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2022-2023学年湖北省黄冈市红安县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市红安县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市红安县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，点(2,−4)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列四个汽车标志图案，可看成由图案自身的一部分平移得到的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 40° D. 50°
4. 下列命题中是假命题的是( )
A. 两点的所有连线中，线段最短
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 等式两边加同一个数，结果仍相等
D. 不等式两边加同一个数，不等号的方向不变
5. 下列8个数中无理数有( )
3.141，−227，3−27，− 2，π，0，4.217，0.2020020002…
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6. 若关于x，y的二元一次方程组x+y=a+1x+2y=8的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
7. 若不等式组x−2<3x−6x
8. 如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点(1,0)，然后按照图中箭头所示方向移动，即(0,0)→(1,0)→(1,1)→)(0，1)→(0，2)→……，且每秒移动一个单位，那么第2018秒时，点所在位置的坐标是( )
A. (6,44) B. (38,44) C. (44,38) D. (44,6)
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 16的算术平方根是______ ．
10. 如果点P(m,1−2m)在第四象限，那么m的取值范围是 ．
11. 若关于x，y的方程组3x+4y=8mx+(2m−1)y=7的解也是二元一次方程2x−3y=11的解，则m的值为______
12. 如图，将一张长方形纸片ABCD(它的每一个角等于90°)沿EF折叠，使点D落在AB边上的点M处，折叠后点C的对应点为点N.若∠AME=50°，则∠EFB= ______ °.
13. 将一副直角三角板如图放置，则下列结论：
①∠1=∠3；②如果∠2=45°，则有BC//AE；③如果∠2=30°，则有DE//AB；
④如果∠2=45°，必有∠4=∠E.其中正确的有______(填序号)．
14. 如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设地面，请观察图形回答问题：第n个图形中需用黑色瓷砖______ 块．(用含n的代数式表示)
15. 若关于x的不等式组x≤ax−12+1>x+13至少有4个整数解，则a满足的条件是______ ．
16. 如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或y轴，且CD边的中点坐标为(2,0)，AD边的中点坐标为(0,2).点M，N分别从点(2,0)同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动．点M按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，点N按顺时针方向以3个单位/秒的速度匀速运动，则M，N两点出发后的第2021次相遇地点的坐标是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：(−1)2020+ 9− (−2)2+ 0+3−8−|1− 2|；
(2)解不等式组5x−1<3(x+1)①x−12≥x3−1②，并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题7.0分)
已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB//CD；
(2)求∠C的度数．
19. (本小题7.0分)
某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t(单位：min)，然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)本次调查活动采取了______调查方式，样本容量是______．
(2)图2中C的圆心角度数为______度，补全图1的频数分布直方图．
(3)该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形网格的格点上，坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出C1的坐标是______ ；
(2)请画出将△A1B1C1向下平移5个单位长度后得到的图形△A2B2C2，直接写出A2的坐标是______ ．
21. (本小题10.0分)
某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆.若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
(1)建立一个中型图书馆和一个小型图书馆各需要多少万元？
(2)现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元，请问有几种方案？哪种方案所需费用最少？
22. (本小题11.0分)
已知直线AB//CD，点P为直线AB、CD所确定的平面内的一点．
(1)如图1，直接写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系；
(2)如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，点E在射线BA上，过点E作EF//PC，作∠PEG=∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC=30°，∠PAB=140°，求∠PEH的度数．
23. (本小题10.0分)
如图，四条街围成边长为1000m的正方形ABCD，显然家住在东西方向DA街道的点P处，他的学校在东西方向CB街道的点Q处.已知显然爷爷骑电动车在东西方向的街道的速度是400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min.已知爷爷骑电动车沿P−A−B−Q送显然上学花了5min，沿Q−B−C−D−P(在B处遇堵车立即掉头)回家花了6min．
(1)爷爷骑电动车跑一圈需要多少min？
(2)求PA，QB的长度；
(3)如果爷爷和显然同时出发，爷爷骑电动车沿P−A−B−Q骑行，显然沿Q−B步行，且在BQ上互相看见，求显然步行的速度的取值范围．
24. (本小题11.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,a)，B(b,0)，C(b,c)三点，其
中a、b、c满足关系式(a−2)2+|b−3|=0， c−4=0．
(1)a= ______ ；b= ______ ；c= ______ ．
(2)如果在第二象限内有一点P(n,12)，请用含n的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在(2)的条件下，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，求出此时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴该点在第四象限．
故选：D．
根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
考查平面直角坐标系的知识；用到的知识点为：横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用平移设计图案，解题的关键是理解平移变换的性质，属于中考常考题型．
根据平移变换的性质判定即可．
【解答】
解：根据平移变换的性质可知，选项C可以基本图案平移得到．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．由将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由平角的定义，即可求得∠2的度数．
【解答】
解：如图，
∵a//b，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=50°．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：A、两点的所有连线中，线段最短，是真命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；
C、等式两边加同一个数，结果仍相等，是真命题；
D、不等式两边加同一个数，不等号的方向不变，是真命题；
故选：B．
根据线段的性质、平行线的性质、等式的性质和不等式的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5.【答案】B
【解析】解：在3.141，−227，3−27，− 2，π，0，4.217，0.2020020002…中，无理数有− 2，π，0.2020020002…，
故选：B．
根据无理数的概念得出结论即可．
本题主要考查无理数的概念，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：解关于x，y的二元一次方程组x+y=a+1x+2y=8得，x=2a−6y=7−a，
∵关于x，y的二元一次方程组x+y=a+1x+2y=8的解为正数，
∴2a−6>07−a>0，
∴3
故选：B．
解方程组求出x，y，根据方程组的解为正数，求出整数a的值．
本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，并结合题意得出整数a的值．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，关键是能根据已知得出关于m的不等式．求出两个不等式的解集，根据已知得出m≤2，即可得出选项．
【解答】
解：x−2<3x−6 ①x
不等式②的解集是x
故选D．
8.【答案】D
【解析】[分析]
根据题目中所给点的运动的特点，①从坐标原点出发，经过1秒到达x轴上的点1,0，接下来离开x轴，向上跳动，②从原点出发经过9秒到达x轴上的点3,0，接下来再次离开x轴，向上跳动，③从原点出发经过25秒后再次从x轴上的5,0点离开x轴，向上跳动，依次类推，即可得出点的运动规律，从而得出答案．
本题考查平面直角坐标系内点的坐标的变化规律，根据点的运动特点，找出规律是解决本题的关键．
[详解]
解：
①点从坐标原点出发，经过1秒到达x轴上的点1,0，接下来离开x轴，向上跳动，经过一系列跳动，
②点从坐标原点出发，经过9=32秒后从x轴上的3,0点离开，向上跳动，经过一系列跳动，
③点从坐标原点出发，经过25=52秒后从x轴上的5,0点离开，向上跳动，
......，以此类推
∵2018=452−7，
∴该点从45,0后退7秒，此时坐标为44,6，
所以第2018秒时点所在位置的坐标是44,6．
故选D．
9.【答案】2
【解析】解： 16=4，4的算术平方根是2，
故答案为：2．
根据算术平方根，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
10.【答案】m>12
【解析】解：∵P(m,1−2m)在第四象限，
∴m>0，1−2m<0．
解得m>12．
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号根据条件可以转化为不等式或不等式组的问题．
11.【答案】3
【解析】解：联立得：3x+4y=8 ①2x−3y=11 ②，
①×3+②×4得：17x=68，
解得：x=4，
把x=4代入①得：y=−1，
把x=4，y=−1代入得：4m−2m+1=7，
解得：m=3，
故答案为：3
联立不含m的方程求出x与y的值，进而求出m的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】70
【解析】解：∵长方形纸片ABCD(它的每一个角等于90°)沿EF折叠，
∴∠DEF=∠MEF，∠A=90°，∠EFB=∠DEF，
∵∠AME=50°，
∴∠AEM=90°−∠AME=90°−50°=40°，
∴∠DEM=180°−∠AEM=180°−40°=140°，
∴∠DEF=∠MEF=12∠DEM=12×140°=70°，
∴∠EFB=70°，
故答案为：70．
根据折叠性质得出∠DEM=2∠DEF，根据∠AME的度数求出∠AEM的度数，易得∠DEF，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质和翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．
13.【答案】①②④
【解析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴①正确，
若∠2=45°，则∠1=∠3=45°，
∴∠EAB=135°，
∵∠EAB+∠B=135°+45°=180°，
∴BC//AE，
∴②正确，
若∠2=30°，则∠1=60°，
∵∠D=30°≠∠1，
∴DE与AB不平行，
∴③错误，
若∠2=45°，则∠3=45°，
∵∠E=60°，
∴∠4=180°−45°−(180°−60°−45°)=60°，
∴∠4=∠E，
∴④正确，
故答案为①②④．
直角三角板的内角是特殊角，可得出∠B，∠D，∠C，∠E的值，利用角的加减运算法则及三角形的内角和为180°即可判断．
本题主要考查角的加减计算和平行线的判定，关键是要牢记平行线的三个判定定理，即同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
14.【答案】4n+4
【解析】解：∵第1个图形中需用黑色瓷砖32−12=8块，
第2个图形中需用黑色瓷砖42−22=12块，
第3个图形中需用黑色瓷砖52−32=16块，
…
∴第n个图形中需用黑色瓷砖(n+2)2−n2=4n+4块．
故答案为：4n+4．
由题意可知：第n个图形的瓷砖的总数有(n+2)2个，白瓷砖的数量为n2个，用总数减去白瓷砖的数量即为黑瓷砖的数量．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
15.【答案】3≤a<4
【解析】解：不等式组整理得x≤ax>−1，
关于x的不等式组x≤ax−12+1>x+13至少有4个整数解，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，
所以3≤a<4，
故答案为：3≤a<4．
先求出不等式组中每个不等式的解集，求其整数解，进而求得a的取值范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到．
16.【答案】(0,2)
【解析】解：由已知，正方形周长为16，
∵M、N速度分别为1单位/秒，3单位/秒，
则两个物体每次相遇时间间隔为161+3=4秒，
则两个物体相遇点依次为(0,2)、(−2,0)、(0,−2)，
∵2021=4×505…1，
∴第2021次两个物体相遇位置为(0,2)，
故答案为：(0,2)．
利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边边长为4，根据两个点的速度，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
17.【答案】解：(1)(−1)2020+ 9− (−2)2+ 0+3−8−|1− 2|
=1+3−2+0+(−2)−( 2−1)
=1+3−2−0−2− 2+1
=1− 2；
(2)5x−1<3(x+1)①x−12≥x3−1②，
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x≥−3，
∴原不等式组的解集为：−3≤x<2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE//GF，
∴∠2=∠A(两直线平行，同位角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠A(等量代换)
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)
(2)解：∵AB//CD，
∴∠D+∠CBD+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，
∴∠3=25°，
∵AB//CD，
∴∠C=∠3=25°．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
(1)求出AE//GF，求出∠2=∠A=∠1，根据平行线的判定推出即可；
(2)根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．
19.【答案】抽样 50 144
【解析】解：(1)本次调查活动采取了抽样调查方式，样本容量是4÷8%=50，
故答案为：抽样，50；
(2)∵C时间段的人数为50−(4+8+16+2)=20(人)，
∴图2中C的圆心角度数为360°×2050=144°，
补全条形图如下图所示：
故答案为：144；
(3)900×20+16+250×100%=684(名)
答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不小于50 min．
(1)根据抽样调查的概念求解可得，再由A时间段的人数及其所占百分比可得样本容量；
(2)用样本容量减去其它分组的人数求出C时间段的人数，再用360°乘以其人数占总人数的比例可得；
(3)用总人数乘以样本中平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数占总人数的比例即可得．
本题考查了频数分布直方图：根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和样本估计总体．
20.【答案】(−1,4) (−3,−4)
【解析】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求，C1的坐标是(−1,4)；
故答案为：(−1,4)；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求，A2的坐标是(−3,−4)．
故答案为：(−3,−4)．
(1)直接利用平移的性质得出对应点位置，即可得出答案；
(2)直接利用平移的性质得出对应点位置，即可得出答案．
此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：(1)设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，
依题意得：3x+5y=302x+3y=19，
解得：x=5y=3．
答：建立一个中型图书馆需要5万元，一个小型图书馆需要3万元．
(2)设建立m个中型图书馆，则建立(10−m)个小型图书馆，
依题意得：10−m≤m5m+3(10−m)≤45，
解得：5≤m≤152．
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种建立方案，
方案1：建立5个中型图书馆，5个小型图书馆，该方案所需费用为5×5+3×5=40(万元)；
方案2：建立6个中型图书馆，4个小型图书馆，该方案所需费用为5×6+3×4=42(万元)；
方案3：建立7个中型图书馆，3个小型图书馆，该方案所需费用为5×7+3×3=44(万元)．
∵40<42<44，
∴有3种建立方案，方案1所需费用最少．
【解析】(1)设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，根据“建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设建立m个中型图书馆，则建立(10−m)个小型图书馆，根据“小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各建立方案，利用总价=单价×数量可分别求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】解：(1)∠A+∠C+∠APC=360°．
如图1所示，过点P作PQ//AB，
∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；
(2)∠APC=∠A−∠C．
如图2，作PQ//AB，
∴∠A=∠APQ，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC=∠A−∠C；
(3)由(2)知，∠APC=∠PAB−∠PCD，
∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB//CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF//PC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=12∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=12∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG−∠GEH
=12∠FEG−12∠BEG
=12∠BEF
=55°．
【解析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
(1)首先过点P作PQ//AB，则易得AB//PQ//CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
(2)作PQ//AB，易得AB//PQ//CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；
(3)由(2)知，∠APC=∠PAB−∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=12∠FEG，∠GEH=12∠BEG，根据∠PEH=∠PEG−∠GEH可得答案．
23.【答案】解：(1)(1000+1000)÷400+(1000+1000)÷500=9min
答：爷爷骑电动车跑一圈需要9min；
(2)方法一：设PA=x，QB=y，
则x400+1000500+y400=5y400+1000400+1000500+1000−x400=6，
解得x=800y=400，
∴PA=800m，QB=400m；
方法二：∵骑行一圈需要9min，沿P−A−B−Q骑行需要5min，
∴沿Q−C−D−P骑行需要4min，
在Q−B−Q段骑行需要2min，
设PA=x，QB=y，
则x400+1000500+y400=5y+y400=2，
解得x=800y=400；
∴PA=800m，QB=400m；
(3)设显然步行的速度为V m/min，
则爷爷沿P−A−B−Q骑行要花800400+1000500+400400=5min，
∴5V≤400，
解得V≤100m/min
∴显然步行的速度的取值范围为0m/min
(2)设PA=x，QB=y，根据“爷爷骑电动车沿P−A−B−Q送显然上学花了5min，沿Q−B−C−D−P(在B处遇堵车立即掉头)回家花了6min”列方程组，解方程组即可得到结论；
(3)设显然步行的速度为V m/min，根据题意求得V≤100m/min，于是得到结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，正确的列出方程组是解题的关键．
24.【答案】2 3 4
【解析】解：(1)∵(a−2)2+|b−3|=0，
∴a−2=0，b−3=0，
∴a=2，b=3，
∵ c−4=0，
∴c=4，
故答案为：2，3，4；
(2)由(1)知，a=2，b=3，
∴A(0,2)，B(3,0)，
∴OA=2，OB=3，
∴S=S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=12×3×2+12×2×n=−n+3；
(3)由(1)知，a=2，b=3，c=4，
∴A(0,2)，B(3,0)，C(3,4)，
∴BC=4，
∴S△ABC=12×4×3=6，
∵四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，
∴S=6，
由(2)知，S=−n+3，
∴−n+3=6，
∴n=−3，
∴P(−3,12)．
(1)利用非负性建立方程即可得出结论；
(2)先求出A，B坐标，再利用三角形的面积之和即可得出结论；
(3)先求出BC，进而得出△ABC的面积，最后用四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等建立方程即可得出结论．
本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，解题时注意：当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2022-2023学年湖北省黄冈市红安县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，点(2,−4)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列四个汽车标志图案，可看成由图案自身的一部分平移得到的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 40° D. 50°
4. 下列命题中是假命题的是( )
A. 两点的所有连线中，线段最短
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 等式两边加同一个数，结果仍相等
D. 不等式两边加同一个数，不等号的方向不变
5. 下列8个数中无理数有( )
3.141，−227，3−27，− 2，π，0，4.217，0.2020020002…
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6. 若关于x，y的二元一次方程组x+y=a+1x+2y=8的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
7. 若不等式组x−2<3x−6x
8. 如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点(1,0)，然后按照图中箭头所示方向移动，即(0,0)→(1,0)→(1,1)→)(0，1)→(0，2)→……，且每秒移动一个单位，那么第2018秒时，点所在位置的坐标是( )
A. (6,44) B. (38,44) C. (44,38) D. (44,6)
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 16的算术平方根是______ ．
10. 如果点P(m,1−2m)在第四象限，那么m的取值范围是 ．
11. 若关于x，y的方程组3x+4y=8mx+(2m−1)y=7的解也是二元一次方程2x−3y=11的解，则m的值为______
12. 如图，将一张长方形纸片ABCD(它的每一个角等于90°)沿EF折叠，使点D落在AB边上的点M处，折叠后点C的对应点为点N.若∠AME=50°，则∠EFB= ______ °.
13. 将一副直角三角板如图放置，则下列结论：
①∠1=∠3；②如果∠2=45°，则有BC//AE；③如果∠2=30°，则有DE//AB；
④如果∠2=45°，必有∠4=∠E.其中正确的有______(填序号)．
14. 如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设地面，请观察图形回答问题：第n个图形中需用黑色瓷砖______ 块．(用含n的代数式表示)
15. 若关于x的不等式组x≤ax−12+1>x+13至少有4个整数解，则a满足的条件是______ ．
16. 如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或y轴，且CD边的中点坐标为(2,0)，AD边的中点坐标为(0,2).点M，N分别从点(2,0)同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动．点M按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，点N按顺时针方向以3个单位/秒的速度匀速运动，则M，N两点出发后的第2021次相遇地点的坐标是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：(−1)2020+ 9− (−2)2+ 0+3−8−|1− 2|；
(2)解不等式组5x−1<3(x+1)①x−12≥x3−1②，并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题7.0分)
已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB//CD；
(2)求∠C的度数．
19. (本小题7.0分)
某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t(单位：min)，然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)本次调查活动采取了______调查方式，样本容量是______．
(2)图2中C的圆心角度数为______度，补全图1的频数分布直方图．
(3)该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形网格的格点上，坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出C1的坐标是______ ；
(2)请画出将△A1B1C1向下平移5个单位长度后得到的图形△A2B2C2，直接写出A2的坐标是______ ．
21. (本小题10.0分)
某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆.若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
(1)建立一个中型图书馆和一个小型图书馆各需要多少万元？
(2)现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元，请问有几种方案？哪种方案所需费用最少？
22. (本小题11.0分)
已知直线AB//CD，点P为直线AB、CD所确定的平面内的一点．
(1)如图1，直接写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系；
(2)如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，点E在射线BA上，过点E作EF//PC，作∠PEG=∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC=30°，∠PAB=140°，求∠PEH的度数．
23. (本小题10.0分)
如图，四条街围成边长为1000m的正方形ABCD，显然家住在东西方向DA街道的点P处，他的学校在东西方向CB街道的点Q处.已知显然爷爷骑电动车在东西方向的街道的速度是400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min.已知爷爷骑电动车沿P−A−B−Q送显然上学花了5min，沿Q−B−C−D−P(在B处遇堵车立即掉头)回家花了6min．
(1)爷爷骑电动车跑一圈需要多少min？
(2)求PA，QB的长度；
(3)如果爷爷和显然同时出发，爷爷骑电动车沿P−A−B−Q骑行，显然沿Q−B步行，且在BQ上互相看见，求显然步行的速度的取值范围．
24. (本小题11.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,a)，B(b,0)，C(b,c)三点，其
中a、b、c满足关系式(a−2)2+|b−3|=0， c−4=0．
(1)a= ______ ；b= ______ ；c= ______ ．
(2)如果在第二象限内有一点P(n,12)，请用含n的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在(2)的条件下，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，求出此时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴该点在第四象限．
故选：D．
根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
考查平面直角坐标系的知识；用到的知识点为：横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用平移设计图案，解题的关键是理解平移变换的性质，属于中考常考题型．
根据平移变换的性质判定即可．
【解答】
解：根据平移变换的性质可知，选项C可以基本图案平移得到．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．由将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由平角的定义，即可求得∠2的度数．
【解答】
解：如图，
∵a//b，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=50°．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：A、两点的所有连线中，线段最短，是真命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；
C、等式两边加同一个数，结果仍相等，是真命题；
D、不等式两边加同一个数，不等号的方向不变，是真命题；
故选：B．
根据线段的性质、平行线的性质、等式的性质和不等式的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5.【答案】B
【解析】解：在3.141，−227，3−27，− 2，π，0，4.217，0.2020020002…中，无理数有− 2，π，0.2020020002…，
故选：B．
根据无理数的概念得出结论即可．
本题主要考查无理数的概念，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：解关于x，y的二元一次方程组x+y=a+1x+2y=8得，x=2a−6y=7−a，
∵关于x，y的二元一次方程组x+y=a+1x+2y=8的解为正数，
∴2a−6>07−a>0，
∴3
故选：B．
解方程组求出x，y，根据方程组的解为正数，求出整数a的值．
本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，并结合题意得出整数a的值．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，关键是能根据已知得出关于m的不等式．求出两个不等式的解集，根据已知得出m≤2，即可得出选项．
【解答】
解：x−2<3x−6 ①x
不等式②的解集是x
故选D．
8.【答案】D
【解析】[分析]
根据题目中所给点的运动的特点，①从坐标原点出发，经过1秒到达x轴上的点1,0，接下来离开x轴，向上跳动，②从原点出发经过9秒到达x轴上的点3,0，接下来再次离开x轴，向上跳动，③从原点出发经过25秒后再次从x轴上的5,0点离开x轴，向上跳动，依次类推，即可得出点的运动规律，从而得出答案．
本题考查平面直角坐标系内点的坐标的变化规律，根据点的运动特点，找出规律是解决本题的关键．
[详解]
解：
①点从坐标原点出发，经过1秒到达x轴上的点1,0，接下来离开x轴，向上跳动，经过一系列跳动，
②点从坐标原点出发，经过9=32秒后从x轴上的3,0点离开，向上跳动，经过一系列跳动，
③点从坐标原点出发，经过25=52秒后从x轴上的5,0点离开，向上跳动，
......，以此类推
∵2018=452−7，
∴该点从45,0后退7秒，此时坐标为44,6，
所以第2018秒时点所在位置的坐标是44,6．
故选D．
9.【答案】2
【解析】解： 16=4，4的算术平方根是2，
故答案为：2．
根据算术平方根，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
10.【答案】m>12
【解析】解：∵P(m,1−2m)在第四象限，
∴m>0，1−2m<0．
解得m>12．
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号根据条件可以转化为不等式或不等式组的问题．
11.【答案】3
【解析】解：联立得：3x+4y=8 ①2x−3y=11 ②，
①×3+②×4得：17x=68，
解得：x=4，
把x=4代入①得：y=−1，
把x=4，y=−1代入得：4m−2m+1=7，
解得：m=3，
故答案为：3
联立不含m的方程求出x与y的值，进而求出m的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】70
【解析】解：∵长方形纸片ABCD(它的每一个角等于90°)沿EF折叠，
∴∠DEF=∠MEF，∠A=90°，∠EFB=∠DEF，
∵∠AME=50°，
∴∠AEM=90°−∠AME=90°−50°=40°，
∴∠DEM=180°−∠AEM=180°−40°=140°，
∴∠DEF=∠MEF=12∠DEM=12×140°=70°，
∴∠EFB=70°，
故答案为：70．
根据折叠性质得出∠DEM=2∠DEF，根据∠AME的度数求出∠AEM的度数，易得∠DEF，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质和翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．
13.【答案】①②④
【解析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴①正确，
若∠2=45°，则∠1=∠3=45°，
∴∠EAB=135°，
∵∠EAB+∠B=135°+45°=180°，
∴BC//AE，
∴②正确，
若∠2=30°，则∠1=60°，
∵∠D=30°≠∠1，
∴DE与AB不平行，
∴③错误，
若∠2=45°，则∠3=45°，
∵∠E=60°，
∴∠4=180°−45°−(180°−60°−45°)=60°，
∴∠4=∠E，
∴④正确，
故答案为①②④．
直角三角板的内角是特殊角，可得出∠B，∠D，∠C，∠E的值，利用角的加减运算法则及三角形的内角和为180°即可判断．
本题主要考查角的加减计算和平行线的判定，关键是要牢记平行线的三个判定定理，即同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
14.【答案】4n+4
【解析】解：∵第1个图形中需用黑色瓷砖32−12=8块，
第2个图形中需用黑色瓷砖42−22=12块，
第3个图形中需用黑色瓷砖52−32=16块，
…
∴第n个图形中需用黑色瓷砖(n+2)2−n2=4n+4块．
故答案为：4n+4．
由题意可知：第n个图形的瓷砖的总数有(n+2)2个，白瓷砖的数量为n2个，用总数减去白瓷砖的数量即为黑瓷砖的数量．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
15.【答案】3≤a<4
【解析】解：不等式组整理得x≤ax>−1，
关于x的不等式组x≤ax−12+1>x+13至少有4个整数解，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，
所以3≤a<4，
故答案为：3≤a<4．
先求出不等式组中每个不等式的解集，求其整数解，进而求得a的取值范围．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到．
16.【答案】(0,2)
【解析】解：由已知，正方形周长为16，
∵M、N速度分别为1单位/秒，3单位/秒，
则两个物体每次相遇时间间隔为161+3=4秒，
则两个物体相遇点依次为(0,2)、(−2,0)、(0,−2)，
∵2021=4×505…1，
∴第2021次两个物体相遇位置为(0,2)，
故答案为：(0,2)．
利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边边长为4，根据两个点的速度，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
17.【答案】解：(1)(−1)2020+ 9− (−2)2+ 0+3−8−|1− 2|
=1+3−2+0+(−2)−( 2−1)
=1+3−2−0−2− 2+1
=1− 2；
(2)5x−1<3(x+1)①x−12≥x3−1②，
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x≥−3，
∴原不等式组的解集为：−3≤x<2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE//GF，
∴∠2=∠A(两直线平行，同位角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠A(等量代换)
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)
(2)解：∵AB//CD，
∴∠D+∠CBD+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，
∴∠3=25°，
∵AB//CD，
∴∠C=∠3=25°．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
(1)求出AE//GF，求出∠2=∠A=∠1，根据平行线的判定推出即可；
(2)根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．
19.【答案】抽样 50 144
【解析】解：(1)本次调查活动采取了抽样调查方式，样本容量是4÷8%=50，
故答案为：抽样，50；
(2)∵C时间段的人数为50−(4+8+16+2)=20(人)，
∴图2中C的圆心角度数为360°×2050=144°，
补全条形图如下图所示：
故答案为：144；
(3)900×20+16+250×100%=684(名)
答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不小于50 min．
(1)根据抽样调查的概念求解可得，再由A时间段的人数及其所占百分比可得样本容量；
(2)用样本容量减去其它分组的人数求出C时间段的人数，再用360°乘以其人数占总人数的比例可得；
(3)用总人数乘以样本中平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数占总人数的比例即可得．
本题考查了频数分布直方图：根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和样本估计总体．
20.【答案】(−1,4) (−3,−4)
【解析】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求，C1的坐标是(−1,4)；
故答案为：(−1,4)；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求，A2的坐标是(−3,−4)．
故答案为：(−3,−4)．
(1)直接利用平移的性质得出对应点位置，即可得出答案；
(2)直接利用平移的性质得出对应点位置，即可得出答案．
此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：(1)设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，
依题意得：3x+5y=302x+3y=19，
解得：x=5y=3．
答：建立一个中型图书馆需要5万元，一个小型图书馆需要3万元．
(2)设建立m个中型图书馆，则建立(10−m)个小型图书馆，
依题意得：10−m≤m5m+3(10−m)≤45，
解得：5≤m≤152．
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种建立方案，
方案1：建立5个中型图书馆，5个小型图书馆，该方案所需费用为5×5+3×5=40(万元)；
方案2：建立6个中型图书馆，4个小型图书馆，该方案所需费用为5×6+3×4=42(万元)；
方案3：建立7个中型图书馆，3个小型图书馆，该方案所需费用为5×7+3×3=44(万元)．
∵40<42<44，
∴有3种建立方案，方案1所需费用最少．
【解析】(1)设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，根据“建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设建立m个中型图书馆，则建立(10−m)个小型图书馆，根据“小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过45万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各建立方案，利用总价=单价×数量可分别求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】解：(1)∠A+∠C+∠APC=360°．
如图1所示，过点P作PQ//AB，
∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；
(2)∠APC=∠A−∠C．
如图2，作PQ//AB，
∴∠A=∠APQ，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC=∠A−∠C；
(3)由(2)知，∠APC=∠PAB−∠PCD，
∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB//CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF//PC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=12∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=12∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG−∠GEH
=12∠FEG−12∠BEG
=12∠BEF
=55°．
【解析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
(1)首先过点P作PQ//AB，则易得AB//PQ//CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
(2)作PQ//AB，易得AB//PQ//CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；
(3)由(2)知，∠APC=∠PAB−∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=12∠FEG，∠GEH=12∠BEG，根据∠PEH=∠PEG−∠GEH可得答案．
23.【答案】解：(1)(1000+1000)÷400+(1000+1000)÷500=9min
答：爷爷骑电动车跑一圈需要9min；
(2)方法一：设PA=x，QB=y，
则x400+1000500+y400=5y400+1000400+1000500+1000−x400=6，
解得x=800y=400，
∴PA=800m，QB=400m；
方法二：∵骑行一圈需要9min，沿P−A−B−Q骑行需要5min，
∴沿Q−C−D−P骑行需要4min，
在Q−B−Q段骑行需要2min，
设PA=x，QB=y，
则x400+1000500+y400=5y+y400=2，
解得x=800y=400；
∴PA=800m，QB=400m；
(3)设显然步行的速度为V m/min，
则爷爷沿P−A−B−Q骑行要花800400+1000500+400400=5min，
∴5V≤400，
解得V≤100m/min
∴显然步行的速度的取值范围为0m/min
(2)设PA=x，QB=y，根据“爷爷骑电动车沿P−A−B−Q送显然上学花了5min，沿Q−B−C−D−P(在B处遇堵车立即掉头)回家花了6min”列方程组，解方程组即可得到结论；
(3)设显然步行的速度为V m/min，根据题意求得V≤100m/min，于是得到结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，正确的列出方程组是解题的关键．
24.【答案】2 3 4
【解析】解：(1)∵(a−2)2+|b−3|=0，
∴a−2=0，b−3=0，
∴a=2，b=3，
∵ c−4=0，
∴c=4，
故答案为：2，3，4；
(2)由(1)知，a=2，b=3，
∴A(0,2)，B(3,0)，
∴OA=2，OB=3，
∴S=S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=12×3×2+12×2×n=−n+3；
(3)由(1)知，a=2，b=3，c=4，
∴A(0,2)，B(3,0)，C(3,4)，
∴BC=4，
∴S△ABC=12×4×3=6，
∵四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，
∴S=6，
由(2)知，S=−n+3，
∴−n+3=6，
∴n=−3，
∴P(−3,12)．
(1)利用非负性建立方程即可得出结论；
(2)先求出A，B坐标，再利用三角形的面积之和即可得出结论；
(3)先求出BC，进而得出△ABC的面积，最后用四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等建立方程即可得出结论．
本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，解题时注意：当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
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