福建省宁德市2022-2023学年高二数学下学期区域性学业质量监测（A卷）试题（Word版附解析）

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2022-2023学年第二学期高二区域性学业质量监测
数学试题（A卷）
本试卷有第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.
注意事项：
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则时，的值趋近于（ ）
A. 2a B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数定义可得答案.
【详解】由题意可得
.
故选：C.
2. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解.
【详解】解：若，则，
因为已知向量，，所以，解得，
所以.
故选：.
3. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积的运算可证得法向量相互垂直，由此可得出答案.
【详解】记平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
所以，故，所以.
所以平面和平面的位置关系是垂直.
故选：B.
4. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 为函数的零点
B. 函数在上单调递减
C. 为函数的极大值点
D. 是函数的最小值
【答案】B
【解析】
【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.
由的图象可知，当时，，
当时，，故为函数的极大值点，A错误；
当时，，故函数在上单调递减，B正确；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，C错误；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，
与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,
故选：B
5. 如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】空间向量，平方求模长即可求解.
【详解】由，两边平方得：

.
所以.
故选：A.
6. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围．
【详解】函数，，
若在递增，则在恒成立，
可得,解得，
故选：D
7. 已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.
【详解】由题意，，，
可得，，
，即角B为锐角，所以，
所以边上的高.
故选：B
8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法1，由题意可得有两根，则，，令，对函数求导，求出函数的单调区间，从而画出函数的图象，结合图象可求得结果；
方法2：由题意得有两根，令，对函数求导，求出其单调区间，画出图象，将问题转化为直线与图象有两个交点，从而可求出实数的取值范围
【详解】方法1：，有两个都零点，即有两根，
则，，
设，则，
令，则，，
令，得，则在且；
令，得，则在且；
，图象如图所示，
实数时函数有两个零点.

方法2：
有两个都零点，即有两根，
设，则，
令，则，，
令，得，则在单调递增且；
令，得，则在单调递减且；
，图象如图所示，
设与相切于
则，解得，
所以实数时函数有两个零点.
故选：C
【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是将问题转化为，，然后构造函数，利用导数求出其单调区间，画出图象，利用数形结合的方法求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据求导公式以及复合函数的求导法则，可得答案.
【详解】对于A，，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，
，故D正确.
故选：BD.
10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是
C. 在方向上的投影向量是 D. 平面ABC的一个法向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断.
【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；
B：与同向的单位向量是，正确；
C：由，
则在方向上的投影向量是
，正确；
D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在单调递减 B. 在单调递增
C. 有一个极大值是 D. 有一个极大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】求导，利用导数，结合三角函数性质可得单调性，由单调性即可判断极值，即可结合选项逐一求解.
【详解】由得，
对于A,当时，，故,因此在单调递减，A正确，
对于B,当时，，
故在并非一直,因此在并非单调递增，B错误，
令，此时单调递减，
则当或时，此时单调递增，
故当和 时，分别取极大值和极小值，

对于C,当时，，故C正确，
对于D，当时，，故D正确，
故选：ACD
12. 如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）

A. 存在点，使得
B. 过三点、、的正方体的截面面积为
C. 四面体的内切球的表面积为
D. 点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆
【答案】BC
【解析】
【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，求出截面面积可判断B；设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，由即，求出可判断C；由分析可得，的轨迹是被四边形截得的4段圆弧，求解可判断D.
【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，；
若，则，即，与题意矛盾，所以A错误；
对于B，取中点，连接，因为，
所以可得、、、四点共面，
所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，
，
过点作，所以，
所以梯形的高为，
所以，，故B正确；

对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，

可知四面体是棱长为的正四面体，
取的外心，连接，则平面，
则，则，所以，

所以四面体的高，
设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，
，
即，，所以C正确；
对于D，，，∵，∴，
即，可得轨迹为圆：，
所以，圆心，，又，
所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧，
所以D错误；
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）
13. 曲线在点处的切线的倾斜角是________.
【答案】##
【解析】
【分析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】，时，，
切线斜率为1，又倾斜角范围是，所以切线倾斜角为．
故答案为：．
14. 向量与共线且满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设向量，由解得可得答案.
【详解】设向量，因为，所以，
解得，所以.
故答案为：.
15. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______.

【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则，
，，
所以，
即与FG所成的角的余弦值为.
故答案为：
16. 设定义在上的函数满足，，若，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性解不等式即可.
【详解】设函数，
∴，
∴在上单调递减，
又∵，
∴则，
即，
∴，即.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，且.
（1）求m的值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的模长公式求解即可；
（2）求出，，由垂直向量的坐标表示求解即可.
【小问1详解】
，
所以， 解得：；
【小问2详解】
当时，，
，
因为与互相垂直，所以，
解得：.
18. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在的最大值与最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为10，最小值为
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）对函数求导，得出在的单调性和极值，比较极值点和端点函数值大小即可得出答案.
【小问1详解】
∵，
函数在处的切线方程的斜率为，
又，切点为，
切线方程为：即.
【小问2详解】
因为
令，得或；令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以在处取得极大值，在处取得极小值.
又，，，，
由（1）知，在区间上的最大值为10，最小值为
19. 在正四棱柱中，，，E在线段上，且.

（1）求证：平面DBE；
（2）求直线与平面DBE所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答.
（2）利用空间向量求出线面角的正弦值作答.
【小问1详解】
在正四棱柱中，两两垂直，
以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，
，，，
于是，，即且，
而平面DBE，
所以平面DBE.
【小问2详解】
由（1）得，为平面DBE的一个法向量，
因此，
所以直线与平面DBE所成角的正弦值为.
20. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元.
（参考数据：，，）
（1）求函数的解析式；
（2）当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元
【解析】
【分析】（1）依题设： ，由条件当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元可得，进而求出函数的表达式；
（2）求导，利用导数的正负判断函数的单调性，进而求出最值即可.
【小问1详解】
依题设：
当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：
，可得：，∴；
∴
.
【小问2详解】
由（1）得，
，
∵∴时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴时，取得极大值也是最大值，
，
∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元.
21. 如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理求得，得到，证得，再由，证得平面，即可证得平面平面；
（2）若O为中点，证得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由平面的一个法向量为，列出方程求得，进而得到，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：由题知且，所以为等边三角形，
则，
又由四边形为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：若O为中点，，则，
由（1）得平面平面，平面平面，平面，
则平面，
连接，则，且平面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，分别为为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
设且，则，由平面的一个法向量为，
可得，解得，
因，所以，可得，
所以，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，可得，所以
则，
由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

22 已知函数，；
（1）求函数单调性；
（2）设函数，对于任意的都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对求导，分类讨论和，判断与得大小，即可得出答案.
（2）将题意转化为得对于任意的恒成立，令即在恒成立，即在恒成立，转化为求得最大值.
【小问1详解】
的定义域为，则，
当时，即时，在上单调递增，
当时，即时，则即，
令得，令得，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，上单调递增；
当时，则在上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
依题得
因为对于任意的总有成立，不妨设
由，得
设，可得在单调递增；
在恒成立；
∴在恒成立；
设，
令，得，因为，所以在单调递增；
同理，在单调递减，所以的最大值为，