运用，解题的关键是列不等式．而列不等式往往可以根据题目中出现的“至少”“至多”“不超过”“不低于”“提前完成”等这些关键词来列.
(2015·钦州，第22小题，8分)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同)．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3 200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
1. 不等式组的解集是( )
A．1的解集是________；
(2)求直线AC的解析式．
反比例函数的应用
工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
【思路点拨】(1)根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；材料锻造时，温度y与时间x成反比例函数关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式．(2)把y＝480代入反比例函数解析式中，进一步求解即可得答案．
病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间x(时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图所示)，根据以上信息解答下列问题：
(1)求当0≤x≤2时，y与x的函数关系式；
(2)求当x>2时，y与x的函数关系式；
(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
反比例函数与几何图形综合
(2016·柳州，第17小题，3分)
如图所示，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8，则k的值为________．
【思路点拨】方法一：如图，过点D作DE⊥OA于E，过点D作DF⊥OC于F.由＝S矩形FDEO可求得k的值．∵点D是矩形OABC对角线AC的中点，∴＝S矩形FDEO＝S△AOC＝S矩形OABC＝×8＝2.∵反比例函数y＝的图象在第一象限，∴k＝2.
方法二：过点D作DE⊥OA于E，设D，∴OE＝m，DE＝.∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA＝2m，OC＝.∵矩形OABC的面积为8.∴OA·OC＝2m·＝8.∴k＝2.
小结
反比例函数的几何意义，即如图，
D是反比例函数y＝上一点，则矩形AOCD的面积为，△ADO和△CDO的面积为.应用几何意义，在解决相关的问题时会有意想不到的效果.
(2014·北海，第18小题，3分)
如图，反比例函数y＝(x>0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为________．
与反比例函数有关的综合题
(2020·梧州，第26小题，12分) 如图，已知边长为4的正方形ABCD中，AB⊥y轴，垂足为点E，AD⊥x轴，垂足为点F，点A在双曲线y＝上，且A点的横坐标为1.
(1)求出B、C两点的坐标；
(2)线段BF、CE交于点G，求出点G到x轴的距离；
(3)在双曲线上任取一点H，连接BH、FH，是否存在这样的点H，使得△BFH的面积等于5，若存在，请直接写出适合的所有的点坐标；若不存在，请说明理由．
(2019·贵港，第21小题，6分)如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1，0)，点D(4，4)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，直线y＝x＋b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE.
(1)求k，b的值；
(2)求△ACE的面积．
1. (2019·天门)反比例函数y＝－，下列说法不正确的是( )
A．图象经过点(1，－3)
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称
D．y随x的增大而增大
2. (2020·贺州) 在反比例函数y＝中，当x＝－1 时，y的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
3. (2020·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝与y＝x－1的图象交于点P，则代数式－的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
4. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k>0)图象上的两点，若x1
