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数学中考复习重难点突破——二次函数的最值
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这是一份数学中考复习重难点突破——二次函数的最值，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学中考复习重难点突破——二次函数的最值
一、单选题
1．二次函数 有最小值 ，则 a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
4．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
5．抛物线 ，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
A．-3和5 B．-4和5 C．-4和-3 D．-1和5
6．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣
7．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，则其面积 ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
8．如果函数y=2x2﹣3ax+1，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣23，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A，C重合），过点M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分别为E，F，则四边形EMFD面积的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题
11．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过 s，火箭到达它的最高点．
12．当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为 .
13．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=80t﹣2t2，飞机着陆后滑行的最远距离是 m．
14．已知二次函数 ，当 时，函数值 的最小值为 ，则 的值是 ．
15．如图，在矩形OABC中，点A在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴．抛物线y= x2﹣ x+4经过点B，C，连接OB，D是OB上的动点，过D作DE∥OA交抛物线于点E（在对称轴右侧），过E作EF⊥OB于F，以ED，EF为邻边构造▱DEFG，则▱DEFG周长的最大值为 ．
三、解答题
16．已知二次函数 的图像经过点 和点 ，求该函数的表达式，并求出当 时， 的最值.
17．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
18．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．
（2）对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．
若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
20．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B(m+2，y2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，？
21．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（Ⅰ）求直线y=kx+b的函数解析式；
（Ⅱ）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（Ⅲ）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】16
12．【答案】4
13．【答案】800
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得， ，
∴函数解析式为：y=x2-4x+3，
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴当x=0时，y有最大值是3．
17．【答案】解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0
∵当0
18．【答案】（1）解：∵在函数y=2x+1中，k=20，∴函数y随x的增大而增大，∴y=2x+1的最大值为9，最小值为5； 中，k=20，∴函数y随x的增大而减小，则函数y=的最大值为1，最小值为 ；
y=2(x+1)2-1的最大值为19，最小值为3.
（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，解得m= （舍去）或m=1∴m=1②当2≤m≤4时，m-2=1，∴m=3
③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，无解．综上所述：m=1或m=3
19．【答案】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，则F点的坐标为（，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，）；
（2）S=
∴当t=2时，S最大，最大值为1
（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA≠900，故有以下两种情况：
①当∠PDA=900时，由勾股定理得，
又，，
，
即t2-4t-12=0，解得t1=2，t2=6（不合题意，舍去）
②当∠PAD=900时，点D在BA上，故AE=3－t，得t=3
综上，经过2秒或3秒时，△PAD是直角三角形；
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，
∴点D运动路线的长为2．
20．【答案】（1）由表格得：二次函数与x轴的两交点分别为（1，0），（3，0），
设二次函数解析式为y=a（x-1）（x-3），
将x=0，y=3代入得：3=3a，即a=1，
则二次函数解析式为y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3.
（2）由（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
则当x=2时，ymin=-1.
将A坐标代入二次函数解析式得：y1=m2-4m+3；
B坐标代入二次函数解析式得：y2=（m+2）2-4（m+2）+3=m2-1，
若y1＞y2，则m2-4m+3＞m2-1，
解得：m＜1．
21．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得 ，解得 ，
∴直线解析式为y= x+3；
（Ⅱ）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，
则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴ = = ，
设H（m， m+3），则PQ=x﹣m，HQ= m+3﹣（﹣x2+2x+1），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴ = = ，
整理消去m可得d= x2﹣x+ = （x﹣ ）2+ ，
∴d与x的函数关系式为d= （x﹣ ）2+ ，
∵ ＞0，
∴当x= 时，d有最小值，此时y=﹣（ ）2+2× +1= ，
∴当d取得最小值时P点坐标为（ ， ）；
（Ⅲ）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，
∴CE+EF=C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（Ⅱ）可知当x=2时，d= ×（2﹣ ）2+ = ，
即CE+EF的最小值为 ．
数学中考复习重难点突破——二次函数的最值
一、单选题
1．二次函数 有最小值 ，则 a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
4．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
5．抛物线 ，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
A．-3和5 B．-4和5 C．-4和-3 D．-1和5
6．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣
7．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，则其面积 ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
8．如果函数y=2x2﹣3ax+1，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣23，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A，C重合），过点M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分别为E，F，则四边形EMFD面积的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题
11．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过 s，火箭到达它的最高点．
12．当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为 .
13．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=80t﹣2t2，飞机着陆后滑行的最远距离是 m．
14．已知二次函数 ，当 时，函数值 的最小值为 ，则 的值是 ．
15．如图，在矩形OABC中，点A在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴．抛物线y= x2﹣ x+4经过点B，C，连接OB，D是OB上的动点，过D作DE∥OA交抛物线于点E（在对称轴右侧），过E作EF⊥OB于F，以ED，EF为邻边构造▱DEFG，则▱DEFG周长的最大值为 ．
三、解答题
16．已知二次函数 的图像经过点 和点 ，求该函数的表达式，并求出当 时， 的最值.
17．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
18．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．
（2）对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．
若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
20．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B(m+2，y2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，？
21．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（Ⅰ）求直线y=kx+b的函数解析式；
（Ⅱ）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（Ⅲ）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】16
12．【答案】4
13．【答案】800
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得， ，
∴函数解析式为：y=x2-4x+3，
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴当x=0时，y有最大值是3．
17．【答案】解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0
∵当0
18．【答案】（1）解：∵在函数y=2x+1中，k=20，∴函数y随x的增大而增大，∴y=2x+1的最大值为9，最小值为5； 中，k=20，∴函数y随x的增大而减小，则函数y=的最大值为1，最小值为 ；
y=2(x+1)2-1的最大值为19，最小值为3.
（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，解得m= （舍去）或m=1∴m=1②当2≤m≤4时，m-2=1，∴m=3
③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，无解．综上所述：m=1或m=3
19．【答案】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，则F点的坐标为（，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，）；
（2）S=
∴当t=2时，S最大，最大值为1
（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA≠900，故有以下两种情况：
①当∠PDA=900时，由勾股定理得，
又，，
，
即t2-4t-12=0，解得t1=2，t2=6（不合题意，舍去）
②当∠PAD=900时，点D在BA上，故AE=3－t，得t=3
综上，经过2秒或3秒时，△PAD是直角三角形；
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，
∴点D运动路线的长为2．
20．【答案】（1）由表格得：二次函数与x轴的两交点分别为（1，0），（3，0），
设二次函数解析式为y=a（x-1）（x-3），
将x=0，y=3代入得：3=3a，即a=1，
则二次函数解析式为y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3.
（2）由（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
则当x=2时，ymin=-1.
将A坐标代入二次函数解析式得：y1=m2-4m+3；
B坐标代入二次函数解析式得：y2=（m+2）2-4（m+2）+3=m2-1，
若y1＞y2，则m2-4m+3＞m2-1，
解得：m＜1．
21．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得 ，解得 ，
∴直线解析式为y= x+3；
（Ⅱ）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，
则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴ = = ，
设H（m， m+3），则PQ=x﹣m，HQ= m+3﹣（﹣x2+2x+1），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴ = = ，
整理消去m可得d= x2﹣x+ = （x﹣ ）2+ ，
∴d与x的函数关系式为d= （x﹣ ）2+ ，
∵ ＞0，
∴当x= 时，d有最小值，此时y=﹣（ ）2+2× +1= ，
∴当d取得最小值时P点坐标为（ ， ）；
（Ⅲ）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，
∴CE+EF=C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（Ⅱ）可知当x=2时，d= ×（2﹣ ）2+ = ，
即CE+EF的最小值为 ．
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