江西省萍乡市芦溪中学2023届高三第一次模拟数学（理）试题（含解析）

这是一份江西省萍乡市芦溪中学2023届高三第一次模拟数学（理）试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江西省萍乡市芦溪中学2023届高三第一次模拟数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若集合，则等于（    ）
A． B． C． D．
2．设复数，则（     ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知向量 ，均为单位向量，且，则 与夹角为（   ）
A． B． C． D．
4．在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（    ）

A．男生投篮水平比女生投篮水平高
B．女生投篮水平比男生投篮水平高
C．男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定
D．男女同学投篮命中数的极差相同
5．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（   ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
6．设函数，求（    ）
A．16 B．8 C．15 D．9
7．在《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.若某个鳖臑的三视图均为直角边长为2的等腰直角三角形（如图所示）.则该鳌臑的体积为（    ）

A． B． C． D．4
8．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（    ）
A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项
B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项
C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项
D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项
11．设，，若直线与线段（包括端点）有公共点，则的最小值为（   ）
A． B． C． D．1
12．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．已知点和在直线的同侧，则的取值范围是 ．
14．已知二项式，则展开式中的系数为 ；
15．已知函数在处取得最小值m，则 .
16．已知向量，，满足，，与所成的角为，则当时，的取值范围是 .

三、解答题
17．已知向量，设函数＋
（1）若，，求的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围．
18．如图,已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且是的中点.

(1)求证:;
(2)若是的中点,求证:
19．某平台为了解某地区不同年龄用户在该平台观看文娱新闻等的同时是否从平台上推荐的购物车购物的情况，在该地区随机抽取了200人进行调查，调查结果整理如下：
年龄段
20以下





70以上
购物人数
20
30
26
28
6
8
0
未曾购物人数
10
5
14
12
24
12
5
(1)从被抽取的年龄在的购物人群中，随机抽取3人进一步了解情况，求这3人年龄都在的概率；
(2)视频率为概率，用随机抽样的方法从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在的人数为，试问当取何值时，最大？
20．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.
21．设，且为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）设函数令，求；
（3）是否存在实数，使得不等式对任意的及任意锐角都成立?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程．
（2）若M是曲线C1上的一点，N是曲线C2上的一点，求|MN|的最小值．
23．已知，函数的最小值为3．
(1)求的值；
(2)求证：．

参考答案：
1．B
【解析】先解一元二次不等式，再求交集即可.
【详解】∵，∴，
所以
又且， 所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2．A
【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到、的值，从而可求．
【详解】，，，
故选：A
3．A
【分析】先对模平方得向量数量积，再根据向量夹角公式得结果.
【详解】设 夹角为 , 因为 ,两边平方有 ,
因为 ,所以,又 ,所以 ,
故选：A.
4．C
【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出，，，，然后进行比较即可求得结果.
【详解】由图可知，，
，
，
所以，，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，
故选：C.
5．A
【分析】分别求得抛物线和双曲线的右焦点坐标，列出方程，即可求解.
【详解】因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，
所以，解得.
故选：A.
6．D
【解析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果
【详解】；
，
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
7．B
【解析】根据三视图画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，放置在正方体中，结合体积公式，即可求解.
【详解】根据三视图画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，
其中垂直于等腰直角三角形所在的平面，将其放置于正方体中（如图所示），
可知该正方体的所有棱长为2，
所以.
故选：B.

【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
8．B
【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，再由恒成立，可得在处取得最大值，从而可求出的值，进而可求出其最小值.
【详解】


，
因为将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
因 为恒成立，
所以在处取得最大值，
所以，解得，
因为，所以当时，取得最小值.
故选：B.
9．C
【分析】采用假设向量共面，则根据共面向量定理可列出方程组，根据该方程组解的情况，判断选项,根据，判断C.
【详解】对于A，假设，，共面，
则存在实数使得，则，
此方程组无解，假设不成立，，，不共面；
对于B, 假设，，共面，
则存在实数使得，则，
此方程组无解，假设不成立，，，不共面；
对于C,因为，
故，，共面．
对于D, 假设，，共面，
则存在实数使得，则，
此方程组无解，假设不成立，，，不共面；
故选：C
10．A
【分析】依题意可得，根据反比例函数及指数函数的性质分析函数的单调性与值域，即可得到数列的单调性，即可判断.
【详解】解：函数，
令，由，解得，所以函数的定义域为，
因为且，所以，
则，则，所以函数无最大、最小值；
又在，上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在，上单调递减，且当时，
因为
对于数列，
则，，且时，
所以数列有最小项，有最大项.
故选：A
11．C
【分析】由题意得：点，在直线的两侧（或其中一点在直线上），那么把这两个点代入，乘积小于等于0，即可得出关于，的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，数形结合求出的最小值．
【详解】解：直线与线段有公共点，
点，在直线的两侧（或其中一点在直线上），
，
即或  
画出它们表示的平面区域，如图所示．

又表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点到直线的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
，
所以的最小值为；
故选：C．
12．A
【分析】化简方程，令，得到．构造函数，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，（），结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后求解即可．
【详解】由方程，可得.
令，则有，即.
令函数，则，
由，解得，，解得
所以在上单调递增，在上单调递减，且
作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，，，.
所以，解得或
若，则,解得，则
此时只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
若，则，可得，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
要使原方程有3个不等实数根，则
所以，，解得.
所以，
故.
故选：A

【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数研究方程的解，解答本题的关键是利用换元法设，将方程化为，根据题意得出方程一定有两个实根，（），设函数判断出函数的单调性，结合图象将,示为关于m的函数，求出函数的范围，属于难题.
13．或
【分析】根据条件列不等式，解不等式得结果.
【详解】若点和在直线的同侧，
则，即，
解得或，
故答案为：或
14．40
【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解的系数，得到答案.
【详解】由题意，二项式展开式中，
令，解得，所以，所以展开式中的系数为40.
故答案为：40.
15．
【分析】先求解出，然后根据的正负判断出的单调性，由此得到取最小值时的取值即为的值，取到的最小值即为的值，则可求.
【详解】因为，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取最小值，所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对于导函数的化简，通过对进行因式分解并结合三角函数的有界性能高效分析出的单调性和最值.
16．
【分析】利用向量的线性运算、向量夹角的意义及向量共线的充要条件，并画出图形，即可求出结果.
【详解】由题意画出图形：

设，，，
.
，与所成的角为，
，.
设，即，即,
即，所以点在所在的直线上，
即为点到直线上动点的距离，
所以无最大值，
由图可知：当时，取得最小值.
在中，.
故当时，的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量的线性运算、向量夹角的意义及向量共线的充要条件，考查数形结合的数学思想，将问题转化为点到直线上动点的距离是解决问题的关键，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示、倍角正余弦公式及辅助角公式可得，根据已知求出，再由，应用两角和余弦公式求解即可.
(2)利用正弦定理及三角形内角的性质可得，进而求的范围，由及正弦函数的性质求值域即可.
【详解】（1）依题意，，
由，则，又，即.
所以.
（2）由正弦定理得：，又，
所以，即，
又，故，从而，故，
故.
18．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】试题分析：
(1)利用垂直，构造等腰三角形，证明结论成立；
(2)通过构造平行四边形，证明∥，结合直线与平面平行的判定定理，证明得到直线与平面平行.
试题解析：
(1)设为的中点，则可得平面
且
所以.

(2)∥,为中点，
所以∥，∥，且=， =
所以为平行四边形，从而∥
平面，平面
故∥平面.
点睛：一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．
二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面．
三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据组合的知识，结合古典概型求解即可；
（2）由题知，进而根据二项分布的概率公式，解不等式组即可得答案.
【详解】（1）解：由题知，被抽取的年龄在的购物人数共有人，年龄在的购物人数有人，
所以，从被抽取的年龄在的购物人群中，随机抽取3人，这3人年龄都在的概率为
（2）解：由题知抽取的200人中，年龄在的人数共有，
所以，根据频率估计概率，该地区市民中，年龄在的之间的占比，
所以，从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在的人数为满足，
所以，
由当时，取得最大值，
则，即，
所以，即，解得，
因为，
所以，当时，取得最大值.
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解；
（2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在时验证即可.
【详解】（1）解：由题意，椭圆的下顶点为，故.
由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，
解得：.
故椭圆的标准方程为：.
（2）设点坐标为.
当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：
.
设，则.
，
，
，

为定值，即与无关，则，此时.
经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.
21．（1）；（2）；（3）存在，且．
【分析】（1）由求得，再检验满足题意即可；
（2）利用奇函数的对称性可得，从而易得．
（3）确定函数为增函数，假设存在，利用奇偶性和单调性把不等式中的函数符号去掉，然后利用基本不等式把不等式中的消去，最后用分离参数法得，用换元法求得的取值范围后可得的范围．
【详解】（1）为奇函数，则，，
时，，，为奇函数．
∴；
（2）∵，又是奇函数，
∴，
∴，
又，
，
∴．
（3）由（1）是增函数，又是奇函数，
假设存在实数，使得不等式对任意的及任意锐角都成立，
不等式化为
，
即，
，
，
∴只要对任意，恒成立即可．
即只要对任意恒成立即可．
，
令，则，由得，
，
∴，
恒成立，则．∴的取值范围是．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查数列的倒序相加求和法，考查不等式恒成立问题，基本不等式的应用，考查三角函数的性质．对学生的转化与化归能力、运算求解能力要求较高，属于难题．
22．（1）C1：，C2：x+y-6=0；（2）
【分析】（1）利用平方和为1消去参数θ得到曲线C1的直角坐标方程，利用y=ρsinθ,x=ρcosθ将极坐标方程转为直角坐标方程．
（2）设点M（4cosθ，3sinθ），利用点到直线的距离公式和正弦函数的性质可求得最值．
【详解】（1）由题意得，cosθ=①，②
①②式平方相加得：．
所以曲线C1的直角坐标方程；
曲线线C2的极坐标方程为，
即ρsinθ+ρcosθ-6=0，
所以曲线C2的直角坐标方程为x+y-6=0．
（2）设点M（4cosθ，3sinθ），C2：x+y-6=0．
由点到直线的距离公式得=，
当sin（θ+α）=1时，．
所以|MN|的最小值是．
【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，正弦函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
23．(1)2
(2)证明见解析

【分析】（1）利用绝对值不等式即可求出；
（2）利用乘“1”法求出，则，则，移项即可.
【详解】（1）因为,
当且仅当时,等号成立,
又,所以.
（2）由（1）知,又,
所以,
当且仅当，联立，即时等号成立,
所以,
则
即