高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题11+平面向量

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专题11 平面向量
知识点目录
知识点1：平面向量线性运算
知识点2：数量积运算
知识点3：求模问题
知识点4：求夹角问题
知识点5：平行垂直问题
知识点6：平面向量取值与范围问题
近三年高考真题
知识点1：平面向量线性运算
1．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
2．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　 　．
3．（2023•上海）已知向量，，则 ．
4．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为 　 　．
知识点2：数量积运算
5．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则 ．
6．（2023•上海）已知向量，，则 ．
7．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求 ．

8．（2021•浙江）已知非零向量，，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
10．（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则　　
A． B．3 C． D．5
11．（2022•乙卷（文））已知向量，满足，，，则　　
A． B． C．1 D．2
12．（2022•甲卷（文））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
13．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则 ．
14．（2021•北京）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　．

知识点3：求模问题
15．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
16．（2021•甲卷（理））若向量，满足，，，则 ．
17．（2023•北京）已知向量，满足，，则　　
A． B． C．0 D．1
18．（2022•乙卷（文））已知向量，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点4：求夹角问题
19．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则　　
A． B． C．5 D．6
20．（2023•甲卷（文））已知向量，，则，　　
A． B． C． D．
21．（2023•甲卷（理））向量，，且，则，　　
A． B． C． D．
知识点5：平行垂直问题
22．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则 ．
23．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　
A． B． C． D．
24．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则 ．
25．（2021•甲卷（文））已知向量，，．若，则 ．
26．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则 ．
知识点6：平面向量取值与范围问题
27．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
28．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 ．
29．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
30．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
31．（2021•天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 　 　，的最小值为 　．
32．（2021•浙江）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 ．