2022-2023学年河北省石家庄市赞皇县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年河北省石家庄市赞皇县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图各图象中，y不是x函数的是(    )
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式，不能与 2合并的是(    )
A. 12 B. 8 C. 12 D. − 18
3. 二次根式 x−1中字母x的取值范围是(    )
A. x<1 B. x≥1 C. x≤0 D. x≥0
4. 一个射手连续射靶22次，其中3次射中10环，7次射中9环，9次射中8环，3次射中7环．则射中环数的中位数和众数分别为(    )
A. 8，9 B. 8，8 C. 8.5，8 D. 8.5，9
5. 下列计算或化简正确的是(    )
A. (2+ 5)2=9 B. 2 5+ 3= 5− 3
C. a2+b2=a+b D. (2−π)2=2−π
6. 若一次函数y=(m−1)x−m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是(    )
A. m<0 B. m<1 C. 01
7. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，∠D=40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是(    )

A. AE=6cm B. ED=2cm C. ∠BED=150° D. ∠C=140°
8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有(    )
①当AB=DC时，它是菱形；
②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC=90°时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将(    )
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 先变大后变小
10. 如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中(不计空气阻力)，弹簧秤的读数F(kg)与时间t(s)的函数图象大致是(    )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，要在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形；
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(    )
A. 甲正确，乙错误 B. 甲错误，乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误
12. 下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是(    )
A. a=2，b=3，c=4 B. a=1，b=1，c= 2
C. a=6，b=8，c=11 D. a=3，b=4，c= 5
13. 已知，ab>0，化简二次根式a −ba2的正确结果是(    )
A. b B. −b C. − b D. − −b
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为(    )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
15. 如图，直线l1：y=x+n与直线l2：y=kx+m交于点P，下列结论错误的是(    )
A. k<0，m>0
B. 关于x的方程x+n=kx+m的解为x=3
C. 关于x的不等式(k−1)x D. 直线l1上有两点(x1,y1)，(x2,y2)，若x1
16. 如图，∠MON=90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD=5，BC=24，运动过程中，点D到点O的最大距离为(    )


A. 24 B. 25 C. 3 13+12 D. 26
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 计算(− 6)2=______．
18. 函数y=−x+5(−1≤x≤6)的图象与x轴的交点坐标是______ ；函数的最大值是______ ．
19. 为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪.如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK……，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
(1)菱形ABCD的面积为______ m2；
(2)若使这块草坪的总面积是39m2，则需要______ 个这样的菱形；
(3)若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数)，则这块草坪的总面积是______ m2．


三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
嘉淇准备完成题目：计算：(■ 127−23 18)−(43−4 12)发现系数“■”印刷不清楚．
(1)他把“■”猜成3，请你计算：(3 127−23 18)−(43−4 12)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是0.”请你通过计算说明原题中“■”是几？
21. (本小题9.0分)
某校对九(1)班学生进行百米测验，已知女生达标成绩为18秒，如图分别是甲、乙两小组各5名女生的成绩统计图.请你根据统计图回答问题．

(1)甲、乙两组的达标率分别是多少？
(2)已知甲组的方差是2.1，请你计算乙组的方差，比较哪个组的成绩相对稳定；
(3)如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，那么老师是从各组的______ 来说明的.(选填达标率、中位数、众数、方差)
22. (本小题9.0分)
小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千(如图)，秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB=0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD=1.4m，与静止位置的水平距离OD=2.4m，求秋千AB的长．

23. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
24. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，求n的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点(不与点A、C重合)，过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．
(1)OE与OF相等吗？证明你的结论．
(2)试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．

26. (本小题12.0分)
万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．
(1)求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？
(2)若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
选项A、B、D中的图象，y是x函数，故A、B、D不符合题意；
选项C中的图象，y不是x函数，故C符合题意．
故选：C．
设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．

2.【答案】C 
【解析】解：A、 12= 22，能与 2合并；
B、 8=2 2，能与 2合并；
C、 12=2 3，不能与 2合并；
D、− 18=−3 2，能与 2合并，
故选：C．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

3.【答案】B 
【解析】解：由题意得，x−1≥0，
解得，x≥1，
故选：B．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的意义，被开方数是非负数是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：这组数据中出现次数最多的一个数是8，所以这组数据的众数是8环；22是偶数，按大小顺序排列后中间两个数是8和8，所以这组数据的中位数是8(环)．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查的是众数和中位数．注意掌握中位数和众数的定义是关键．

5.【答案】B 
【解析】解：A.(2+ 5)2=9+4 5，故此选项不合题意；
B.2 5+ 3= 5− 3，故此选项符合题意；
C. a2+b2，无法化简，故此选项不合题意；
D. (2−π)2=π−2，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用分母有理化、二次根式的性质、完全平方公式分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

6.【答案】C 
【解析】解：根据题意得：m−1<0−m<0,
解得：0 故选：C．
一次函数y=(m−1)x−m的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数m−1是负数，−m是负数，即可求得m的范围．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．

7.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=50°，
∴AD//BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，∠ABC=∠D=40°，
∴∠C=180°−∠D=140°，故D正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC=20°，
∴∠AEB=∠EBC=20°，
∴∠BED=180°−∠AEB=160°，故C错误；
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=6cm，故A正确；
AD=BC=8cm，
∴ED=AD−AE=2cm，故B正确．
故选：C．
由▱ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，∠D=40°，根据平行四边形的性质，可求得∠C=140°；又由BE平分∠ABC，易求得∠AEB=∠ABE=∠EBC=20°，∠BED=160°，继而可求得AE=AB=CD=6cm，ED=AD−AE=2cm．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．

8.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB=DC时，不能判断它是菱形(对边相等是平行四边形的性质)，故①错误，
当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，
当∠ABC=90°时，它是矩形，故③正确，
当AC=BD时，它是矩形，故④错误，
故选：B．
根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们的判定的内容．

9.【答案】C 
【解析】解：∵∠AOB=90°，M为AB的中点，AB=3，
∴OM是Rt△AOB的中线，
∴OM=12AB=32m，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴OM的长度也不变，
故选：C．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OM=12AB，即可得出结果．
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：根据铁块的一点过程可知，弹簧秤的读数由保持不变−逐渐增大−保持不变．
故选：A．
开始一段的弹簧秤的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧秤的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．
本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧秤的读数变化情况得出函数的图象．

11.【答案】C 
【解析】解：如图1，EF垂直平分AC，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠ECA=∠FCA，
而CA⊥EF，
∴CE=CF，
∴AE=EC=CF=AF，
∴四边形AFCE是菱形；所以甲正确；
如图2，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BA=BE，
同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
而AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
而AB=AF，
四边形ABEF是菱形，所以乙正确．
故选：C．
如图1，利用垂直平分线的性质得到EA=EC，FA=FC，则∠EAC=∠ECA，再根据平行线的性质得到∠EAC=∠FCA，所以∠ECA=∠FCA，根据等腰三角形的判定方法得到CE=CF，所以AE=EC=CF=AF，从而可判断所以甲正确；如图2，利用角平分线的定义得到∠BAE=∠FAE，再根据平行线的性质得到∠FAE=∠BEA，所以∠BEA=∠BAE，则BA=BE，同理可得AB=AF，所以AF=BE，则可判断四边形ABEF是菱形，从而判断乙正确．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．

12.【答案】B 
【解析】解：A.22+32≠42，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.12+12=( 2)2，以a、b、c为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
C.62+82≠112，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.32+( 5)2≠42，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．

13.【答案】D 
【解析】解：∵ab>0，−ba2>０，
∴a<0，b<0，
∴a −ba2=a× −b−a=− −b．
故选：D．
直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键．

14.【答案】C 
【解析】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8−x，
在Rt△AFD′中，(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴AF=AB−FB=8−3=5，
∴S△AFC=12⋅AF⋅BC=10．
故选：C．
因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，易证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB−BF，即可得到结果．
本题考查了翻折变换−折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．

15.【答案】C 
【解析】解：A、∵直线l2：y=kx+m经过一二四象限，
∴k<0，m>0，故正确；
B、∵直线l1：=x+n与直线l2：y=kx+m交于点P，点P的横坐标为3，
∴关于x的方程x+n=kx+m的解为x=3，故正确；
C、根据函数图象得到：关于x的不等式kx+m3，即不等式(k−1)x3，故错误；
D、根据函数图象得到：直线l1：y=x+n上，y随x的增大而增大．
∵直线l1上有两点(x1,y1)，(x2,y2)，x1 ∴y1 综上所述，错误的结论是：C．
故选：C．
A、C、D根据函数图象直接作出判断即可；
B、交点P的横坐标就是关于x的方程x+n=kx+m的解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．解题时，要数形结合，使问题变得更直观化．

16.【答案】B 
【解析】解：如图，取BC的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵CD=5，BC=24，
∴OE=EC=12BC=12，
DE= EC2+CD2= 52+122=13，
∴OD的最大值为：12+13=25．
故选：B．
取BC的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．

17.【答案】6 
【解析】解：原式=6．
故答案为：6．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18.【答案】(5,0)  6 
【解析】解：当y=0时，x=5，
∴图象与x轴的交点坐标是(5,0)，
∵y=−x+5中y随x值的增大而减小，
∴当x=−1时，函数有最大值6，
故答案为：(5,0)，6．
当y=0时求函数图象与x轴的交点，由y=−x+5中y随x值的增大而减小，可知当x=−1时，函数有最大值6．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．

19.【答案】12  4  (9n+3) 
【解析】解：(1)S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×4×6=12(m2)；
故答案为：12；

(2)∵每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
∴小菱形的对角线分别为2，3，
∵菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，
∴占地面积为4×6÷2×n−3×2÷2×n=39(m2).
∴则需要4个这样的菱形，
故答案为：4；

(3)当有一个这样的菱形，则草坪的面积为4×6÷2=12=9×1+3(m2)，
当有2个这样的菱形，则草坪的面积为4×6×2÷2−2×3÷2=21=9×2+3(m2)，
…依此类推，
若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数)，则这块草坪的总面积是(9n+3)(m2)，
故答案为：(9n+3)．
(1)利用菱形的面积计算公式解答即可；
(2)利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；
(3)由(1)可知若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数)，则这块草坪的总面积
本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，题目设计比较新颖，考查了学生运用数学解决实际问题的能力．

20.【答案】解：(1)原式=(3×13 3−23×3 2)−(43−4× 22)
=(1 3−2 2)−(43−2 2)
= 33−2 2−43+2 2
= 3−43；

(2)设“■”是a，
原式=(a×13 3−23×3 2)−(43−4× 22)
=(a 3−2 2)−(43−2 2)
= 33a−2 2−43+2 2
= 3a−43
=0，
则 3a−4=0，
解得：a=4 33
即原题中“■”是4 33． 
【解析】(1)按照二次根式的运算法则进行计算即可；
(2)设“■”是a，利用二次根式的运算法则计算后即可求得答案．
本题考查二次根式的运算，(2)中设“■”是a，将原式计算后并结合已知条件得到关于a的方程是解题的关键．

21.【答案】中位数 
【解析】解：(1)甲组的达标率是：35×100%=60%；
乙组的达标率是：35×100%=60%；
(2)乙组的平均数是：15(19+20+17+16+18)=18(秒)，
乙组的方差是：S2=15[(19−18)2+(20−18)2+(17−18)2+(16−18)2+(18−18)2]=2，
∵2.1>2，
∴乙组的成绩相对稳定；
(3)甲组和乙组的平均数相同，甲组的方差大于乙组的方差，甲组的中位数是17秒，乙组的中位数是18秒，
如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，老师只能是从中位数数来说明的．
故答案为：中位数．
(1)用甲组和乙组达标的人数除以5即可得出答案；
(2)先求出乙组方差，然后比较即可得出答案；
(3)分别从平均数、中位数、达标率、方差进行分析，即可得出答案．
此题考查了平均数、中位数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．

22.【答案】解：作CH⊥AB于H，

由题意知，CH=OD=2.4m，BH=OH−OB=CD−OB=1.4−0.6=0.8(m)，
设AB=x m，则AH=(x−0.8)m，
在Rt△ACH中，由勾股定理得，
(x−0.8)2+2.42=x2，
解得x=4，
∴秋千AB的长为4m． 
【解析】作CH⊥AB于H，设AB=x m，则AH=(x−0.8)m，在Rt△ACH中，利用勾股定理列方程可得答案．
本题主要考查了勾股定理的实际应用，运用勾股定理列方程是解题的关键．

23.【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF．
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∵OA=OC，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形． 
【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
(2)根据平行四边形的性质可得DA=DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．

24.【答案】解：(1)把(4,3)，(−2,0)分别代入y=kx+b得4k+b=3−2k+b=0，
解得k=12b=1，
∴一次函数的解析式为y=12x+1，
当x=0时，y=12x+1=1，
∴A点坐标为(0,1)；
(2)由题意得，x+n>12x+1，即x>2−2n，
又由x>0，得2−2n≤0，
解得n≥1，
∴n的取值范围为n≥1． 
【解析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式为y=12x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
(2)根据题意x+n>12x+1结合x>0解出不等式即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．

25.【答案】(1)解：相等；理由是：∵直线l//BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OF=OC，
∴OE=OF．

(2)解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE=OF=OC=OA，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形． 
【解析】(1)根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE=OC，OF=OC即可；
(2)根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可；
本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用，题型较好，综合性比较强，难度也适中．

26.【答案】解：(1)设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为(x+20)元，
根据题意得，30000x+20=9000x×3，
解得x=180，
经检验，x=180是原方程的解，
∴x+20=180+20=200．
答：一件A款球衣的进价为200元，一件B款球衣的进价为180元；
(2)∵A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，
∴m≤2×(210−m)m≥100解得100≤m≤140，
根据题意得W=(320−200)m+(280−180)(210−m)，
化简得W=20m+21000．
答：W=20m+21000(100≤m≤140)；
(3)设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，
根据题意得Q=20m+21000−am=(20−a)m+21000，100≤m≤140，
当0 ∴m=140时，Q最大，最大值为(20−a)×140+21000=(23800−140a)元；
当a=20时，Q=21000元；
当a>20时，Q随m的增大而减小，
∴m=100时，Q最大，最大值为(20−a)×100+21000=(23000−100a)元．
答：当0 当a=20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；
当a>20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是(23000−100a)元． 
【解析】(1)设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为(x+20)元，根据“用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，”列出方程，解方程即可求解；
(2)根据“A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件”列出不等式组求得m的取值范围；再根据总利润等于两种商品利润的总和列式即可解决问题；
(3)设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，求得Q=(20−a)m+21000，再分三种情况讨论即可求解．
本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．