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    2022-2023学年重庆市黔江区七年级(下)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年重庆市黔江区七年级(下)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年重庆市黔江区七年级(下)期末数学试卷(含解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年重庆市黔江区七年级(下)期末数学试卷
    一、选择题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 在二元一次方程x+3y=1的解中,当x=2时,对应的y的值是(    )
    A. 13 B. −13 C. 1 D. 4
    2. 下列不等式变形,成立的是(    )
    A. 若m C. 若m 3. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
    A. B. C. D.
    4. 下列长度的三条线段(单位:cm),能组成三角形的是(    )
    A. 1,2,4 B. 2,4,6 C. 2,6,7 D. 5,7,13
    5. 用加减消元法解方程组2x−3y=6①3x−2y=7②,下列解法不正确的是(    )
    A. ①×3−②×2,消去x B. ①×2−②×3,消去y
    C. ①×(−3)+②×2,消去x D. ①×2−②×(−3),消去y
    6. 将一张纸片沿下图中①、②的虚线对折得图2中的③,然后剪去一个角,展开铺平后的图形如下图中的④,则图中的③沿虚线的剪法是(    )


    A. B. C. D.
    7. 一商店店主在某一时间内以每件1200元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,则该店主在这两件衣服的交易中(    )
    A. 亏损100元 B. 亏损125元 C. 盈利100元 D. 不盈不亏
    8. 若关于x的方程4(2−x)+x=ax的解为正整数,且关于x的不等式组x−16+2>2xa−x≤0有解,则满足条件的所有整数a的值之和是(    )
    A. 3 B. 0 C. −2 D. −3
    9. 如图,七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4的外角和等于215°,则∠BOD的度数为(    )

    A. 20° B. 35° C. 40° D. 45°
    10. 如图,已知∠AOB的大小为α,P是∠AOB内部的一个定点,且OP=5,点E、F分别是OA、OB上的动点,若△PEF周长的最小值等于5,则α=(    )


    A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
    二、填空题(本大题共8小题,共32.0分)
    11. 不等式3x+2<8的解集是______.
    12. 在△ABC中,如果∠A:∠B:∠C=1:3:5,那么△ABC是______ 三角形(按角分类).
    13. 已知方程35x−12y=1,用含x的式子表示y,则y=______.
    14. 如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4cm,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,若DE=6cm,EC=1cm,则四边形ABFD的周长为______cm.


    15. 已知等式y=ax2+bx+c,当x=−1时,y=9;当x=1时,y=5,则a+c的值为______ .
    16. 已知方程组2x+3y=a4x−3y=a−4的解x与y的和是2,则a=______.
    17. 一个多边形的所有内角与这个多边形其中一个外角的和等于2020°,则这个多边形的边数是______ .
    18. 如图,点C在线段BF上,∠DCA=∠DAC且∠ACD+∠ACF=180°,点E在AC上,若∠CBE=∠D,∠ABE:∠ABC=1:3,∠BAC=44°,则∠DAC的度数为______ .


    三、解答题(本大题共8小题,共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    19. (本小题8.0分)
    解不等式组2x−1≥−3①1+2x3>x−1②,把不等式组的解集在数轴上表示出来并求出其非负整数解.


    20. (本小题10.0分)
    (1)解方程:x−x−25=2x−53+1;
    (2)解方程组:x+y=2x2−2y=1.
    21. (本小题10.0分)
    如图,在边长为1个单位长度的10×10的小正方形网格中.
    (1)将△ABC向右平移5个单位长度,作出平移后的△A1B1C1;
    (2)请画出△A2B2C2,使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称;
    (3)在直线a上画出点P,使得点P到点A、B的距离之和最短.

    22. (本小题10.0分)
    正值重庆一中85年校庆之际,学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机.经市场调查,已知购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元,购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元.
    (1)求购买1台平板电脑和1台打印机各需多少元?
    (2)学校根据实际情况,决定购买平板电脑和打印机共100台,要求购买的总费用不超过168000元,且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍.请问最多能购买平板电脑多少台?
    23. (本小题10.0分)
    已知:如图1,在△ABC中,CD是AB边上的高,∠A=∠DCB.
    (1)试说明∠ACB=90°;
    (2)如图2,如果AE是角平分线,AE、CD相交于点F.那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗?请说明理由.


    24. (本小题10.0分)
    如图1,△ABC中,∠A=64°,∠B=90°,∠C=26°.点D是AC边上的定点,点E在BC边上运动,沿DE折叠△CDE,折叠后点C落在点F处.下面我们来研究折叠后的△DEF有一边与原三角形△ABC的一边平行时∠ADF的值.

    (1)首先我们来研究边DE.因为DE和△ABC的AC、BC相交,所以只有一种可能的情况(如图2),DE/​/AB,此时∠ADF= ______ .
    (2)其次,我们来研究边EF.因为点E在BC上,所以EF可能与△ABC的边AB、AC边分别平行.
    当EF/​/AB时(如图3),则∠ADF= ______ .
    当EF/​/AC时(如图4),则∠ADF= ______ .
    (3)最后,我们来研究边FD.因为点D在AC上,所以FD可能与△ABC的边AB、BC边分别平行.
    当FD//AB时,∠ADF= ______ .
    当FD/​/BC时,∠ADF= ______ .
    25. (本小题10.0分)
    阅读探索
    解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6
    解:设a−1=x,b+2=y,原方程组可变为x+2y=62x+y=6
    解方程组得x=2y=2,即a−1=2b+2=2,所以a=3b=0.此种解方程组的方法叫换元法.
    (1)拓展提高
    运用上述方法解下列方程组:(a3−1)+2(b5+2)=42(a3−1)+(b5+2)=5
    (2)能力运用
    已知关于x,y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=3,直接写出关于m、n的方程组5a1(m+3)+3b1(n−2)=c15a2(m+3)+3b2(n−2)=c2的解为______ .
    26. (本小题10.0分)
    如图1,将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起;如图2,其中∠ACB=30°,∠DAE=45°,∠BAC=∠D=90°.固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°).

    (1)在旋转过程中,当α为______ 度时,AD//BC;当α为______ 度时,AD⊥BC.
    (2)当0°<α<45°时,连接BD,利用图3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况,并说明理由.
    答案和解析

    1.【答案】B 
    【解析】解:把x=2代入程x+3y=1得:2+3y=1,
    y=−13.
    故选:B.
    把x=2代入程x+3y=1求出y即可.
    本题考查了二元一次方程的解的应用,主要考查学生的计算能力.

    2.【答案】A 
    【解析】解:A.若m B.若m2−n,故本选项错误;
    C.若m−2n,故本选项错误;
    D.若m−n2,故本选项错误;
    故选:A.
    依据不等式的基本性质进行判断,即可得出结论.
    本题考查了不等式的基本性质:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变.等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

    3.【答案】A 
    【解析】解:A、该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意;
    B、该图形是既不是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
    C、该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,不符符合题意;
    D、该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意.
    故选:A.
    根据轴对称图形和中心对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,进行逐一判断即可.
    本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.

    4.【答案】C 
    【解析】解:A.∵1+2<4,∴不能组成三角形,故A不符合题意;
    B.∵2+4=6,∴不能组成三角形,故B不符合题意;
    C.∵2+6>7,∴能组成三角形,故C符合题意
    D.∵5+7=13,∴不能组成三角形,故D不符合题意;
    故选:C.
    根据三角形三边关系定理判断即可.
    本题考查的是三角形的三边关系,掌握三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边是解题的关键.

    5.【答案】D 
    【解析】解:2x−3y=6 ①3x−2y=7 ②,
    ①×3−②×2,消去x,A不符合题意;
    ①×2−②×3,消去y,B不符合题意;
    ①×(−3)+②×2,消去x,C不符合题意;
    应该是:①×2+②×(−3),消去y,不是:①×2−②×(−3),消去y,D符合题意.
    故选:D.
    应用加减消元法,判断出解法不正确的是哪个即可.
    此题主要考查了解二元一次方程组的方法,要熟练掌握,注意代入消元法和加减消元法的应用.

    6.【答案】B 
    【解析】解:由于得到的图形的中间是正方形,那么它的四分之一为等腰直角三角形.故选B.
    对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现.
    本题主要考查空间想象能力:由一个图形的整体看出四分之一.

    7.【答案】A 
    【解析】解:设盈利的一件进价为x元,亏损的一件进价为y元,
    根据题意得x+20%x=1200,y−20%y=1200,
    解得x=1000,y=1500,
    所以1200×2−(1000+1500)=−100(元),
    所以该店主在这两件衣服的交易中亏损了100元,
    故选:A.
    设盈利的一件进价为x元,亏损的一件进价为y元,则盈利的一件的售价为(x+20%x)元,亏损的一件的售价为(y−20%y)元,分别列方程得x+20%x=1200,y−20%y=1200,分别求出这两件衣服的进价再用它们的售价的和减去它们的进价的和即得到问题的答案.
    此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法,正确地用代数式表示这两件衣服各自的售价是解题的关键.

    8.【答案】D 
    【解析】解:4(2−x)+x=ax,
    去括号:8−4x+x=ax,
    移项:(a+3)x=8,
    解得:x=8a+3,
    ∵关于x的方程4(2−x)+x=ax的解为正整数,
    ∴a+3=1或a+3=2或a+3=4或a+3=8,
    解得;a=−2或a=−1或a=1或a=5,
    x−16+2>2x①a−x≤0②,
    解不等式①得:x<1,
    解不等式②得:x≥a,
    ∵不等式组有解,
    ∴a<1,
    ∴a=−1或a=−2,
    ∴和为−1+(−2)=−3.
    故选:D.
    根据不等式组有解,求出a的取值范围,再根据4(2−x)+x=ax的解为正整数,求出符合条件的a值,相加即可.
    本题考查了一元一次方程的解,解一元一次不等式组,根据条件得出a的取值范围是解题关键.

    9.【答案】B 
    【解析】解:∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°,
    ∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°,
    ∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°,
    ∵五边形OAGFE内角和=(5−2)×180°=540°,
    ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,
    ∴∠BOD=540°−505°=35°,
    故选:B.
    由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和,由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和,则可求得∠BOD.
    本题主要考查多边形的内角和,利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键.

    10.【答案】A 
    【解析】解:如图,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F.此时,△PEF的周长最小.
    连接OC,OD,PE,PF.

    ∵点P与点C关于OA对称,
    ∴OA垂直平分PC,
    ∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,
    同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP.
    ∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α,OC=OD=OP=5,
    ∴∠COD=2α.
    又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,
    ∴OC=OD=CD=5,
    ∴△COD是等边三角形,
    ∴2α=60°,
    ∴α=30°.
    故选:A.
    设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点E、F在CD上时,△PEF的周长为PE+EF+FP=CD,此时周长最小,根据CD=5可求出α的度数.
    此题主要考查了最短路径问题,本题找到点E和F的位置是解题的关键.要使△PEF的周长最小,通常是把三边的和转化为一条线段,运用三角形三边关系解决.

    11.【答案】x<2 
    【解析】解:不等式3x+2<8
    移项得,3x<6,
    系数化1得,x<2,
    故答案为x<2.
    利用不等式的基本性质,将两边不等式同时减去2再除以3即可.
    本题考查了解简单不等式的能力,解不等式要依据不等式的基本性质,在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

    12.【答案】钝角 
    【解析】解:设∠A=x°,则∠B=3x°,∠C=5x°,
    依题意得:x+3x+5x=180,
    解得:x=20,
    ∴∠C=5x°=100°,100°>90°,
    ∴△ABC是钝角三角形.
    故答案为:钝角.
    设∠A=x°,则∠B=3x°,∠C=5x°,利用三角形内角和定理可求出x的值,进而可得出∠C的度数,由该值大于90°即可得出△ABC是钝角三角形.
    本题考查了三角形内角和定理,牢记三角形内角和是180°是解题的关键.

    13.【答案】6x−105 
    【解析】解:方程两边同时乘以10得:6x−5y=10,
    移项得:−5y=10−6x,
    系数化为1得:y=6x−105,
    故答案为:6x−105
    依次去分母,移项,系数化为1.即可得到答案.
    本题考查了解二元一次方程,正确掌握解二元一次方程的步骤是解题的关键.

    14.【答案】22 
    【解析】解:根据题意,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,
    ∴AD=CF=BE,BF=BC+CF,DE=AB=AC=DF=6cm;
    又∵BC=4cm,EC=1cm,
    ∴BE=BC−EC=3cm,
    ∴AD=CF=BE=3cm,BF=BC+CF=7cm,
    ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+6+7+6=22cm.
    故答案为22.
    根据平移的基本性质,得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+6+7+6,即可得出答案.
    本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.得到DE=AB=AC=DF=6cm,AD=CF=BE=3cm,BF=BC+CF=7cm是解题的关键.

    15.【答案】7 
    【解析】解:把x=−1,y=9;x=1,y=5代入等式得:a−b+c=9 ①a+b+c=5 ②,
    ①+②得:2(a+c)=14,
    则a+c=7,
    故答案为:7.
    把x与y的两对值代入等式中计算,即可求出a+c的值.
    此题考查了解三元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

    16.【答案】5 
    【解析】解:2x+3y=a①4x−3y=a−4②
    ①+②得6x=2a−4,
    x=a−23,
    把x=a−23代入①得y=a+49,
    ∵x+y=2,
    ∴a−23+a+49=2,
    解得a=5.
    故答案为:5.
    用加减消元法解方程,用a表示x、y,再根据x与y的和是2,列一元一次方程,解出即可.
    本题主要考查了二元一次方程组的解,掌握加减消元法解方程,用a表示x、y是解题关键.

    17.【答案】13 
    【解析】解:设这个多边形的边数是n,
    则(n−2)⋅180∘<2020∘(n−2)⋅180∘>2020∘−180∘,
    解得:122101 ∵n为整数,
    ∴n=13,
    即这个多边形的边数是13,
    故答案为:13.
    设这个多边形的边数是n,然后根据其外角应大于0°并且小于180°列得不等式组,解不等式确定其整数解即可.
    本题考查多边形的内角与外角,解一元一次不等式组,结合题意列得不等式组是解题的关键.

    18.【答案】67° 
    【解析】解:∵∠ABE:∠ABC=1:3,
    ∴∠ABE:∠CBE=1:2,
    设∠ABE=α,则∠CBE=2α,
    ∵∠CBE=∠D,
    ∴∠D=2α,
    在△DAC中,∠D+∠DAC+∠DCA=180°,
    又∵∠D=2α,∠DCA=∠DAC,
    ∴∠DCA=∠DAC=90°−α.
    ∵∠ACD+∠ACF=180°,∠ACB+∠ACF=180°,
    ∴∠ACD=∠ACB,
    ∵∠DCA=∠DAC,
    ∴∠DAC=∠ACB,
    ∴AD/​/BC,
    ∴∠DAB+∠ABC=180°.
    ∵∠DAB=∠DAC+∠CAB,∠DAC=90°−α,∠BAC=44°,
    又∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ABE=α,∠CBE=2α,
    ∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=134°−α,∠ABC=∠ABE+∠EBC=3α,
    ∵∠DAB+∠ABC=180°,
    ∴134°−α+3α=180°,
    解得:α=23°,
    ∵∠DAC=90°−α,
    ∴∠DAC=90°−23°=67°,
    故答案为:67°
    根据题意,设∠ABE=α,则∠CBE=2α,在△DAC中,∠DCA=∠DAC=90°−α,根据条件可证AD//BC,得∠DAB+∠ABC=180°,从而有134°−α+3α=180°,解得α=23°,最后由∠DAC=90°−α,求得∠DAC的值.
    本题考查了平行线的判定及性质,与相交线相关的角度计算,综合运用题设条件是解题的关键.

    19.【答案】解:由①得,x≥−1,
    由②得,x<4,
    故此不等式组的解集为:−1≤x<4.
    在数轴上表示为:

    ∴非负整数解为0,1,2,3. 
    【解析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可.
    本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

    20.【答案】解:(1)x−x−25=2x−53+1,
    15x−3(x−2)=5(2x−5)+15,
    15x−3x+6=10x−25+15,
    2x=−16,
    x=−8;
    (2)x+y=2①x2−2y=1②,
    ②×2得:x−4y=2③,
    ①−③得:5y=0,
    解得:y=0,
    把y=0代入①得:x+0=2,
    解得:x=2,
    故原方程组的解是:x=2y=0. 
    【解析】(1)利用解一元一次方程的方法进行求解即可;
    (2)利用加减消元法进行求解即可.
    本题主要考查解一元一次方程,解二元一次方程组,解答的关键是对相应的知识的掌握与运用.

    21.【答案】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
    (2)如图,△A2B2C2为所作;
    (3)如图,点P为所作.
     
    【解析】(1)利用网格特点和平移的性质画出A1、B1、C1即可;
    (2)利用网格特点和中心对称的性质画出A2、B2、C2即可;
    (3)先作出B点关于直线a的对称点,然后连接AB′交直线a于P点,则P点满足条件.
    本题考查了作图−旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.

    22.【答案】解:(1)设购买1台打印机需要x元,购买1台平板电脑需要y元,
    由题意得:y=3x+6002y+3x=8400,
    解得:x=800y=3000.
    答:购买1台打印机需要800元,购买1台平板电脑需要3000元.
    (2)设需要购买平板电脑m台,则购买打印机(100−m)台,
    由题意得:100−m≥2m3000m+800(100−m)≤168000,
    解得:m≤1003,
    ∵m为正整数,
    ∴m≤33.
    答:最多能购买平板电脑33台. 
    【解析】(1)设购买1台打印机需要x元,购买1台平板电脑需要y元,根据“购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元,购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元”,即可列出关于x、y的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;
    (2)设需要购买平板电脑m台,则购买打印机(100−m)台,根据“购买的总费用不超过168000元,且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解不等式即可得出结论.
    本题考查了二元一次方程组的应用已经一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组;(2)根据数量关系列出关于m的一元一次不等式组.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据数量关系列出方程(方程组或不等式组)是关键.

    23.【答案】(1)解:∵CD是AB边上的高,
    ∴∠CDA=90°,
    ∴∠A+∠ACD=90°,
    ∵∠A=∠DCB,
    ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠A=90°;

    (2)解:∠CFE=∠CEF,
    理由是:∵AE平分∠CAB,
    ∴∠CAE=∠BAE,
    ∵∠CDA=∠BCA=90°,∠DFA=180°−(∠CDA+∠BAE),∠CEA=180°−(∠BCA+∠CAE),
    ∴∠CEF=∠DFA,
    ∵∠DFA=∠CFE,
    ∴∠CFE=∠CEF. 
    【解析】(1)根据高定义求出∠CDA=90°,根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD=90°,再求出答案即可;
    (2)根据角平分线的定义得出∠CAE=∠BAE,根据三角形内角和定理求出∠CEF=∠DFA,根据对顶角相等求出即可.
    本题考查了角平分线的定义,高的定义,三角形的内角和定理等知识点,能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键.

    24.【答案】52°  142°或38°  26°  64°或116°  26° 
    【解析】解:(1)由题意知,∠DFE=∠C=26°,
    ∴∠ADF=∠DFE+∠C=26°+26°=52°,
    故答案为:52°;
    (2)当EF//AB(1)时(如图3),

    ∵∠F+∠EMF=90°,∠F=∠C,∠C+∠A=90°,
    ∴∠EMF=∠DMB=∠A=64°,
    ∴∠ADF=180°−∠A−∠B−∠DMB=360°−64°−90°−64°=142°,
    当EF//AB(2)时,
    ∵∠ANF=∠A=64°,∠F=∠C=26°,
    ∴∠ADF=∠ANF−∠F=64°−26°=38°,
    故答案为:142°或38°;
    当EF/​/AC时,
    ∠ADF=∠F=∠C=26°,
    故答案为:26°;
    (3)当FD//AB时,∠ADF=∠A=64°或∠ADF=180°−∠A=116°,
    故答案为:64°或116°;
    当FD/​/BC时,∠ADF=∠C=26°,
    故答案为:26°.
    (1)根据折叠的性质得出∠DFE=∠C=26°,再根据外角的性质得出∠ADF=∠DFE+∠C计算得出结论即可;
    (2)当EF/​/AB时,分情况求出∠ADF的度数,当EF/​/AC时,根据平行线的性质直接得出∠ADF的度数即可;
    (3)当FD//AB时,分情况求出∠ADF的度数,当FD/​/BC时,根据平行线的性质直接得出∠ADF的度数即可.
    本题主要考查三角形的综合题,熟练掌握折叠的性质和平行线的性质及三角形内角和是180°等知识是解题的关键.

    25.【答案】m=−2n=3 
    【解析】解:(1)设a3−1=x,b5+2=y,
    原方程组可变形为x+2y=42x+y=5,
    解得:x=2y=1,即a3−1=2b5+2=1,
    解得:a=9b=−5;
    (2)设5(m+3)=x,3(n−2)=y,
    原方程组可变形为:a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2,
    ∵关于x,y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=3,
    ∴5(m+3)=53(n−2)=3,
    解得:m=−2n=3,
    故答案为:m=−2n=3.
    (1)设a3−1=x,b5+2=y,可得出关于x、y的方程组,即可求出x、y的值,进而可求出a、b的值;
    (2)设5(m+3)=x,3(n−2)=y,根据已知方程组的解确定出m、n的值即可.
    本题考查解二元一次方程组,二元一次方程组的解,正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.

    26.【答案】15  105 
    【解析】解:(1)如图(1),记DE与AC的交点为点F,DE与BC的交点为点G,
    ∵AD/​/BC,
    ∴∠DAF=∠C=30°,
    ∵∠DAE=45°,
    ∴∠CAE=15°,即α=15°,
    如图(2),记AD与BC的交点为F,
    ∵AD⊥BC,
    ∴∠AFC=90°,
    ∴∠DAC=180°−∠AFC−∠C=180°−90°−30°=60°,
    ∴∠CAE=∠DAC+∠EAD=60°+45°=105°,即α=105°,
    故答案为:15,105.
    (2)拓展应用:当0°<α<45°,∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°,保持不变,理由如下:
    如图6,设BD分别交AC、AE于点M、N,
    在△AMN中,∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°,
    ∵∠ANM=∠E+∠BDE,∠AMN=∠C+∠DBC,
    ∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°,
    ∵∠C=30°,∠E=45°,
    ∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°.
    (1)根据AD//BC和AD⊥BC,再根据三角板的度数即可求出α的度数;
    (2)先设BD分别交AC、AE于点M、N,在△AMN中,∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°,再根据∠ANM=∠E+∠BDE,∠AMN=∠C+∠DBC,得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°,然后根据∠C=30°,∠E=45°,即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数.
    本题考查平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.

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