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2023宁波九校高二下学期期末联考数学试题含解析
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2022学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 已知平面向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，点O满足，过点O直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
7. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 三面角是立体几何的重要概念之一.三面角是指由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成夹角为，则.现已知三棱锥，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 以下四个正方体中，满足平面CDE的有（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数的定义域为，是偶函数，的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. ， D. ，
12. 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（ ）
A. B.
C ， D. ，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知实数a，b满足且，则m＝______.
14. 现有一枚质地不均匀硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为，则随机抛掷它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为______；若随机抛掷它10次得到正面朝上的次数为，则______.（第一空2分，第二空3分）
15. 已知函数，若有4个零点，则实数a的范围是______.
16. 已知平面向量，，满足，，则的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______，
请从下列两个条件中任选一个填入上方的横线中作为已知条件，并解答本题（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）：
①；②，
（1）求A；
（2）若D为边BC上一点，且，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由.
18. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值.
（1）求的单调增区间；
（2）已知函数（且），对任意，总存在，使得，求实数a取值范围.
19. 航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率.人们常用航班正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量.现随机抽取10家航空公司，对其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如下：
航空公司编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
航班正点率/%
82
77
77
76
74
73
71
70
91
69
顾客投诉次数/次
21
58
79
68
74
93
72
122
18
125
整理数据得：，，，，，.
（1）（i）证明：样本相关系数；
（ii）根据以上数据计算样本相关系数（结果保留2位小数），并由此推断顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度（若，则认为线性相关程度很强；若，则认为线性相关程度一般；若，则认为线性相关程度很弱）.
（2）用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班正点率的经验回归方程为.现有一家航空公司拟通过加强内部管理来减少由于公司自身原因引起的航班延误次数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过73次，试估计该公司的航班正点率应达到多少？
参考公式：样本相关系数.
20. 2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为，，且各队各轮比赛互不影响.
（1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望；
（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率.
21. 如图，四面体中，平面平面，，，，
（1）若，证明：平面；
（2）设过直线且与直线BC平行的平面为，当与平面所成的角最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.
22. 已知，.定义，设，．
（1）若，（i）画出函数的图象；
（ii）直接写出函数的单调区间；
（2）定义区间的长度.若，，则.设关于x的不等式的解集为D.是否存在t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
2022学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 已知平面向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，点O满足，过点O直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
7. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 三面角是立体几何的重要概念之一.三面角是指由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成夹角为，则.现已知三棱锥，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 以下四个正方体中，满足平面CDE的有（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数的定义域为，是偶函数，的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. ， D. ，
12. 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（ ）
A. B.
C ， D. ，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知实数a，b满足且，则m＝______.
14. 现有一枚质地不均匀硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为，则随机抛掷它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为______；若随机抛掷它10次得到正面朝上的次数为，则______.（第一空2分，第二空3分）
15. 已知函数，若有4个零点，则实数a的范围是______.
16. 已知平面向量，，满足，，则的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______，
请从下列两个条件中任选一个填入上方的横线中作为已知条件，并解答本题（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）：
①；②，
（1）求A；
（2）若D为边BC上一点，且，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由.
18. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值.
（1）求的单调增区间；
（2）已知函数（且），对任意，总存在，使得，求实数a取值范围.
19. 航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率.人们常用航班正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量.现随机抽取10家航空公司，对其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如下：
航空公司编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
航班正点率/%
82
77
77
76
74
73
71
70
91
69
顾客投诉次数/次
21
58
79
68
74
93
72
122
18
125
整理数据得：，，，，，.
（1）（i）证明：样本相关系数；
（ii）根据以上数据计算样本相关系数（结果保留2位小数），并由此推断顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度（若，则认为线性相关程度很强；若，则认为线性相关程度一般；若，则认为线性相关程度很弱）.
（2）用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班正点率的经验回归方程为.现有一家航空公司拟通过加强内部管理来减少由于公司自身原因引起的航班延误次数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过73次，试估计该公司的航班正点率应达到多少？
参考公式：样本相关系数.
20. 2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为，，且各队各轮比赛互不影响.
（1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望；
（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率.
21. 如图，四面体中，平面平面，，，，
（1）若，证明：平面；
（2）设过直线且与直线BC平行的平面为，当与平面所成的角最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.
22. 已知，.定义，设，．
（1）若，（i）画出函数的图象；
（ii）直接写出函数的单调区间；
（2）定义区间的长度.若，，则.设关于x的不等式的解集为D.是否存在t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
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