2023年辽宁省抚顺市望花区中考数学质检试卷（四）（含解析）

这是一份2023年辽宁省抚顺市望花区中考数学质检试卷（四）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省抚顺市望花区中考数学质检试卷（四）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的倒数是(    )
A. −2 B. −12 C. 12 D. 2
2. 下列运算正确的是(    )
A. (2a2)2=2a4 B. 6a8÷3a2=2a4 C. 2a2⋅a=2a3 D. 3a2−2a2=1
3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 下列问题中，最适合采用全面调查方式的是(    )
A. 调置一批灯泡的使用寿命
B. 调查2023年春季抚顺市空气质量情况
C. 调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
D. 调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况
6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：

甲
乙
丙
丁
平均数(环)
9.5
9.5
9.5
9.5
方差
8.5
7.3
8.8
7.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为(    )



A. ∠α+∠β=180°
B. ∠α+∠β=225°
C. ∠α+∠β=270°
D. ∠α=∠β
8. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交CD于点N，再分别以点M，点N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线CF交BA的延长线于点E，则AE的长是(    )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 12
9. 如图，在△AOB中，AO=AB，点B在x轴上，点C，点D分别为OA、OB的中点，连接CD，点E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，若△ABE的面积为4，则k的值为(    )


A. −4 B. −8 C. −6 D. 12
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−3，x2=1；③当x<1时，y<0；④3a+c=0；其中正确的命题是(    )
A. ②③
B. ①②
C. ①②③
D. ①②④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 据报道，某节日期间某市地铁二号线载客量达到17340000人次，再创历史新高．将数据17340000用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：2x2−12x+18=          ．
13. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球______个．
14. 某市今年4月20日到25日的每一天最高气温变化如折线图所示，则这组数据的众数是______ °C．

15. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别是A(−2,0)，B(0,3)，C(3,0)，点A经过平移后对应点为D(3,−3)，将△ABC作同样的平移得到△DEF，点B的对应点为点E，则点E的坐标为______ ．
16. 若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE= ______ 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．

18. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题12.0分)
先化简，再求值：(x−1−3x+1)÷x−2x2+x，其中x= 3−2．
20. (本小题12.0分)
某中学为了提高学生的综合素质，组建了以下活动小组：A、航模；B、乐器；C、摄影；D、舞蹈.要求每名学生必须参加，并且只能选择其中一个小组.为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为36°．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______ 人；
(2)请你将图2中的条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1000名学生，请你估计这1000名学生中有多少人参加了摄影活动小组；
(4)在航模活动小组中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级大赛，请你用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
21. (本小题12.0分)
“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔(单位：盒)与画板(单位：个)两种写生工具数量若于.已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
(1)请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
(2)根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共为30，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
22. (本小题10.0分)
小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1)，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上.洗手盆及水龙头示意图如图2，其相关数据AM=10cm，MD=6cm，DE=22cm，BD//CE，∠ACE=60°，请求出EC的长.(结果精确到1cm，参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34， 3≈1.73)

23. (本小题12.0分)
2022年12月，随着神舟十四号载人飞船成功返回地球，航天模型、航天玩具备受青少年的喜爱.某公司在百货大楼销售神舟飞船纪念章，已知神舟飞船纪念章的成本价为每枚8元，销售单价不低于成本价且不高于18元.经销售发现，日销售量y(枚)与销售单价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
销售单价x(元)
…
9
10
11
…
日销售量y(枚)
…
2100
2000
1900
…
(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大？最大利润为多少元？
24. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=18，sinA=13，求BE的长．

25. (本小题12.0分)
如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D(点B′、E′分别与点B、E对应)，连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG=FG，DC= 3，求AB′的长．


26. (本小题14.0分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1,0)，点B(3,0)，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交x轴于点N，交直线BC于点M．

(1)请直接写出抛物线y=ax2+bx+3和直线BC的解析式；
(2)如图2，连接PC、PB，当△PCB的面积等于3时，请求出点P的坐标；
(3)如图3，连接AC，过点P作PD//AC交y轴于点D，连接DN，在点P运动过程中，当CM=DN时，请求点出P的坐标．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：因为−2×(−12)=1．
所以−2的倒数是−12，
故选：B．
根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数互为倒数．

2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握各运算法则是解题的关键．根据积的乘方法则判断A；根据单项式除以单项式的法则判断B；根据单项式乘以单项式的法则判断C；根据合并同类项的法则判断D．
【解答】
解：A.(2a2)2=4a4，错误，故本选项不符合题意；
B.6a8÷3a2=2a6，错误，故本选项不符合题意；
C.2a2⋅a=2a3，正确，故本选项符合题意；
D.3a2−2a2=a2，错误，故本选项不符合题意；
故选C．  
3.【答案】D 
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4.【答案】C 
【解析】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形．
故选：C．
根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．

5.【答案】C 
【解析】解：A、调置一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查2023年春季抚顺市空气质量情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查一架“歼20”飞机各零部件的质量，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D、调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：C．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．

6.【答案】B 
【解析】解：∵四人的平均数相等，而乙的方差最小，
∴选择乙参加比赛，
故选：B．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质，对顶角相等，正确的识别图形是解题的关键．
根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解答】
解：如图，在四边形ABCD中，且∠1=∠α，∠2=∠β，

∵∠A+∠1+∠C+∠2=360°，
∴∠α+∠β=360°−90°−45°=225°．
故选：B．
  
8.【答案】A 
【解析】解：由作法得CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠E=∠DCE，
∴∠E=∠BCE，
∴BE=BC=3，
而BE=BA+AE=2+AE，
即2+AE=3，
∴AE=1．
故选：A．
先利用基本作图得到CE平分∠BCD，则∠BCE=∠DCE，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠E=∠DCE，则∠E=∠BCE，所以BE=BC=3，从而可求出AE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．

9.【答案】B 
【解析】解：如图，过点A作AH⊥x轴交于点H，
由题可知：点C，点D分别为OA、OB的中点，
∴CD是△ABO的中位线，
点E在线段CD上，
∴S△AOB=2S△ABE=8，
∵AO=AB，
∴△AOB是等腰三角形，AH⊥x轴，
∴AH是△AOB的中线，
S△AOH=12S△AOB=4，
设A(x,y)，
S△AOH=12|x|×|y|=4，
根据图象，x<0，y>0，
∴x⋅y=−8，
点A在反比例函数上，
∴k=−8．
故选：B．
过点A作AH⊥x轴交于点H，根据三角形中位线的性质求出S△AOB的值，根据等腰三角形的性质求出S△AHO的值，利用反比例函数中k的几何意义，求出k的值即可．
本题以反比例函数为背景考查了反比例中k值得几何意义，考查学生对反比例函数和三角形性质的综合运用．本题利用三角形的性质求出点A坐标中横纵坐标的乘积是解决问题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
而抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两根分别为−3和1，所以②正确；
当−3 ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
∴a+b+c=0，
∵b=2a，
∴a+b+c=3a+c=0，所以④正确；
故选：D．
利用x=1时，y=0可对①进行判断；利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；利用抛物线在x轴下方对应的自变量的范围可对③进行判断；进而可判断④．
本题考查了命题与定理及二次函数图象和系数的关系，写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

11.【答案】1.734×107 
【解析】解：17340000=1.734×107，
故答案为：1.734×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12.【答案】2(x−3)2 
【解析】解：2x2−12x+18，
=2(x2−6x+9)，
=2(x−3)2．
故答案为：2(x−3)2．
先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

13.【答案】32 
【解析】解：设盒子里有白球x个，
根据黑球个数黑白球总数=摸到黑球的次数摸球总次数得：
8x+8=80400
解得：x=32．
经检验得x=32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．

14.【答案】15 
【解析】解：这组数据分别为：14°C，15°C，15°C，16°C，18°C，19°C，
15出现的次数最多，故众数是15．
故答案为：15．
根据众数的定义解答即可．
本题考查了众数，解答本题的关键是掌握众数的定义．

15.【答案】(5,0) 
【解析】解：∵点A(−2,0)经过平移后对应点为D(3,−3)，
∴横坐标加5，可得A点向右平移了5个单位，纵坐标减3，可得A点向下平移了3个单位，
由此得△ABC的平移的过程是：向右平移5个单位，再向下平移3个单位，
所以点B的对应点E的坐标为(0+5,3−3)，即(5,0)．
故答案为：(5,0)．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

16.【答案】k≥−1且k≠0 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个实数根，
∴k≠0△=(−2)2+4k≥0，
解得k≥−1且k≠0．
故答案为：k≥−1且k≠0．
先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．

17.【答案】78或43 
【解析】解：设BE=x，则EC=4−x，
由翻折得：EC′=EC=4−x，当AE=EC′时，AE=4−x，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：32+x2=(4−x)2，
解得：x=78，
当AE=AC′时，如图，作AH⊥EC′
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=∠AEC′+∠FEC′=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，
∴∠FEC′=∠FEC，
∴∠AEB=∠AEH，
在△ABE和△AHE中，∠B=∠AHE∠AEB=∠AEHAE=AE,
∴△ABE≌△AHE(AAS)，
∴BE=HE=x，
∵AE=AC′时，作AH⊥EC′，
∴EC′=2EH，
即4−x=2x，
解得x=43，
综上所述：BE=78或43．
故答案为：78或43．
设BE=x，则EC=4−x，由翻折得：EC′=EC=4−x.当AE=EC′时，由勾股定理得：32+x2=(4−x)2；当AE=AC’时，作AH⊥EC’，由∠AEF=90°，EF平分∠CEC′可证得∠AEB=∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE=HE=x，由三线合一得EC′=2EH，即4−x=2x，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当AE=AC′时如何列方程，有一定难度．

18.【答案】2 7−2 
【解析】解：过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示：

在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，AB//CD，
∴∠HDM=∠A=60°，
∴∠HMD=30°，
∵点M是AD边的中点，
∴DM=2，
∴DH=1，
根据勾股定理，得HM= 3，
∵CD=4
∴CH=5，
根据勾股定理，得CM=2 7，
∵MN=2，
当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值，
CN′=CM−MN=2 7−2，
∴CN的最小值为2 7−2，
故答案为：2 7−2．
过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出CM的长，然后当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值，进一步求解即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，线段最小问题等，本题综合性较强，难度较大．

19.【答案】解：原式=x2−1−3x+1·x(x+1)x−2
=(x+2)(x−2)x+1·x(x+1)x−2
=x(x+2)．
把x= 3−2代入，原式=( 3−2)( 3−2+2)=3−2 3． 
【解析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

20.【答案】200 
【解析】解：(1)∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷36360=200(人)；
故答案为：200；
(2)C项目对应人数为：200−20−80−40=60(人)；
补充如图：

(3)1000×60200=300(人)，
答：估计这1000名学生中有300人参加了摄影活动小组；
(4)画树状图得：

∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=212=16．
(1)由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数；
(2)首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
(3)该校1000学生数×参加了摄影活动小组的人数所占的百分比即可得到结论；
(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要(x−2)元，
根据题意，得340x=300x−2，
解得x=17．
经检验：x=17是原方程的解，
则x−2=15．
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
(2)设购买画板a个，则购买画笔(30−a)个，
根据题意有17(30−a)+15a≤475，
解得：a≥17.5，
∵根据题意可知a为整数，
∴a的最小值为18．
答：至少购买画板18个． 
【解析】(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要(x−2)元，根据“用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同”列出方程并解答；
(2)设最少购买画板a个，则购买画笔(30−a)个，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集，结合其实际意义即得出答案．
本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．

22.【答案】解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示，
则四边形MEGN为矩形，
∴EG=MN，NG=ME=MD+DE=6+22=28(cm)，
在Rt△AMN中，sin∠AMN=ANAM，cos∠AMN=MNAM，
∴AN=AM×sin37°≈10×35=6(cm)，MN=AM×cos37°≈10×45=8(cm)，
∴EG=8cm，AG=AN+NG=6+28=34(cm)，
∵∠ACG=60°，
∴CG=AGtan∠ACG=34 3=34 33≈19.61(cm)，
∴EC=EG+CG=8+19.61≈28(cm)，
答：EC的长约为28cm． 
【解析】过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，根据正弦的定义求出AN，根据余弦的定义求出MN，再根据正切的定义求出CG，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把x=9，y=2100和x=10，y=2000代入上式得，
9k+b=210010k+b=2000，
解得，k=−100b=3000，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=−100x+3000．
(2)设日销售利润为w元，
则w=(x−8)(−100x+3000)
=−100x2+3800x−24000
=−100(x−19)2+12100，
∵−100<0，8≤x≤18，
∴当x=18时，w最大值=−100(18−19)2+12100=12000．
答：当销售单价定为18元时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大，最大利润为12000元． 
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，用待定系数法求解即可．
(2)根据销售利润=销售量×(售价−进价)，列出w关于x的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x=−b2a时取得．

24.【答案】解：(1)DE为⊙O的切线，理由为：
证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=CB，
∴点D为AC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD//BC，
∴∠ODE=∠DFC，
∵DE⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，
∴DE为⊙O的切线；
(2)∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠A+∠OBD=90°，∠BDE+∠ODB=90°，
∴∠A=∠BDE，即sinA=sin∠BDE=13，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，sinA=13，AB=18，
∴BD=ABsinA=18×13=6，
在Rt△BDF中，sin∠BDE=13，BD=6，
∴BF=BDsin∠BDE=6×13=2，
∵BF//OD，
∴∠FBE=∠DOE，∠EFB=∠EDO，
∴△BEF∽△OED，
∴BEOE=BFOD，即BEBE+OB=BFOD，
∴BEBE+9=29，
解得：BE=187． 
【解析】(1)DE为⊙O的切线，理由为：连接BD，OD，由直径所对的圆周角为直角及垂直定义得到BD⊥AC，再由AB=CB，利用三线合一得到D为AC中点，根据O为AB中点，得到OD为中位线，利用中位线的性质得到OD//BC，由DE与BC垂直得到DE与OD垂直，即可得证；
(2)由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用等角的余角相等得到∠BDE=∠A，即sin∠BDE=sinA，在Rt△ABD中，利用三角函数定义求出BD的长，在Rt△BDF中，利用锐角三角函数定义求出BF的长，由BF与OD平行，得到△BEF∽△OED，由相似得比例求出BE的长即可．
此题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

25.【答案】解：(1)CE⊥AB
(2)在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系一致，
理由如下：如图2，延长CE′交AB′于H，

由旋转可得：CD=DE′，B′D=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CDE′=∠ADB′，
又∵CDDE′=ADDB′=1，
∴△CDE′∽△ADB′，
∴∠DAB′=∠DCE′，
∵∠DCE′+∠DGC=90°，
∴∠DAB′+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE′⊥AB′；
(3)如图3，过点D作DH⊥AB′于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB′=30°，B′D=BD=AD，
∴∠ADB′=120°，∠DAB′=∠AB′D=30°，
∵DH⊥AB′，AD=B′D，
∴AD=2DH，AH= 3DH=B′H，
∴AB′= 3AD，
由(2)可知：△CDE′∽△ADB′，
∴∠DCE′=∠DAB′=30°，
∵AD⊥BC，CD= 3，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
∵∠DAB′=30°，DH⊥AB′，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴AB′= 3AD=5 3． 
【解析】(1)CE⊥AB，证明如下：
如图1，延长CE交AB于H，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
(2)通过证明△ADB′∽△CDE′，可得∠DAB′=∠DCE′，由余角的性质可得结论；
(3)由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB′= 3AD，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．

26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴y=−x2+2x+3；
在y=−x2+2x+3中，令x=0得y=3，
∴C(0,3)；
设直线BC的解析式为y=px+q，将B(3,0)，C(0,3)代入得：
3p+q=0q=3，
解得p=−1q=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3；
(2)设P(m,−m2+2m+3)，则M(m,−m+3)，
∴PM=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m，
∵△PCB的面积等于3，S△PCB=12PM⋅|xB−xC|，
∴12(−m2+3m)×3=3，
解得m=1或m=2，
∴P(1,4)或(2,3)；
(3)设P(t,−t2+2t+3)，则M(t,−t+3)，N(t,0)，
由A(−1,0)，C(0,3)得直线AC解析式为y=3x+3，
∵PD//AC，
∴设直线PD解析式为y=3x+b′，
将P(t,−t2+2t+3)代入y=3x+b′得：
−t2+2t+3=3t+b′，
∴b′=−t2−t+3，
∴直线PD解析式为y=3x−t2−t+3，
在y=3x−t2−t+3中，令x=0得y=−t2−t+3，
∴D(0,−t2−t+3)，
∵CM=DN，
∴t2+(−t+3−3)2=t2+(t2+t−3)2，
解得t=−3或t=1或t= 3或t=− 3，
∵点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，
∴t=1或t= 3，
∴点P的坐标为(1,4)或( 3,2 3). 
【解析】(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得y=−x2+2x+3；求出C(0,3)，再用待定系数法得直线BC的解析式为y=−x+3；
(2)设P(m,−m2+2m+3)，可得PM=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m，由△PCB的面积等于3，有12(−m2+3m)×3=3，即可解得P(1,4)或(2,3)；
(3)设P(t,−t2+2t+3)，由A(−1,0)，C(0,3)得直线AC解析式为y=3x+3，设直线PD解析式为y=3x+b′，将P(t,−t2+2t+3)代入得直线PD解析式为y=3x−t2−t+3，D(0,−t2−t+3)，根据CM=DN，有t2+(−t+3−3)2=t2+(t2+t−3)2，解方程并检验即可得点P的坐标为(1,4)或( 3,2 3).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，两点间的距离公式的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．