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2022-2023学年湖北省武汉市武昌区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省武汉市武昌区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市武昌区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，点P(a−3,2)在第二象限，则a的取值范围是( )
A. a<3 B. a≤3 C. a<0 D. a>3
2. 16的平方根为( )
A. 4 B. −4 C. ±8 D. ±4
3. 下列实数是无理数的是( )
A. 4 B. 3.14 C. −3 D. 2
4. 关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是( )
A. x>−2 B. x<−2 C. x>2 D. x≠−2
5. 下列调查方式，你认为最合适的是( )
A. 调查央视栏目《中国诗词大会》的收视率，采用全面调查
B. 高铁站对上车旅客进行安检，采用抽样调查
C. 了解全国七年级学生的睡眠情况，采用全面调查
D. 了解湖北省居民的日平均用电量，采用抽样调查
6. 若x=2y=−1是二元一次方程ax+by=2的一个解，则2a−b−4的值是( )
A. −6 B. −2 C. 2 D. 6
7. 已知a
A. 同位角相等
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 互补的两个角是邻补角
D. 直线a，b，c，若a//b，b//c，则a//c
9. 如图，已知AB//CD，EF⊥AB于点E，∠AEH=∠FGH=20°，∠H=50°，则∠EFG的度数是( )
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
10. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m.则m的最大值是( )
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 364= ．
12. 已知一个样本数据：25，21，23，29，27，29，25，28，30，22，24，28，24，26，以2为组距可以分为______ 组.
13. 如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数为______ °.
14. 已知a3=b4=c5，满足a−b+2c=18，则a+b+c= ______ ．
15. 若不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)成立，则m的取值范围是______．
16. 如图，正方形ABCD的两个顶点A(0,0)，C(6,6)，对正方形ABCD进行如下变换：
把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0,n>0)，得到正方形A1B1C1D1，其中B的对应点为B1(52,13)，D对应点为D1(12,73)，若正方形ABCD内部的一个点F经过上述相同变换后得到的对应点F1与点F重合，则F点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
按要求解下列方程组：
(1)(代入法)y=x+1①2x+y=4②；
(2)(加减法)x−2y=5①2x+y=5②．
18. (本小题8.0分)
解不等式组x+2≥1①4x−1≤2x+3②请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______ ．
19. (本小题8.0分)
如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证∠AED=∠C.完成下面的证明过程．
证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°
∴∠2=∠4(同角的补角相等)．
∴AB// ______ (内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠ADE(______ ).
又∵∠3=∠B(已知)，
∴ ______ =∠B(等量代换)．
∴DE//BC(______ ).
∴∠AED=∠C(两直线平行，同位角相等)．
20. (本小题8.0分)
中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，同称“二十大”.在会议召开期间，国家领导人就许多民众关心的热点问题进行了时论，并形成了许多的决议.为了了解民众对“二十大”相关政策的了解情况，对某小区居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词，分别为：“
A.依法治国；
B.社会保障；
C.乡村振兴；
D.教育改革；
E.数字化生活”，
每人只能从中选一个最关注的议题，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中a= ______ ；E所在扇形的圆心角度数为______ ；
(2)请把条形统计图补充完整；
(3)若这个小区居民共有6500人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有多少人？
21. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，有两点A(−2,3)，B(1,5)，AB交y轴于点C．
(1)平移线段AB，使点A与原点O重合，点B平移后对应点为点D，在图1中画出线段OD；直接写出点D的坐标为______ ；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积；
(3)直接写出点C的坐标为______ ．
22. (本小题10.0分)
如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地.已知公路运价为1.5元/(公里⋅吨)，铁路运价为1元/(公里⋅吨)，这两次运输(第一次：A地→食品厂；第二次：食品厂→B地)共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．
(1)这家食品厂到A地的距离是多少公里？
(2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？
(3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1122940元，则至少要购进多少吨原料？(注：利润=销售款−原料费−运输费)
23. (本小题10.0分)
【问题情境】如图1，AB//CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上.直接写出∠E，∠EFH，∠EGD之间的数量关系为______ ．
【实践运用】如图2，AB//CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上.FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若∠E=40°，求∠FMG的度数．
【拓广探索】如图3，AB//CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点P为平面内不在直线AB，CD，EG上的一点，若∠BHP=x，∠DGP=y，则∠HPG= ______ (直接写出答案，用x，y表示)．
24. (本小题12.0分)
定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“完美解”．
例：已知方程2x−3=1与不等式x+3>0，当x=2时，2x−3=2×2−3=1，x+3=2+3=5>0同时成立，则称“x=2”是方程2x−3=1与不等式x+3>0的“完美解”．
(1)已知①2x+1>3，②3x+7<4，③2−x>2x+1，则方程2x+3=1的解是不等式______ (填序号)的“完美解”；
(2)若x=x0y=y0是方程x−3y=5与不等式组x>2y<1的“完美解”，求x0+3y0的取值范围；
(3)若x=x0y=y0(x0,y0是整数)是方程组x+y=a4x−5y=a+3与不等式组2x−7y<15x−6y<14的一组“完美解”，求整数a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵平面直角坐标系中的点P(a−3,2)在第二象限，
∴a的取值范围是：a−3<0，
解得：a<3．
故选：A．
根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得a−3<0，求出a的取值范围即可．
本题考查了解一元一次不等式，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
2.【答案】D
【解析】解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是：±4．
故选D．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3.【答案】D
【解析】解：∵ 4=2，
∴选项中的实数是无理数的是 2．
故选：D．
根据无理数的概念及算术平方根可进行排除选项．
本题主要考查无理数、算术平方根及实数的概念，熟练掌握无理数、算术平方根及实数的概念是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵−2处是空心圆点，且折线向右，
∴x>−2．
故选：A．
根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A.调查央视栏目《中国诗词大会》的收视率，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B.高铁站对上车旅客进行安检，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C.了解全国七年级学生的睡眠情况，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D.了解湖北省居民的日平均用电量，适合采用抽样调查，故本选项符合题意．
故选：D．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.【答案】B
【解析】解：∵x=2y=−1是二元一次方程ax+by=2的一个解，
∴2a−b=2，
∴2a−b−4=2−4=−2．
故选：B．
根据方程解的定义得到2a−b=2，再整体代入即可求解．
本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知方程的解的定义，求出2a−b=2是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、若a−2b，原变形错误，符合题意；
D、若a
根据不等式两边加上(或减去)同一个数，不等号方向不变可对A、D进行判断；根据不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变对B进行判断；根据不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变对C进行判断．
本题考查了不等式的性质：不等式两边加上(或减去)同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
8.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直线a，b，c，若a//b，b//c，则a//c，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
利用平行线的性质、垂直的判定方法、邻补角的定义及平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9.【答案】C
【解析】解：过点H作HM//AB，延长EF交CD于点N，如图所示：
∵AB//CD，EF⊥AB，
∴AB//HM//CD，EN⊥CD，
∴∠EHM=∠AEH=20°，∠ENG=90°，∠CGH=∠GHM，
∴∠GHM=∠EHG−∠EHM=30°，
∴∠CGH=30°，
∴∠CGF=∠CGH+∠FGH=50°，
∵∠EFG是△FGN的外角，
∴∠EFG=∠ENG+∠CGF=140°．
故选：C．
过点H作HM//AB，延长EF交CD于点N，由平行线的性质可得HM//CD，则可求∠CGH=30°，∠ENG=90°，可得∠CGF=50°，再利用三角形的外角性质可求∠EFG的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
10.【答案】B
【解析】解：设每个“田”字格四个数的和为m，共12个数的和为3m，有两数重复，
设这两数分别为a，b，
所以3个“田”字形所填数的总和为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b．
则有3m=55+a+b，
要m最大，必须a、b最大，
而a+b最大值为9+10=19，
则3m≤55+9+10，则m<2423，
则m最大整数值为24，
故选：B．
图形中有3个“田”字形，其中重叠的有两个小格，设对应的数为a，b，则与a与b均被加了两次，根据“田“字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m根据3个“田”字形所填数的总和为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+h=55+a+b，列出不等式，求整数解即可．
本题考查了规律型−数字的变化类，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b=3m．
11.【答案】4
【解析】
【分析】
直接利用求出立方根求解即可．
本题考查的是简单的开立方问题，注意正负号即可．
【解答】
解：∵4的立方为64，
∴64的立方根为4
∴364=4．
12.【答案】5
【解析】解：这组数据的极差为30−21=9，
∵9÷2=4.5，
∴这组数据可分成5组，
故答案为：5．
先计算出这组数据的极差，用极差除以组距，再将所得结果进一取整即可．
本题主要考查频数(率)分布表，列频率分布表的步骤：(1)计算极差，即计算最大值与最小值的差．(2)决定组距与组数(组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组). (3)将数据分组．(4)列频率分布表．
13.【答案】22
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠COF=34°，
∴∠EOF=∠COE−∠COF=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°，
故答案为：22．
先根据垂线的定义求出∠EOF=56°，再由角平分线的定义求出∠AOF=56°，进而求出∠AOC=22°，则由对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=22°．
本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，正确求出∠AOC=22°时解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：设a3=b4=c5=k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∵a−b+2c=18，
∴3k−4k+10k=18，
解得：k=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∴a+b+c=6+8+10=24，
故答案为：24．
利用设k法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
15.【答案】m<−35
【解析】解：解不等式2x+53−1≤2−x得：x≤45，
解关于x的不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)，
得x<1−m2，
∵不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)成立，
∴1−m2>45，
解得：m<−35，
故答案为m<−35．
求出不等式2x+53−1≤2−x的解，再求出不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
16.【答案】(34,12)
【解析】解：∵正方形ABCD的两个顶点A(0,0)，C(6,6)，
∴AD=CD=AB=BC=6，
∴D(0,6)，B(6,0)，
根据题意得，6a+m=52n=13m=126a+n=73，
解得m=12n=13a=13，
设点F的坐标为(x,y)，
∵对应点F′与点F重合，
∴13x+12=x，13y+13=y，
解得：x=34、y=12，
即点F的坐标为(34,12)，
故答案为：(34,12).
根据正方形的性质得到AD=CD=AB=BC=6，得到D(0,6)，B(6,0)，根据题意列方程组得到m=12n=13a=13，设点F的坐标为(x,y)，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了位似变换，正方形的性质，坐标与图形性质−平移，根据题意正确地列出方程组是解题的关键．
17.【答案】解：(1)把①代入②，可得：2x+x+1=4，
解得x=1，
把x=1代入①，可得y=2，
∴原方程组的解是x=1y=2．
(2)①+②×2，可得5x=15，
解得x=3，
把x=3代入①，可得3−2y=5，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=3y=−1．
【解析】(1)应用代入消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的应用．
18.【答案】x≥−1 x≤2 −1≤x≤2
【解析】解：(1)解不等式①，得x≥−1；
(2)解不等式②，得x≤2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为−1≤x≤2，
故答案为：x≥−1，x≤2，−1≤x≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】EF 两直线平行，内错角相等 ∠ADE 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，
∴∠2=∠4(同角的补角相等)．
∴AB//EF(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠3=∠B(已知)，
∴∠ADE=∠B(等量代换)．
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠AED=∠C(两直线平行，同位角相等)．
故答案为：EF；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】22.5 54°
【解析】解：(1)调查人数为：55÷27.5%=200(人)，
选择话题C的人数为：200×10%=20(人)，
选择话题A的人数为：200−55−20−50−30=45(人)，
选择话题A的人数所占的百分比为：45÷200×100%=22.5%，
即a=22.5，
E所在扇形的圆心角度数为：360°×15%=54°；
故答案为：22.5，54°；
(2)选择话题A的人数为45人，选择话题C的人数为20人，
补全条形统计图如下：
(3)6500×50200=1625(人)，
答：这个小区居民共有6500人，最关注的议题是“教育改革”的大约有1625人．
(1)从两个统计图可知，样本中话题B的有55人，占调查人数的27.5%，由频率=频数总数可求出调查总人数，进而求出选择话题A的人数，计算出所占的百分比即可，E所在扇形的圆心角度数是360°的15%；
(2)求出选择话题A的人数和选择话题C的人数即可补全条形统计图；
(3)求出样本中选择话题D的人数所占的百分比，估计总体中选择话题D所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是解决问题的关键．
21.【答案】(3,2) (0,133)
【解析】解：(1)如图所示：
D(3,2)；
故答案为：(3,2)；
(2)△OAB的面积=3×5−12×1×5−12×2×3−12×2×3=6.5；
(3)∵AE=2，EF=1，BF=2，
∴S△ACE=12AE⋅CE=S△AFB−S梯形CEFB=12×3×2−12×(CE+2)×1，
∴CE=43，
∴OC=3+43=133，
∴C(0,133)，
故答案为：(0,133).
(1)根据平移的特点得出坐标即可；
(2)根据割补法和三角形的面积公式解答即可；
(3)根据面积法得出C点的坐标即可．
此题考查作图—平移，关键是根据平移的特点和待定系数法得出解析式解答．
22.【答案】解：(1)设这家食品厂到A地的距离是x公里，则到B地的距离是2x公里，
根据题意得：x+2x=20+100+30，
解得：x=50．
答：这家食品厂到A地的距离是50公里；
(2)设此次购进了a吨原料，制成了b吨食品，
根据题意得：20×1.5a+30×1.5b=15600(50−20)a+[100−(50−20)]b=20600，
解得：a=220b=200．
答：此次购进了220吨原料，制成了200吨食品；
(3)设要购进m吨原料，则可制成200220m=1011m吨食品，
根据题意得：10000×1011m−5000m−20×1.5m−(50−20)m−[100−(50−20)]×1011m−30×1.5×1011m≥1122940，
解得：m≥286，
∴m的最小值为286．
答：至少要购进286吨原料．
【解析】(1)设这家食品厂到A地的距离是x公里，则到B地的距离是2x公里，根据A，B两地的距离为150公里，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设此次购进了a吨原料，制成了b吨食品，根据“这两次运输(第一次：A地→食品厂；第二次：食品厂→B地)共支付公路运费15600元，铁路运费20600元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设要购进m吨原料，则可制成200220m=1011m吨食品，根据这家食品厂获得利润不少于1122940元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】∠EGD=∠E+∠EFH x−y或y−x或x+y或360°−x−y
【解析】【问题情境】
如图，作EQ//AB，而AB//CD，
∴EQ//AB//CD，
∴∠EGD=∠QEG=∠EHB，∠QEF=∠EFB，
∵∠FEH=∠QEG−∠QEF，
∴∠FEH=∠EHB−∠EFH，
∴∠EGD=∠FEH+∠EFH．
故答案为：∠EGD=∠E+∠EFH．
【实践运用】
设∠EFT=x，FT平分∠EFH，
∴∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，
由(1)得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，
∴∠HCG=140°−2x．
∵GM平分∠EGC．
∴∠MGC=12∠HCG=70°−x．
过点M作MK//AB，则MK//AB//CD，
∴∠FMK=∠AFM=x．
∵MK//CD，
∴∠KMG=∠MGC=70°−x，
∴∠FMG=∠KMG+∠FMK=70°−x+x=70°．
【拓广探索】
对P点的位置有六种可能，
①如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠QPG−∠HPQ=y−x，
②如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠QPG+∠HPQ=y+x，
③如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠HPQ−∠QPG=x−y，
④如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，记PG，AB的交点为N，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠GPQ−∠QPH=180°−y−180°+x=x−y，
⑤如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠GPQ+∠QPH=180°−y+180°−x=360°−x−y，
⑥如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠QPH−∠GPQ=180°−x−180°+y=y−x，
综上：∠HPG的大小为x−y或y−x或x+y或360°−x−y．
故答案为：x−y或y−x或x+y或360°−x−y．
问题情境：如图，作EQ//AB，而AB//CD，则EQ//AB//CD，再利用平行线的性质可得结论；
实践运用：设∠EFT=x，FT平分∠EFH，可得∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，由(1)得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，可得∠MGC=12∠HCG=70°−x.过点M作MK//AB，则MK//AB//CD，可得∠FMK=∠AFM=x.∠KMG=∠MGC=70°−x，再利用角的和差关系可得答案；
拓广探索：对P点的位置有六种可能，再分情况画出图形，利用数形结合的方法解题即可．
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的性质，掌握“利用平行线的性质探究角与角之间的数量关系”是解本题的关键．
24.【答案】③
【解析】解：(1)解方程2x+3=1得，x=−1，
①当x=−1时，2x+1=−1<3，
则方程2x+3=1的解不是不等式2x+1>3的“完美解“；
②当x=−1时，3x+7=4，
∴2x+3=1的解不是不等式3x+7<4的“完美解“；
③∵2−x>2x+1，
∴x<13，
∴2x+3=1的解是不等式2−x>2x+1的“完美解“；
故答案为：③；
(2)由方程x−3y=5得x0=3y0+5，代入不等式组x>2y<1得
3y0+5>2y0<1，
解得−1
∴−1
∵x=x0y=y0(x0,y0是整数)是方程组x+y=a4x−5y=a+3与不等式组2x−7y<15x−6y<14的一组“完美解”，
∴2(2a+1)3−7(a−1)3<15(2a+1)3−6(a−1)3<14，
解得：2
(2)由方程x−3y=5得x0=3y0+4，代入不等式解得−1
本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．
2022-2023学年湖北省武汉市武昌区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，点P(a−3,2)在第二象限，则a的取值范围是( )
A. a<3 B. a≤3 C. a<0 D. a>3
2. 16的平方根为( )
A. 4 B. −4 C. ±8 D. ±4
3. 下列实数是无理数的是( )
A. 4 B. 3.14 C. −3 D. 2
4. 关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是( )
A. x>−2 B. x<−2 C. x>2 D. x≠−2
5. 下列调查方式，你认为最合适的是( )
A. 调查央视栏目《中国诗词大会》的收视率，采用全面调查
B. 高铁站对上车旅客进行安检，采用抽样调查
C. 了解全国七年级学生的睡眠情况，采用全面调查
D. 了解湖北省居民的日平均用电量，采用抽样调查
6. 若x=2y=−1是二元一次方程ax+by=2的一个解，则2a−b−4的值是( )
A. −6 B. −2 C. 2 D. 6
7. 已知a
A. 同位角相等
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 互补的两个角是邻补角
D. 直线a，b，c，若a//b，b//c，则a//c
9. 如图，已知AB//CD，EF⊥AB于点E，∠AEH=∠FGH=20°，∠H=50°，则∠EFG的度数是( )
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
10. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m.则m的最大值是( )
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 364= ．
12. 已知一个样本数据：25，21，23，29，27，29，25，28，30，22，24，28，24，26，以2为组距可以分为______ 组.
13. 如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数为______ °.
14. 已知a3=b4=c5，满足a−b+2c=18，则a+b+c= ______ ．
15. 若不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)成立，则m的取值范围是______．
16. 如图，正方形ABCD的两个顶点A(0,0)，C(6,6)，对正方形ABCD进行如下变换：
把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0,n>0)，得到正方形A1B1C1D1，其中B的对应点为B1(52,13)，D对应点为D1(12,73)，若正方形ABCD内部的一个点F经过上述相同变换后得到的对应点F1与点F重合，则F点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
按要求解下列方程组：
(1)(代入法)y=x+1①2x+y=4②；
(2)(加减法)x−2y=5①2x+y=5②．
18. (本小题8.0分)
解不等式组x+2≥1①4x−1≤2x+3②请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______ ．
19. (本小题8.0分)
如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证∠AED=∠C.完成下面的证明过程．
证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°
∴∠2=∠4(同角的补角相等)．
∴AB// ______ (内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠ADE(______ ).
又∵∠3=∠B(已知)，
∴ ______ =∠B(等量代换)．
∴DE//BC(______ ).
∴∠AED=∠C(两直线平行，同位角相等)．
20. (本小题8.0分)
中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，同称“二十大”.在会议召开期间，国家领导人就许多民众关心的热点问题进行了时论，并形成了许多的决议.为了了解民众对“二十大”相关政策的了解情况，对某小区居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词，分别为：“
A.依法治国；
B.社会保障；
C.乡村振兴；
D.教育改革；
E.数字化生活”，
每人只能从中选一个最关注的议题，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中a= ______ ；E所在扇形的圆心角度数为______ ；
(2)请把条形统计图补充完整；
(3)若这个小区居民共有6500人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有多少人？
21. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，有两点A(−2,3)，B(1,5)，AB交y轴于点C．
(1)平移线段AB，使点A与原点O重合，点B平移后对应点为点D，在图1中画出线段OD；直接写出点D的坐标为______ ；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积；
(3)直接写出点C的坐标为______ ．
22. (本小题10.0分)
如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地.已知公路运价为1.5元/(公里⋅吨)，铁路运价为1元/(公里⋅吨)，这两次运输(第一次：A地→食品厂；第二次：食品厂→B地)共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．
(1)这家食品厂到A地的距离是多少公里？
(2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？
(3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1122940元，则至少要购进多少吨原料？(注：利润=销售款−原料费−运输费)
23. (本小题10.0分)
【问题情境】如图1，AB//CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上.直接写出∠E，∠EFH，∠EGD之间的数量关系为______ ．
【实践运用】如图2，AB//CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上.FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若∠E=40°，求∠FMG的度数．
【拓广探索】如图3，AB//CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点P为平面内不在直线AB，CD，EG上的一点，若∠BHP=x，∠DGP=y，则∠HPG= ______ (直接写出答案，用x，y表示)．
24. (本小题12.0分)
定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“完美解”．
例：已知方程2x−3=1与不等式x+3>0，当x=2时，2x−3=2×2−3=1，x+3=2+3=5>0同时成立，则称“x=2”是方程2x−3=1与不等式x+3>0的“完美解”．
(1)已知①2x+1>3，②3x+7<4，③2−x>2x+1，则方程2x+3=1的解是不等式______ (填序号)的“完美解”；
(2)若x=x0y=y0是方程x−3y=5与不等式组x>2y<1的“完美解”，求x0+3y0的取值范围；
(3)若x=x0y=y0(x0,y0是整数)是方程组x+y=a4x−5y=a+3与不等式组2x−7y<15x−6y<14的一组“完美解”，求整数a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵平面直角坐标系中的点P(a−3,2)在第二象限，
∴a的取值范围是：a−3<0，
解得：a<3．
故选：A．
根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得a−3<0，求出a的取值范围即可．
本题考查了解一元一次不等式，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
2.【答案】D
【解析】解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是：±4．
故选D．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3.【答案】D
【解析】解：∵ 4=2，
∴选项中的实数是无理数的是 2．
故选：D．
根据无理数的概念及算术平方根可进行排除选项．
本题主要考查无理数、算术平方根及实数的概念，熟练掌握无理数、算术平方根及实数的概念是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵−2处是空心圆点，且折线向右，
∴x>−2．
故选：A．
根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A.调查央视栏目《中国诗词大会》的收视率，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B.高铁站对上车旅客进行安检，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C.了解全国七年级学生的睡眠情况，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D.了解湖北省居民的日平均用电量，适合采用抽样调查，故本选项符合题意．
故选：D．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.【答案】B
【解析】解：∵x=2y=−1是二元一次方程ax+by=2的一个解，
∴2a−b=2，
∴2a−b−4=2−4=−2．
故选：B．
根据方程解的定义得到2a−b=2，再整体代入即可求解．
本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知方程的解的定义，求出2a−b=2是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、若a
D、若a
根据不等式两边加上(或减去)同一个数，不等号方向不变可对A、D进行判断；根据不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变对B进行判断；根据不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变对C进行判断．
本题考查了不等式的性质：不等式两边加上(或减去)同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
8.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直线a，b，c，若a//b，b//c，则a//c，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
利用平行线的性质、垂直的判定方法、邻补角的定义及平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9.【答案】C
【解析】解：过点H作HM//AB，延长EF交CD于点N，如图所示：
∵AB//CD，EF⊥AB，
∴AB//HM//CD，EN⊥CD，
∴∠EHM=∠AEH=20°，∠ENG=90°，∠CGH=∠GHM，
∴∠GHM=∠EHG−∠EHM=30°，
∴∠CGH=30°，
∴∠CGF=∠CGH+∠FGH=50°，
∵∠EFG是△FGN的外角，
∴∠EFG=∠ENG+∠CGF=140°．
故选：C．
过点H作HM//AB，延长EF交CD于点N，由平行线的性质可得HM//CD，则可求∠CGH=30°，∠ENG=90°，可得∠CGF=50°，再利用三角形的外角性质可求∠EFG的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
10.【答案】B
【解析】解：设每个“田”字格四个数的和为m，共12个数的和为3m，有两数重复，
设这两数分别为a，b，
所以3个“田”字形所填数的总和为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b．
则有3m=55+a+b，
要m最大，必须a、b最大，
而a+b最大值为9+10=19，
则3m≤55+9+10，则m<2423，
则m最大整数值为24，
故选：B．
图形中有3个“田”字形，其中重叠的有两个小格，设对应的数为a，b，则与a与b均被加了两次，根据“田“字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m根据3个“田”字形所填数的总和为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+h=55+a+b，列出不等式，求整数解即可．
本题考查了规律型−数字的变化类，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b=3m．
11.【答案】4
【解析】
【分析】
直接利用求出立方根求解即可．
本题考查的是简单的开立方问题，注意正负号即可．
【解答】
解：∵4的立方为64，
∴64的立方根为4
∴364=4．
12.【答案】5
【解析】解：这组数据的极差为30−21=9，
∵9÷2=4.5，
∴这组数据可分成5组，
故答案为：5．
先计算出这组数据的极差，用极差除以组距，再将所得结果进一取整即可．
本题主要考查频数(率)分布表，列频率分布表的步骤：(1)计算极差，即计算最大值与最小值的差．(2)决定组距与组数(组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组). (3)将数据分组．(4)列频率分布表．
13.【答案】22
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠COF=34°，
∴∠EOF=∠COE−∠COF=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°，
故答案为：22．
先根据垂线的定义求出∠EOF=56°，再由角平分线的定义求出∠AOF=56°，进而求出∠AOC=22°，则由对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=22°．
本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，正确求出∠AOC=22°时解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：设a3=b4=c5=k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∵a−b+2c=18，
∴3k−4k+10k=18，
解得：k=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∴a+b+c=6+8+10=24，
故答案为：24．
利用设k法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
15.【答案】m<−35
【解析】解：解不等式2x+53−1≤2−x得：x≤45，
解关于x的不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)，
得x<1−m2，
∵不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)成立，
∴1−m2>45，
解得：m<−35，
故答案为m<−35．
求出不等式2x+53−1≤2−x的解，再求出不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
16.【答案】(34,12)
【解析】解：∵正方形ABCD的两个顶点A(0,0)，C(6,6)，
∴AD=CD=AB=BC=6，
∴D(0,6)，B(6,0)，
根据题意得，6a+m=52n=13m=126a+n=73，
解得m=12n=13a=13，
设点F的坐标为(x,y)，
∵对应点F′与点F重合，
∴13x+12=x，13y+13=y，
解得：x=34、y=12，
即点F的坐标为(34,12)，
故答案为：(34,12).
根据正方形的性质得到AD=CD=AB=BC=6，得到D(0,6)，B(6,0)，根据题意列方程组得到m=12n=13a=13，设点F的坐标为(x,y)，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了位似变换，正方形的性质，坐标与图形性质−平移，根据题意正确地列出方程组是解题的关键．
17.【答案】解：(1)把①代入②，可得：2x+x+1=4，
解得x=1，
把x=1代入①，可得y=2，
∴原方程组的解是x=1y=2．
(2)①+②×2，可得5x=15，
解得x=3，
把x=3代入①，可得3−2y=5，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=3y=−1．
【解析】(1)应用代入消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的应用．
18.【答案】x≥−1 x≤2 −1≤x≤2
【解析】解：(1)解不等式①，得x≥−1；
(2)解不等式②，得x≤2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为−1≤x≤2，
故答案为：x≥−1，x≤2，−1≤x≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】EF 两直线平行，内错角相等 ∠ADE 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，
∴∠2=∠4(同角的补角相等)．
∴AB//EF(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠3=∠B(已知)，
∴∠ADE=∠B(等量代换)．
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠AED=∠C(两直线平行，同位角相等)．
故答案为：EF；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】22.5 54°
【解析】解：(1)调查人数为：55÷27.5%=200(人)，
选择话题C的人数为：200×10%=20(人)，
选择话题A的人数为：200−55−20−50−30=45(人)，
选择话题A的人数所占的百分比为：45÷200×100%=22.5%，
即a=22.5，
E所在扇形的圆心角度数为：360°×15%=54°；
故答案为：22.5，54°；
(2)选择话题A的人数为45人，选择话题C的人数为20人，
补全条形统计图如下：
(3)6500×50200=1625(人)，
答：这个小区居民共有6500人，最关注的议题是“教育改革”的大约有1625人．
(1)从两个统计图可知，样本中话题B的有55人，占调查人数的27.5%，由频率=频数总数可求出调查总人数，进而求出选择话题A的人数，计算出所占的百分比即可，E所在扇形的圆心角度数是360°的15%；
(2)求出选择话题A的人数和选择话题C的人数即可补全条形统计图；
(3)求出样本中选择话题D的人数所占的百分比，估计总体中选择话题D所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是解决问题的关键．
21.【答案】(3,2) (0,133)
【解析】解：(1)如图所示：
D(3,2)；
故答案为：(3,2)；
(2)△OAB的面积=3×5−12×1×5−12×2×3−12×2×3=6.5；
(3)∵AE=2，EF=1，BF=2，
∴S△ACE=12AE⋅CE=S△AFB−S梯形CEFB=12×3×2−12×(CE+2)×1，
∴CE=43，
∴OC=3+43=133，
∴C(0,133)，
故答案为：(0,133).
(1)根据平移的特点得出坐标即可；
(2)根据割补法和三角形的面积公式解答即可；
(3)根据面积法得出C点的坐标即可．
此题考查作图—平移，关键是根据平移的特点和待定系数法得出解析式解答．
22.【答案】解：(1)设这家食品厂到A地的距离是x公里，则到B地的距离是2x公里，
根据题意得：x+2x=20+100+30，
解得：x=50．
答：这家食品厂到A地的距离是50公里；
(2)设此次购进了a吨原料，制成了b吨食品，
根据题意得：20×1.5a+30×1.5b=15600(50−20)a+[100−(50−20)]b=20600，
解得：a=220b=200．
答：此次购进了220吨原料，制成了200吨食品；
(3)设要购进m吨原料，则可制成200220m=1011m吨食品，
根据题意得：10000×1011m−5000m−20×1.5m−(50−20)m−[100−(50−20)]×1011m−30×1.5×1011m≥1122940，
解得：m≥286，
∴m的最小值为286．
答：至少要购进286吨原料．
【解析】(1)设这家食品厂到A地的距离是x公里，则到B地的距离是2x公里，根据A，B两地的距离为150公里，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设此次购进了a吨原料，制成了b吨食品，根据“这两次运输(第一次：A地→食品厂；第二次：食品厂→B地)共支付公路运费15600元，铁路运费20600元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设要购进m吨原料，则可制成200220m=1011m吨食品，根据这家食品厂获得利润不少于1122940元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】∠EGD=∠E+∠EFH x−y或y−x或x+y或360°−x−y
【解析】【问题情境】
如图，作EQ//AB，而AB//CD，
∴EQ//AB//CD，
∴∠EGD=∠QEG=∠EHB，∠QEF=∠EFB，
∵∠FEH=∠QEG−∠QEF，
∴∠FEH=∠EHB−∠EFH，
∴∠EGD=∠FEH+∠EFH．
故答案为：∠EGD=∠E+∠EFH．
【实践运用】
设∠EFT=x，FT平分∠EFH，
∴∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，
由(1)得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，
∴∠HCG=140°−2x．
∵GM平分∠EGC．
∴∠MGC=12∠HCG=70°−x．
过点M作MK//AB，则MK//AB//CD，
∴∠FMK=∠AFM=x．
∵MK//CD，
∴∠KMG=∠MGC=70°−x，
∴∠FMG=∠KMG+∠FMK=70°−x+x=70°．
【拓广探索】
对P点的位置有六种可能，
①如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠QPG−∠HPQ=y−x，
②如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠QPG+∠HPQ=y+x，
③如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，
∴∠HPG=∠HPQ−∠QPG=x−y，
④如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，记PG，AB的交点为N，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠GPQ−∠QPH=180°−y−180°+x=x−y，
⑤如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠GPQ+∠QPH=180°−y+180°−x=360°−x−y，
⑥如图所示，作PQ//AB，而AB//CD，
∴PQ//AB//CD，而∠BHP=x，∠DGP=y，
∴∠QPG=180°−∠DGP=180°−y，∠QPH=180°−∠PHB=180°−x，
∴∠HPG=∠QPH−∠GPQ=180°−x−180°+y=y−x，
综上：∠HPG的大小为x−y或y−x或x+y或360°−x−y．
故答案为：x−y或y−x或x+y或360°−x−y．
问题情境：如图，作EQ//AB，而AB//CD，则EQ//AB//CD，再利用平行线的性质可得结论；
实践运用：设∠EFT=x，FT平分∠EFH，可得∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，由(1)得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，可得∠MGC=12∠HCG=70°−x.过点M作MK//AB，则MK//AB//CD，可得∠FMK=∠AFM=x.∠KMG=∠MGC=70°−x，再利用角的和差关系可得答案；
拓广探索：对P点的位置有六种可能，再分情况画出图形，利用数形结合的方法解题即可．
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的性质，掌握“利用平行线的性质探究角与角之间的数量关系”是解本题的关键．
24.【答案】③
【解析】解：(1)解方程2x+3=1得，x=−1，
①当x=−1时，2x+1=−1<3，
则方程2x+3=1的解不是不等式2x+1>3的“完美解“；
②当x=−1时，3x+7=4，
∴2x+3=1的解不是不等式3x+7<4的“完美解“；
③∵2−x>2x+1，
∴x<13，
∴2x+3=1的解是不等式2−x>2x+1的“完美解“；
故答案为：③；
(2)由方程x−3y=5得x0=3y0+5，代入不等式组x>2y<1得
3y0+5>2y0<1，
解得−1
∴−1
∵x=x0y=y0(x0,y0是整数)是方程组x+y=a4x−5y=a+3与不等式组2x−7y<15x−6y<14的一组“完美解”，
∴2(2a+1)3−7(a−1)3<15(2a+1)3−6(a−1)3<14，
解得：2
(2)由方程x−3y=5得x0=3y0+4，代入不等式解得−1
本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．
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