高考物理真题分项汇编（3年（2021-2023）（北京专用）专题22 电学计算（一）

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专题22 电学计算（一）

1.（2023·北京卷）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。
  
【答案】（1）；（2），25%
【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，有




解得

（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度


且

解得

b.带电荷量q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有


在竖直方向颗粒匀速下落

的颗粒带电荷量为
q
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有


设只有距下极板为d′的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落

解得

的颗粒被收集的百分比


2.（2022·北京卷）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）两极板间的场强

带电粒子所受的静电力

（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有

解得

（3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有

带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有
，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间



1.（2023·北京市潞河中学·校考三模）电量均为的两电荷固定在相距为的两点，为连线中点，连线中垂线上有一点，到的距离为，已知静电力常量。
（1）求点的场强。
（2）将一质量为，带电量为的粒子从点由静止释放，为中点，不考虑粒子的重力。
a．若远小于，可略去项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动；
b．简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，请描述与该粒子所做简谐运动相对应的圆运动，并求该粒子做简谐运动的动能的最大值。
c．若令此粒子分别过点和点在此静电场中做匀速圆周运动，其周期分别为和，有学生认为依据过点做圆周运动的半径更大，则其运动的周期也更大，即，你认为正确吗？若正确，请说明理由。若不正确，请分析和的大小关系。
  
【答案】（1），方向由O指向M；（2）a．见解析；b．圆周运动以O点为圆心，以A为半径，周期为，圆平面与纸面垂直；粒子做简谐运动的动能最大值为；c．说法正确，理由见解析。
【详解】（1）试探电荷在M点受到的电场力为

所以M点的电场强度为

方向由O指向M；
（2）a．由题可知，粒子从点由静止释放后，将以O点为中心沿着直线OM做往返运动，O点为平衡位置，则运动过程中粒子的位移为时，粒子受到的电场力为

其中，若远小于，略去项后，有

即粒子的运动为简谐运动；
b．简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，二者周期相同，此圆周运动以O点为圆心，圆平面与纸面垂直，根据牛顿第二定律有

解得

粒子做简谐运动的动能最大值为

c．粒子过点和点在此静电场中做匀速圆周运动，则圆心在O点处，电场力提供向心力，设圆周运动的半径为，则有

整理得

由上式可知，圆周运动的半径为越大，其周期越长，所以粒子过点做匀速圆周运动的周期比过点做匀速圆周运动的周期要大，该学生的说法正确。

2.（2023·北京十一中学·校考三模）如图甲所示是研究光电效应的实验电路图，ab、cd为两正对的、半径为r的平行的、圆形金属板，板间距为d。当一细束频率为ν的光照极板ab圆心时，产生沿不同方向运动的光电子。调节滑片改变两板间电压，发现当电压表示数为时，电流表示数恰好为零。假设光电子只从极板圆心处发出，普朗克常量为h，电子电量为e，电子质量为m，忽略场的边界效应和电子之间的相互作用，电压表和电流表均为理想电表。
（1）求金属板的逸出功；
（2）若交换电源正负极，调节滑片逐渐增大两极板间电压，求电流达到饱和时的最小电压；
（3）已知单位时间内从ab板逸出的电子数为N，电子逸出时所携带动能在0至最大动能之间粒子数是均匀分布的。假设所有逸出的电子都垂直于ab板向cd板运动，如图乙所示。调整滑动变阻器的滑片，当ab与cd两板之间电势差为时，求此时安培表的读数I及对应的电阻值R。
  
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）分析电路可知，金属板间加反向电压，当电压为时，检流计的电流为零，有

根据爱因斯坦光电效应方程可知

解得逸出功

（2）交换电源正负极，金属板加正向电压，平行金属板飞出的电子到达cd板时，电流达到饱和，该电子做类平抛运动，初速度为，则有



联立解得

（3）电子动能在0至之间均匀分布，当电压为时，动能在至的电子才能到达cd板形成电流


解得

电阻的电压为，则

所以


3.（2023·北京第101中学·校考三模）电量均为+Q的两电荷固定在相距为2d的AB两点，O为AB连线中点，AB连线中垂线上有一点M，到O的距离为A，已知静电力常量k。
（1）求M点的场强。
（2）将一质量为m，带电量为-q的粒子从M点由静止释放，不考虑粒子的重力。
a.若A远小于d，可略去项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动；
b.简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，请描述与该粒子所做简谐运动相对应的圆运动，并求该粒子做简谐运动的周期及动能的最大值。

【答案】（1）；方向为O指向M；（2）a.见解析；b.；
【详解】（1）两个等量正电荷在M处产生的电场强度并合成如图所示

M点的场强为

方向为O指向M。
（2）a.粒子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为

即粒子的运动为简谐运动。
b．简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，二者周期相同，此时圆周运动以O点为圆心，圆面与纸面垂直，由牛顿第二定律可得

解得

又

其中

联立，可得


4.（2023·北大附中·校考三模）如图所示为离子发动机的示意图：其原理是设法将惰性气体（比如氙气）电离，使中性的原子变成带正电的离子，这些带正电的气体离子经过加速电场加速，以很高的速度沿同一方向喷出舱室，由此产生推力。由于单位时间内喷出的气体离子质量很小，探测器得到的加速度会非常小，但经过足够长时间的加速，同样可以得到很大的速度。假如探测器连同离子发动机和氙气的总质量为M，每个氙离子的质量为m，电量为q，加速电压为U，离子加速后形成的电流强度为I，为研究问题方便，假定离子推进器在太空中飞行时不受其它外力，忽略推进器运动速度，求：
(1)发动机单位时间内喷出多少个氙离子；
(2)离子发动机工作的初始阶段，产生推力能使探测器产生的加速度大小；
(3)为使离子推进器正常运行，必须在有离子喷射的出口处用中和电子枪向正离子喷射电子，试解释其原因。

【答案】(1)；(2)；(3)见解析
【详解】(1)设单位时间内应喷出n个离子，根据电流强度的定义可得

(2)在离子加速阶段，由动能定理得

解得

每个氙粒子动量增量为mv，t时间内

由动量定理得
，
根据牛顿第二定律
F=Ma
联立上述几式，得
a=
(3)推进器持续喷出正离子束，会使带有负电荷的电子留在其中，由于库仑力作用将严重阻碍正离子的继续喷出。电子积累足够多时，甚至会将喷出的正离子再吸引回来，致使推进器无法正常工作。因此，必须注入电子以中和正离子，使推进器获得持续推力。

5．（2023·北京房山·统考二模）电子经过电场加速后射入偏转电场。已知加速电场两极板间电压为U1，偏转电场两极板间电压为U2，极板长为L，相距为d，电子质量为m，电荷量为e，（重力不计）。求：
（1）电子离开加速电场时速度大小v0；
（2）电子离开偏转电场时竖直方向的位移大小y；
（3）某同学认为将一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止开始进入该装置，它们会分离为三股粒子束。你认为这位同学的看法是否正确，请说明理由。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）电子在加速电场中做匀加速直线运动，有

所以

（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，有



所以

（3）粒子离开偏转电场的速度偏转角为

竖直方向的偏移量为

由以上分析可知，粒子离开偏转电场时速度的偏转角、竖直方向的偏移量均与粒子的比荷无关，故不会分为三股粒子束。

6．（2023·北京门头沟·统考二模）如图，光滑斜面倾角为，一质量、电荷量的小物块置于斜面上，当加上水平向右的匀强电场时，该物体恰能静止在斜面上，，求：
（1）该电场的电场强度大小
（2）若电场强度变为原来的，小物块运动的加速度大小
（3）在（2）前提下，当小物块沿斜面下滑时，机械能的改变量。

【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）如图所示，小物块受重力、斜面支持力和电场力三个力作用，受力平衡，则有

在轴方向

在轴方向

得

故有
，方向水平向右。
（2）场强变化后物块所受合力为

根据牛顿第二定律得

故代入解得
，方向沿斜面向下
（3）机械能的改变量等于电场力做的功，故
，
解得


7.（2023·北京市中关村中学·校考三模）如图所示，两平行金属板A、B间电势差为，带电量为q、质量为m的带电粒子，由静止开始从极板A出发，经电场加速后射出，沿金属板C、D的中心轴线进入偏转电压为的偏转电场，最终从极板C的右边缘射出。偏转电场可看作匀强电场，板间距为d。忽略重力的影响。
（1）求带电粒子进入偏转电场时动量的大小。
（2）求偏转电场对带电粒子冲量的大小I和方向。
（3）保持其他条件不变，仅在极板C、D之间再施加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使得带电粒子恰好从距离极板D右边缘射出偏转电场，求该带电粒子离开偏转电场时的动能。
  
【答案】（1）；（2），方向竖直向上；（3）
【详解】（1）由动能定理

可得

（2）带电粒子在偏转电场加速度大小为

在竖直方向上有

解得

偏转电场对带电粒子冲量的大小为

方向竖直向上；
（3）由（1）中分析可得

由于洛伦兹力不做功，因此带电粒子恰好从距离极板D右边缘射出偏转电场，电场力做负功，根据动能定理可得

解得


8．（2023·北京朝阳·统考一模）密立根油滴实验将微观量转化为宏观量进行测量，揭示了电荷的不连续性，并测定了元电荷的数值。实验设计简单巧妙，被称为物理学史上最美实验之一。该实验的简化装置如图所示。水平放置、间距为d的两平行金属极板接在电源上，在上极板中间开一小孔，用喷雾器将油滴喷入并从小孔飘落到两极板间。已知油滴带负电。油滴所受空气阻力，式中η为已知量，r为油滴的半径，v为油滴的速度大小。已知油的密度为ρ，重力加速度为g。
（1）在极板间不加电压，由于空气阻力作用，观测到某一油滴以恒定速率缓慢下降距离L所用的时间为，求该油滴的半径r；
（2）在极板间加电压U，经过一段时间后，观测到（1）问中的油滴以恒定速率缓慢上升距离L所用的时间为。求该油滴所带的电荷量Q；
（3）实验中通过在两极板间照射X射线不断改变油滴的电荷量。图是通过多次实验所测电荷量的分布图，横轴表示不同油滴的编号，纵轴表示电荷量。请说明图中油滴所带电荷量的分布特点，并说明如何处理数据进而得出元电荷的数值。

【答案】（1）；（2）；（3）电荷量的分布呈现出明显的不连续性，见解析
【详解】（1）板间未加电压时，油滴的速度为，根据平衡条件有
其中


得
（2）板间加电压时，油滴的速度为，根据平衡条件有
其中
得
（3）电荷量的分布呈现出明显的不连续性，这是量子化的表现；
根据图中数据分布的特点，可将电荷量数值近似相等的数据分为一组，求出每组电荷量的平均值；再对各平均值求差值。在实验误差允许范围内，若发现各平均值及差值均为某一最小数值的整数倍，则这个最小数值即为元电荷的数值。

9．（2023·北京东城·统考一模）平行板电容器是一种常用的电学元件。
（1）如图甲所示，电源与平行板电容器，定值电阻，开关组成闭合电路。已知平行板电容器的电容为C，电源电动势为E，内阻不计，不考虑极板边缘效应，请在图乙中画出充电过程中电容器两板电压u随其所带电荷量q变化的图像，并类化直线运动中由图像求位移的方法，求充电完毕时电容器储存的电能。
（2）如图丙所示，M、N是平行板电容器的两个极板，板间距离为d。用绝缘细线把一个质量为m，电荷最为q的带电小球悬挂在两极板问，已知开关S闭合后，且小球静止时，绝缘细线与竖直方向夹角为，电源电动势为E，内阻不计。三个定值电阻的阻值分别为、、，重力加速度为g，忽略小球的电荷量对极板间电场的影响。
a.求夹角与定值电阻阻值的关系式；
b.若某时刻烧断细线，同时断开开关S，通过分析定性说明小球在两极板间可能出现的运动情况（假设小球的电荷量保持不变，且始终未与极板发生碰撞）。

【答案】（1）， ；（2）a. ；b.某时刻烧断细线，同时断开开关，细线对小球的拉力为零。在竖直方向上，小球只受重力作用，加速度不变，做匀加速直线运动；在水平方向上，小球只受电场力作用，由于平行板电容器会通过电阻放电，使得小球所受电场力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动。若放电时间比较长，小球做加速度减小的曲线运动。若放电时间比较短，在放电完毕前，小球做加速度减小的曲线运动；放电完毕后，小球只在重力作用下做匀变速曲线运动。
【详解】（1）图像如图所示

充电完毕时电容器两端电压等于电源电动势E，电容器所带电荷量为Q，图线与横轴所围面积即为电容器储存的电能，
联立可得
（2）a.小球在电场中静止时受到重力、电场力及细线的拉力，小球所受电场力为
两极板之间电场强度
根据闭合电路欧姆定律，可得两极板间的电势差
根据平衡条件有
联立可得
b.某时刻烧断细线，同时断开开关，细线对小球的拉力为零。在竖直方向上，小球只受重力作用，加速度不变，做匀加速直线运动；在水平方向上，小球只受电场力作用，由于平行板电容器会通过电阻放电，使得小球所受电场力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动。若放电时间比较长，小球做加速度减小的曲线运动。若放电时间比较短，在放电完毕前，小球做加速度减小的曲线运动；放电完毕后，小球只在重力作用下做匀变速曲线运动。

10．（2023·北京丰台·统考一模）能量守恒定律是普遍、和谐、可靠的自然规律之一。根据能量守恒定律，物理学发现和解释了很多科学现象。
（1）经典力学中的势阱是指物体在场中运动，势能函数曲线在空间某一有限范围内势能最小，当物体处于势能最小值时，就好像处在井里，很难跑出来。如图所示，设井深为H，若质量为m的物体要从井底至井口，已知重力加速度为g，求外力做功的最小值W。
（2）金属内部的电子处于比其在外部时更低的能级，电势能变化也存在势阱，势阱内的电子处于不同能级，最高能级的电子离开金属所需外力做功最小，该最小值称为金属的逸出功。如图所示，温度相同的A、B两种不同金属逸出功存在差异，处于最高能级的电子电势能不同，A、B金属接触后电子转移，导致界面处积累正负电荷，稳定后形成接触电势差。已知A金属逸出功为，B金属逸出功为，且，电子电荷量为－e。
a.请判断界面处A、B金属电性正负；
b.求接触电势差。
（3）同种金属两端由于温度差异也会产生电势差，可认为金属内部电子在高温处动能大，等效成电子受到非静电力作用往低温处扩散。如图有一椭球形金属，M端温度为，N端温度为，沿虚线方向到M端距离为L的金属内部单个电子所受非静电力大小F满足：，非静电力F沿虚线方向，比例系数μ为常数，与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小有关，电子电荷量为－e，求金属两端的电势差。

【答案】（1）mgH；（2）a. A金属侧带正电B金属侧带负电，b.；（3）
【详解】（1）根据能量守恒定律可知，质量为m的物体要从井底至井口，外力做功最小值为mgH。
（2）a. 界面处A金属电子处于比B金属电子更高的能级，电子从A侧向B侧转移，A金属侧带正电，B金属侧带负电。
b. 金属两侧正负电荷在界面处激发的电场阻碍电子继续从A向B侧移动，最终达到平衡。设无穷远处电子电势能为0，则初状态A侧电子能量为，B侧为，末状态A侧界面电势为，B侧界面电势为，界面两侧A、B电子能量相等，有


联立可得A、B间电势差为
（3）由于与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小相关，在沿虚线方向取极短距离△L，则非静电力做功为，累加后可得
根据电动势的定义式，可得
为非静电力做功。断路状态下MN两端电势差大小数值上等于电动势。联立以上两式，可得金属两端电势差为

11．（2023·北京海淀八模（三））某游戏公司设计人员，构想通过电场来控制带电小球的运动轨迹。如图1所示，绝缘光滑圆轨道竖直放在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球位于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点；当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。小球可视为质点，已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g。
（1）求匀强电场的电场强度E1大小；
（2）求小球做圆周运动时，通过A点的动能Ek；
（3）将原电场更换为如图2所示的交变电场（正、负号分别表示与原电场强度方向相同或相反），小球在A点由静止释放，欲使小球能在一个周期（T未知）内恰能运动到最低点C，且运动过程中不与圆轨道相碰，试求所加电场强度E2不应大于多少。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】(1)根据小球由静止沿直线打到B点，可得合力的方向沿AB方向，则
可得
(2)根据小球合力方向可知，小球能通过圆轨道等效最高点D点（位于O点左上侧45°处），则能做完整的圆周运动，小球的合力大小
小球在D点
A到D过程，由动能定理有
解得
(3)小球在1个周期内，0～内，做直线运动，～T内做曲线运动，T时刻回到A点的正下方的C点，轨迹如图所示

在水平方向上，0～内，向右运动
～内，做曲线运动，水平方向上，向右运动位移仍为x1，竖直方向上做自由落体运动
则
由运动分析可知，要使小球由A点运动到最低处C点且不与轨道相碰，需时刻到达最大水平位移处，由几何关系可得，需满足向右运动的最大位移为 ，由此可得
解得
故所加电场强度的最大值不能超。

12．（2023·北京平谷·统考一模）如图所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，可绕过和边中点且垂直于磁场方向的轴匀速转动。已知矩形线圈边和边的长度，边和边的长度，匝数匝，线圈的总电阻。线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D（集流环）焊接在一起，并通过电刷同的定值电阻相连接。线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度。在外力驱动下线圈绕轴转动的角速度。计算中取。求：
（1）通过电阻R的电流最大值；
（2）在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热；
（3）线圈由图示位置（即线圈平面与磁场方向垂直的位置）转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由题意，根据法拉第电磁感应定律，可得线圈中产生感应电动势的最大值为
其中
代入相关数据求得
根据闭合电路欧姆定律，得通过电阻R的电流最大值
（2）线圈中产生感应电流的有效值为
得在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热


联立代入相关数据求得
（3）线圈由图示位置（即线圈平面与磁场方向垂直的位置）转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量


代入相关已知数据求得

13．（2023·北京西城·统考一模）电磁流量计可以快速、方便地测量导电流体（如污水、自来水等）的流量，其简化示意图如图所示，它是一段横截面为长方形的管道，其中空部分的长、宽、高分别为a、b、c，流量计的左右两端与输送流体的管道相连接（如虚线所示），其上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料．流量计处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于前后两面．流量计的上、下两表面分别与电压表的两端相连接（图中未画），当污水满管通过流量计时，电压表就会显示读数．
a．求电压表示数为U时管道中的污水流量Q．
b．某同学想利用电磁流量计设计一个便于调节的浇花装置．如图3所示，花坛中紧密摆放着相同的花盆，它们由内向外以O为圆心摆放在半径不同的圆周上．在圆心O处安装一个竖直的输水管，管的末端安装一个可以水平自动匀速旋转的喷水龙头，其旋转周期T可调．该同学把图2中的电磁流量计安装在龙头的末端，作为水平喷口，并且通过改进使电磁流量计的边长b大小可调（其他参数不变）．如果龙头喷出水的流量Q是恒定的，为了使龙头旋转每周每个花盆的浇水量相同，当浇灌半径由增大到时，需要调节b和T．不计水喷出时旋转方向的速度，求调节前后的电压表的示数之比及龙头旋转的周期之比．

【答案】a.；b.
【详解】a．流量计上下表面的电势差
流量
其中
得
b．要使浇灌半径由增大到，则水由龙头喷出的速度
又因为
所以
浇灌半径为和的两个圆周上花盆的数量
若要使每个花盆的浇水量相同，则
所以

14．（2023·北京延庆·统考一模）如图所示，竖直放置的A、B与水平放置的C、D为两对正对的平行金属板，A、B两板间电势差为U，C、D两板分别带正电和负电，两板间场强为E，C、D两极板长均为L。一质量为m，电荷量为的带电粒子（不计重力）由静止开始经A、B加速后穿过C、D并发生偏转，最后打在荧光屏上。求：
（1）粒子离开B板时速度大小v；
（2）粒子刚穿过C、D时的竖直偏转位移y；
（3）粒子打在荧光屏上时的动能。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子加速电场中加速过程，由动能定理可得
解得
（2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，由动力学知识可得



联立解得
（3）粒子从开始运动到打在荧光屏上整个过程根据动能定理可知
所以有


15．（2023·北京汇文中学·校考一模）在一个点电荷Q的电场中，以点电荷Q的位置为原点O建立平面直角坐标系，如图1所示，在其中A、B两点分别放置试探电荷，试探电荷受到静电力的大小F跟试探电荷的电荷量q的关系分别如图2中直线a、b所示。已知A点的坐标为（0.3 m，0）。
（1）求A点电场强度的大小EA和B点电场强度的大小EB。
（2）求B点到点电荷Q的距离rB。
（3）将一试探电荷从B点移动到A点，请根据点电荷场强分布的特点，自选两条移动路径证明，电场力做的功WBA与路径无关（在图中画出所选择的路径）。

【答案】（1）40N/C，2.5N/C；（2）1.2m；（3）证明见详解
【详解】(1)由场强定义式，得；
(2)由
得
得
(3)如图所示

连接OB，以Ｑ所在处的原点O为圆心，分别过A做圆弧与OB相交于C、过B做圆弧与x轴相交于D，则所选两条路径分别为从B到C到A和从B到D到A。CA和BD分别为点电荷Q的等势面，沿等势面移动电荷时电场力做功为零；BC和DA分别沿半径方向，根据到点电荷距离相等的各点场强大小相等的场强分布特点可知，试探电荷分别从B到C和从D到A的过程中，电场力在每小段距离上做的功都对应相等。因此，电场力做功与这两条路径无关，只取决于初位置B和末位置A。

16．（2023·北京四中·校考一模）图中装置由加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、相距为s的相同平行金属板构成，金属板长度均为l、间距均为d，两对金属板间偏转电压大小相等、电场方向相反。质量为m、电荷量为＋q的粒子从静止开始经加速电压加速后，从A点水平射入偏转电压为U的平移器，最终从B点射出平移器。不考虑粒子受到的重力。
（1）求粒子射入平移器时的速度大小；
（2）求粒子在平移器间运动全过程中的最大动能；
（3）a、当s=l时，求粒子射入平移器和射出平移器过程中，在竖直方向的总位移y；
b、若仅改变平移器的偏转电压U，粒子在穿越平移器过程中哪些物理量是不随U而改变的？（除质量、电荷量、比荷以外，举出2个即可。）

【答案】（1）；（2）；（3）；水平方向速度，穿越平移器过程时间
【详解】（1）粒子在加速电场中由动能定理得
得
（2）粒子从加速电场进入左边平移器，粒子水平方向做匀速直线运动，通过左边平移器时间为
粒子在竖直方向做匀加速直线运动，加速度大小为
粒子射出左边平移器时，竖直方向速度为
粒子射出左边平移器时，动能最大
（3）a、粒子射出左边平移器时，竖直方向位移为
当s=l时，粒子从第一个平移器到第二个平移器过程，做匀速直线运动，竖直方向位移为
故粒子在竖直方向的总位移为
b、由于粒子进入偏转电场的速度为
粒子在水平方向速度只与加速电压和粒子质量以及电荷量有关，若仅改变平移器的偏转电压U，水平方向速度与偏转电压U无关。
粒子在穿越平移器整个过程中，所用时间为
也与偏转电压U无关。

17．（2023·北京海淀·统考一模）电容是物理学中重要的物理量。如图1所示，空气中水平放置的平行板电容器A充满电后，仅改变电容器A两极板间的距离。 电容器A的电容也随之变化。多次实验后，作出一条斜率为的直线，如图2所示。不考虑边缘效应。
（1）回答下列问题。
a．若开关保持断开状态，分析当板间距变化时，两极板间电场强度的大小如何变化。
b．根据电场强度的定义、电场强度可叠加的性质，证明当电容器A所带电荷量为时，下极板对上极板电场力的大小。
（2）用电容器A制成静电天平，其原理如图3所示：空气中，平行板电容器的下极板固定不动，上极板接到等臂天平的左端。当电容器不带电时，天平恰好保持水平平衡，两极板间的距离为。当天平右端放一个质量为的砝码时，需要在电容器的两极板间加上电压，使天平重新水平平衡。
某同学提出若用电压表（可视为理想表）读出上述电压，则可推知所加砝码的质量。因此，他准备将图4中该电压表表盘（示意图）上的电压值改换为相应的质量值。他已经完成了部分测量，请在图4的表盘上标上2V和3V对应的质量值，并给出一种扩大该静电天平量程的方法。
（3）如图5所示，将电容器A的下极板同定不动，上极板由一劲度系数为的轻质绝缘弹簧悬挂住。当两极板均不带电时，极板间的距离为。保持两极板始终水平正对且不发生转动，当两极板间所加电压为时，讨论上极板平衡位置的个数的情况。

【答案】（1）a．电场强度的大小保持不变，b．见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【详解】（1）a．由图2可得
又，
联立可得
若开关保持断开状态，可知电容器电荷量保持不变，当板间距变化时，两极板间电场强度的大小保持不变；
b．当电容器A所带电荷量为时，可得每个极板产生的电场强度大小为
下极板对上极板电场力的大小为
（2）根据题意有
又，，
联立可得
可知2V对应的质量值满足
解得
3V对应的质量值满足
解得
如图所示

根据
为了扩大该静电天平量程，可减小天平平衡时板间距离。
（3）当两极板间所加电压为时，设上极板所受弹簧弹力的变化量为，所受下极板的电场力为；稳定时，根据受力平衡可得
根据胡克定律可得
根据（1）b结论可得
联立可得
可知该方程是关于的三次方程，可通过图像法确定其解的个数，如图所示

在坐标中分别作出方程左端的图像（图中直线、和）和右端的图像（图中曲线），两个图像的交点的个数反映了方程解的个数，即上极板平衡位置的个数。
直线与曲线相交，有2个交点，表明方程有2个解，即上极板平衡位置的个数；
直线与曲线相切，有1个交点，表明方程有1个解，即上极板平衡位置的个数；
直线与曲线相离，没有交点，表明方程没有实数解，即上极板平衡位置的个数；
综上所述，上极板平衡位置的个数、、。

18．（2023·北京石景山·统考一模）汤姆孙用来测定电子的比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如图所示，真空管内的阴极K发出的电子经加速电压加速后，穿过中心的小孔沿中心线的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和间的区域，极板间距为d。当P和P极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成一个亮点。不计电子从阴极K发出的初速度、所受重力和电子间的相互作用，不考虑相对论效应。
（1）若测得电子穿过中心的小孔沿中心线方向匀速运动的速度，求电子的比荷；
（2）已知P和极板水平方向的长度为，它们的右端到荧光屏中心O点的水平距离为，当P和极板间加上偏转电压U后，亮点偏离到点（与O点水平距离可忽略不计）。
①小明同学认为若测出与O点的竖直距离h，就可以求出电子的比荷。请通过分析和推理判断小明的观点是否正确。
②在两极板P和间的区域再加上磁场，调节磁场的强弱和方向，通过分析电子在P和间的运动情况可求出电子的速度。请说明确定电子速度的方法。

【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析
【详解】（1）电子在加速电场中运动，由动能定理有
解得
（2）①设电子在偏转电场中飞行时间为t，加速度为a，由运动学公式和牛顿第二定律水平方向有
竖直方向有
其中
解得
设电子飞出偏转电场时的偏角为，竖直分速度为则有，
根据几何关系有
解得
可知，h与比荷无关，测出h不能求出电子的比荷
（2）在两极板P和之间的区域加垂直纸面向里的匀强磁场，调节磁感应强度B的大小，使电子能够沿中心线方向通过两极板间区域，此时电子受到的静电力与洛伦兹力平衡，则有
解得

19.（2023·北京西城·统考二模）如图所示，电子从灯丝K发出（初速度不计），在KA间经加速电压加速后，从A板中心小孔射出，进入由M、N两个水平极板构成的偏转电场，M、N两板间的距离为d，电压为，板长为L，电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，射出时没有与极板相碰。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力及它们之间的相互作用力。求：
（1）电子穿过A板小孔时的速度大小v；
（2）电子从偏转电场射出时垂直极板方向偏移的距离y；
（3）电子从偏转电场射出时的速度方向。

【答案】（1）；（2）；（3）速度方向与水平方向夹角，斜向右下方
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）进入偏转电场后做类平抛运动



联立解得
（3）设速度与水平方向夹角为θ，则
则
斜向右下方。

20．（2023·北京海淀·统考二模）如图1所示，两平行金属板A、B间电势差为U1，带电量为q、质量为m的带电粒子，由静止开始从极板A出发，经电场加速后射出，沿金属板C、D的中心轴线进入偏转电压为U2的偏转电场，最终从极板C的右边缘射出。偏转电场可看作匀强电场，板间距为d。忽略重力的影响。
（1）求带电粒子进入偏转电场时速度的大小v。
（2）求带电粒子离开偏转电场时动量的大小p。
（3）以带电粒子进入偏转电场时的位置为原点、以平行于板面的中心轴线为x轴建立平面直角坐标系xOy，如图2所示。写出该带电粒子在偏转电场中的轨迹方程。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对带电粒子从左极板由静止，经加速电场并进入偏转电场的过程中，运用动能定理
解得
（2）设带电粒子进入和离开偏转电场时的速度分别为和v，对带电粒子从进入偏转电场到离开偏转电场的过程，运用动能定理
解得
（3）设带电粒子进入偏转电场时的速度为，加速度为a，经过时间t后（为离开偏转电场），水平方向位移为x，竖直方向位移为y，根据运动学公式，可得

根据牛顿运动定律可知，带电粒子在偏转电场中的加速度
将和a代入x和y并消去时间t，可得带电粒子的轨迹方程


21．（2023·北京丰台·统考二模）如图所示，真空中A、B两点分别固定电荷量均为的两个点电荷，O为A、B连线的中点，C为A、B连线中垂线上的一点，C点与A点的距离为，AC与AB的夹角为，中垂线上距离A点为的点的电势为（以无穷远处为零电势点）。一个质量为的点电荷（其电荷量远小于Q），以某一速度经过C点，不计点电荷的重力，静电力常量为。
（1）画出C点的电场强度方向；
（2）若经过C点的点电荷的电荷量为，速度方向由C指向O，要让此点电荷能够到达O点，求其在C点的速度最小值；
（3）若经过C点的点电荷的电荷量为，要让此点电荷能够做过C点的匀速圆周运动，求其在C点的速度的大小和方向。

【答案】（1）；（2）；（3），方向垂直于纸面向里或者向外
【详解】（1）根据对称性可知，C点电场场强方向沿着AB连线的中垂线向上，如图所示

（2）C点电势为
O点电势为
设此点电荷刚好能够到达O点，由能量守恒定律可得
解得
（3）设圆周运动的半径为，C点电场场强大小为，则有



联立解得
方向垂直于纸面向里或者向外。

22．（2023·北京朝阳·统考二模）如图所示，O点左侧水平面粗糙，右侧水平面光滑。过O点的竖直虚线右侧有一水平向左、足够大的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为的绝缘物块，从O点以初速度水平向右进入电场。求：
（1）物块向右运动离O点的最远距离L；
（2）物块在整个运动过程中受到静电力的冲量I的大小和方向；
（3）物块在整个运动过程中产生的内能Q。

【答案】（1）;（2），其方向与方向相反;（3）
【详解】（1）物块向右减速运动，根据动能定理有
得
（2)取方向为正方向，由于物块从出发到返回出发点的过程中，静电力做功为零，所以返回出发点时的速度
根据动量定理有
得
负号表示其方向与方向相反。
（3)在物块运动的全过程中，根据能量守恒有

23．（2023·北京昌平·统考二模）1913年，美国物理学家密立根用油滴实验证明电荷的量子性并测出电子的电荷量，由此获得了1923年度诺贝尔物理学奖。
如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的金属极板，上极板中央有一小孔。用喷雾器将细小的油滴喷入密闭空间，这些油滴由于摩擦而带了负电。油滴通过上极板的小孔进入到观察室中。当两极板电压为U时，某一油滴恰好悬浮在两板间静止。将油滴视为半径为r的球体，已知油滴的密度为，重力加速度为g。
（1）求该油滴所带的电荷量q。
（2）由于油滴的半径r太小，无法直接测量。密立根让油滴在电场中悬浮，然后撤去电场，油滴开始做加速运动；由于空气阻力的存在，油滴很快做近似匀速运动，测出油滴在时间t内匀速下落的距离为h。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中为空气的粘滞系数，v为油滴运动的速率。不计空气浮力。请推导半径r的表达式（用、h、t、和g表示）。
（3）实验发现，对于质量为m的油滴，如果改变它所带的电荷量q，则能够使油滴达到平衡的电压必须是某些特定值，研究这些电压变化的规律可发现它们都满足方程，式中，，……。此现象说明了什么？


【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由平衡可知


解得
（2）由题意可知
其中


解得
（3）研究这些电压变化的规律可发现它们都满足方程
式中，，……即
即
此现象说明了油滴所带电量都是某一值的整数倍。

24．（2023·北京昌平·统考二模）类比是研究问题的一种常用方法。
（1）物体受到地球的万有引力作用，可以认为是通过引力场发生的。已知地球的质量为M，引力常量为G。类比电场强度，推导地球在距地心为r处（r大于地球半径）产生的引力场强度的表达式。
（2）经典电磁理论认为氢原子核外电子的运动与行星类似，在库仑引力的作用下绕核做匀速圆周运动。设电子的质量为m，电荷量为e，静电力常量为k，电子处于基态时的轨道半径为R。求电子处于基态时做圆周运动的线速度大小v。
（3）a．物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程描述，其中m为物体质量，为其重力。求物体下落的最大速率；并在图1所示的坐标系中定性画出速度v随时间t变化的图像。
b．图2为“演示电容器充、放电”的实验电路图。电源电动势为E、内阻不计。电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R。将开关接1，给电容器充电，写出充电过程中极板电荷量q随时间t变化的方程。类比图像，在图3所示的坐标系中定性画出电荷量q随时间t变化的图像。

【答案】（1）；（2）；（3）a.，；b. ，
【解析】
【详解】（1）设质量为的物体在距地心为处，受到地球的万有引力大小为
类比电场强度的定义得引力场强度大小为
解得
（2）氢原子核外电子在库仑力的作用下做匀速圆周运动
解得
（3）a.当加速度为零时，速度最大，所以
图像如下图所示

b.给电容器充电时，有




联立可得
类比图像，可得图像如下图所示


25．（2023·北京十二中·校考模拟）某空间区域内存在水平方向的匀强电场，在其中一点处有一质量为、带电荷量为的小球。现将小球由静止释放，小球会垂直击中斜面上的点。已知斜面与水平方向的夹角为60°，之间的距离为，重力加速度为。求：

(1)场强的大小和方向；
(2)带电小球从点运动到点机械能的增量；
(3)在点给带电小球一个平行斜面向上的初速度，小球落到斜面上时与点之间的距离。
【答案】(1),方向水平向右；(2) ；(3)
【解析】(1)根据题意，方向为合力方向，小球所受电场力水平向右，小球带正电，则匀强电场的方向水平向右；
带电小球合力方向与竖直方向成60°角，由平行四边形定则可得
解得
(2)根据功能关系可知，电场力对小球做的功等于小球机械能的增量，则
解得
(3)解法一 小球所受电场力与重力的合力沿方向，若小球初速度平行斜面向上，则小球做类平抛运动，如图甲所示。由平行四边形定则得
由牛顿第二定律得
设小球在斜面上的落点到点的距离为，小球落到斜面上的时间为，则


解得

解法二 小球在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动。设小球落在斜面上的点，水平位移，竖直位移，如图乙所示。则



，则



联立解得



解得