2023年广东省广州市海珠区绿翠现代实验学校中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省广州市海珠区绿翠现代实验学校中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省广州市海珠区绿翠现代实验学校中考数学二模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，是无理数的是(    )
A. 3.14159 B. 3 C. 1.101010101… D. 227
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是(    )
A. x4+x4=x8 B. x2x3=x6 C. (x2y)3=x6y3 D. x−2=−x2
4. 下列命题正确的是(    )
A. 数轴上的每一个点都表示一个有理数
B. 甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2=0.9，S乙2=1.2，则乙的成绩更稳定
C. 三角形的一个外角大于任意一个内角
D. 在平面直角坐标系中，点(4,−2)与点(4,2)关于x轴对称
5. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为(    )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
6. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为(    )

A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
7. 已知A(1,y1)，B(2,y2)两点在双曲线y=3+2mx上，且y1>y2，则m的取值范围是(    )
A. m<0 B. m>0 C. m>−32 D. m<−32
8. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为(    )


A. 23π B. π C. 43π D. 53π
9. 已知一次函数y=ax+2的图象与x轴的交点坐标为(3,0)，则一元一次方程ax+2=0的解为(    )
A. x=3 B. x=0 C. x=2 D. x=a
10. 如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的一条弦，半径OD⊥BC于点E，连接AD，CD，若BC=6，DE=1，则sin∠ADC的值为(    )
A. 45
B. 35
C. 43
D. 34
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如果分式x+1x−1的值为0，那么x的值是          ．
12. 分解因式：a2−4b2=          ．
13. 一元二次方程x2+2x=4的两个根分别是x1和x2，则x1⋅x2的值是______ ．
14. 如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______ 米(结果保留根号)．


15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=4，则AC=______．

16. 如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(−3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′.当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为______ ．







三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：2⋅cos60°+( 3)2−(14)−1．
18. (本小题4.0分)
如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D．


19. (本小题6.0分)
已知W=1a−2÷a+2a2−4a+4+1a+2．
(1)化简W；
(2)若a，2，4恰好是等腰△ABC的三边长，求W的值．
20. (本小题6.0分)
今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n(分)
评定等级
频数
90≤n≤100
A
2
80≤n<90
B

70≤n<80
C
12
n<70
D
4
根据以上信息解答下列问题：
(1)m的值是______ ，B等级所在扇形的圆心角度数是______ ；
(2)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．

21. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点0，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB= 10，BD=2，求OE的长．

22. (本小题10.0分)
为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
(1)根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
(2)该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
23. (本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
(1)求∠CBD的度数；
(2)求证：DP//BC；
(3)若AB=6cm，AC=8cm，求线段PC的长．

24. (本小题12.0分)
已知抛物线y=ax2+(a−1)x−2(a≠0)．
(1)若a=−1，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若a=1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包含点A，B)．
①求△PAB面积的最大值，并求此时点P的坐标；
②点C、D是该抛物线上两点，且位于x轴的两侧(点C在点D的右侧)，点E为直线y=x−4与y轴的交点，连接EC、ED.若直线OE平分∠CED，求证：C、O、D三点共线．
25. (本小题12.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM=AB；
(2)当AE=3 2时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、C、D均为有理数，B为无理数，
故选：B．
根据无理数的定义，逐个进行判断即可．无限不循环小数是无理数．
本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数．

2.【答案】D 
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，负整数指数幂，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：A、x4+x4=2x4，故A不符合题意；
B、x2x3=x5，故B不符合题意；
C、(x2y)3=x6y3，故C符合题意；
D、x−2=1x2，故D不符合题意，
故选：C．  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据数轴上的点与实数一一对应可对A选项进行判断；根据方差的意义可对B选项进行判断；根据三角形外角性质可对C选项进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征可对D选项进行判断．
【解答】
解：A.数轴上的每一个点都表示一个实数，所以A选项不符合题意；
B.甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2=0.9，S乙2=1.2，则甲的成绩更稳定，所以B选项不符合题意；
C.三角形的一个外角大于与之不相邻的任意一个内角，所以C选项不符合题意；
D.在平面直角坐标系中，点(4,−2)与点(4,2)关于x轴对称，所以D选项符合题意．
故选D．  
5.【答案】B 
【解析】解：由题意得DE为△ABC的中位线，那么DE//BC，DE：BC=1：2．
∴△ADE∽△ABC
∴△ADE与△ABC的周长之比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积之比为1：4，即14．
故选：B．
容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．是解决此题关键．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ADC=30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，即可得到∠2=45°−30°=15°．
【解答】
解：如图，

∵AB//CD，
∴∠1=∠ADC=30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，
∴∠2=45°−30°=15°，
故选B．  
7.【答案】C 
【解析】解：∵点A(1,y1)，B(2,y2)两点在双曲线y=3+2mx上，且y1>y2，
∴3+2m>0，
∴m>−32，
∴m的取值范围是m>−32，
故选：C．
根据已知结合反比例函数的性质得3+2m>0，从而得出m的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，当k>0时，y随x的增大而减小，当k<0时，y随x的增大而增大．

8.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出AB的长即可．
【解答】
解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴AB的长l=120π×2180=43π，
故选C．  
9.【答案】A 
【解析】解：根据题意当x=3时，y=0，即方程ax+2=0成立，则方程的解是x=3．
故选A．
根据图象经过点(3,0)，即把(3,0)代入函数解析式成立，即方程成立，据此即可判断．
本题考查了一次函数与方程的解的关系，函数图象上的点的坐标满足函数的解析式，即若把函数解析式作为方程，坐标对应的值就是方程的解．

10.【答案】A 
【解析】解：∵OD⊥BC，BC=6，
∴∠BEO=90°，BE=CE=12BC=3，
在Rt△BEO中，BE2+OE2=OB2，DE=1，
即32+(OD−1)2=OD2，
∴OD=5，
∵∠ADC=∠ABC，
∴sin∠ADC=sin∠ABC=OEOB=OD−1OD=45，
故选：A．
根据垂径定理得出BE=CE=12BC=3，再根据勾股定理得出OD=5，再在Rt△BEO中根据锐角三角函数即可得解．
此题考查了垂径定理等圆的有关性质，熟记垂径定理及圆的有关性质是解题的关键．

11.【答案】−1 
【解析】解：根据题意得x+1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为：−1．
利用分式值为零的条件得到x+1=0且x−1≠0，求解即可．
本题考查了分式值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

12.【答案】(a+2b)(a−2b) 
【解析】
【分析】
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
【解答】
解：a2−4b2=(a+2b)(a−2b)．
故答案为：(a+2b)(a−2b)．  
13.【答案】−4 
【解析】解：∵x2+2x=4，
∴x2+2x−4=0，
∵一元二次方程x2+2x=4的两个根分别是x1和x2，
∴x1⋅x2=−41=−4，
故答案为：−4．
直接根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

14.【答案】(30−10 3) 
【解析】解：由题意可得，∠ADB=60°，∠ACB=45°，AB=30m，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=45°，
∴AB=BC，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=60°，
∴BD= 33AB=10 3(m)，
∴CD=BC−BD=(30−10 3)m，
故答案为：(30−10 3).
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．

15.【答案】2 
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE=4，
∴∠BAE=∠B=15°，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=12AE=12×4=2．
故答案为：2．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC的长．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

16.【答案】y=(x−2513)2 
【解析】
【解答】
解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A′，过A′作A′E//CD，且A′E=CD，连接BE交直线y=9于C′，过C′作C′D′//CD，交直线y=4于D′，如图：

作图可知：四边形A′ECD和四边形C′D′DC是平行四边形，
∴A′E//CD，C′D′//CD，且A′E=CD，C′D′=CD，
∴C′D′//A′E且C′D′=A′E，
∴四边形A′EC′D′是平行四边形，
∴A′D′=EC′，
∵A关于直线y=4的对称点A′，
∴AD′=A′D′，
∴EC′=AD′，
∴BE=BC′+EC′=BC′+AD′，即此时BC′+AD′转化到一条直线上，BC′+AD′最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A(3,0)关于直线y=4的对称点A′，
∴A′(3,8)，
∵四边形A′ECD是平行四边形，C(−3,9)，D(2,4)，
∴E(−2,13)，
设直线BE解析式为y=kx+b，则0=k+b13=−2k+b，
解得k=−133b=133，
∴直线BE解析式为y=−133x+133，
令y=9得9=−133x+133，
∴x=−1413，
∴C′(−1413,9)，
∴CC′=−1413−(−3)=2513，
即将抛物线y=x2向右移2513个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y=(x−2513)2，
故答案为：y=(x−2513)2．
【分析】
本题考查二次函数综合，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数求一次函数解析式等．
过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A′，过A′作A′E//CD，且A′E=CD，连接BE交直线y=9于C′，过C′作C′D′//CD，交直线y=4于D′，四边形A′ECD和四边形C′D′DC是平行四边形，可得四边形A′EC′D′是平行四边形，可证BE=BC′+EC′=BC′+AD′，BC′+AD′最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A′(3,8)，E(−2,13)，可得直线BE解析式为y=−133x+133，从而C′(−1413,9)，CC′=−1413−(−3)=2513，故将抛物线y=x2向右移2513个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．  
17.【答案】解：2⋅cos60°+( 3)2−(14)−1
=2×12+3−4
=0． 
【解析】先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则进行计算，然后再计算加减法即可．
本题主要考查了实数的计算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键．

18.【答案】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠A=∠D． 
【解析】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．

19.【答案】解：(1)W=1a−2÷a+2a2−4a+4+1a+2
=1a−2×(a−2)2a+2+1a+2
=a−2a+2+1a+2
=a−1a+2；
(2)a，2，4恰好是等腰△ABC的三边长，
∴a=2时，2+2=4，不能构成三角形，
a=4时，符合题意；
∴原式=4−14+2=12． 
【解析】(1)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可；
(2)先根据等腰三角形的定义和三角形三边关系得出a的值，再代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20.【答案】20  36° 
【解析】解：(1)∵C等级频数为12，占60%，
∴m=12÷60%=20；
∵B等级频数为：20−2−12−4=2，
∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：220×360°=36°；
(2)评估成绩不少于8(0分)的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，
∴其中至少有一家是A等级的概率为：1012=56．
(1)由C等级频数为12，占60%，即可求得m的值；求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；
(2)根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了扇形统计图，频数分布表，列表法或树状图法求概率以及扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=12AC=OA=OC，
∵BD=2，
∴OB=12BD=1，
在Rt△AOB中，AB= 10，OB=1，
∴OA= AB2−OB2= ( 10)2−12=3，
∴OE=OA=3． 
【解析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2)先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA=3，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，角平分线的定义，勾股定理等知识；证出CD=AD=AB是解本题的关键．

22.【答案】解：(1)设该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为x，
根据题意，得3(1+x)2=4.32．
解得x=20%(舍去负值)．
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%．
(2)设增加a户，申报投入费用为W元，
则W申报=(300+a)(20000−50a)=−50a2+5000a+6000000．
当a=50时，W申报最高=6125000(元)．
答：旧房改造申报的最高投入费用是6125000元． 
【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用．
(1)设该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为x，根据“从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设增加a户，申报投入费用为W元，根据总费用=每户费用×户数，即可得出W关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

23.【答案】(1)解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=45°，
∵弧CD=弧CD，
∴∠CBD=∠CAD=45°；
(2)证明：如下图所示，连接OD．

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴弧BD=弧CD，
∴OD⊥BC．
∴∠COD=90°．
∵DP是⊙O的切线，
∴∠OOD=90°．
∴∠COD+∠ODP=180°．
∴DP//BC；
(3)解：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD=180°．
∵∠ACD+∠DCP=180°，
∴∠DCP=∠ABD．
∵点O在BC边上，
∴∠BAC=90°．
∴∠BAD=12∠BAC=45°．
∵AB=6cm，AC=8cm，
∴BC= AB2+AC2=10cm．
∴OB=OC=OD=12BC=5cm．
∵OD⊥BC，
∴DB= OB2+OD2=5 2cm，DC= OC2+OD2=5 2cm，∠ODC=∠OCD=180°−∠COD2=45°．
∵∠ODP=90°，
∴∠CDP=∠ODP−∠ODC=45°．
∴∠CDP=∠BAD．
∴△CDP∽△BAD．
∴PCDB=DCAB．
∴PC5 2=5 26．
∴PC=253cm． 
【解析】(1)根据直径所对的圆周角为直角得出∠BAC=90°，再由角平分线及圆周角定理即可求解；
(2)连接OD.圆周角定理的推论确定弧CD=弧CD，根据垂径定理的推论确定OD⊥BC，再由切线的性质及平行线的判定定理证明即可；
(3)根据圆内接四边形的性质确定∠DCP=∠ABD，根据圆周角定理的推论，角平分线的定义和勾股定理求出∠BAD=45°和BC=10cm的长度，根据圆的定义和勾股定理求出DB=5 2cm，DC=5 2cm，根据相似三角形的判定定理和性质即可求出PC的长度．
本题考查角平分线的定义，圆周角定理的推论，垂径定理的推论，平行线的性质，切线的判定定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．

24.【答案】解：(1)将a=−1代入得，
y=−x2+(−1−1)x−2=−(x+1)2−1，
∴顶点坐标为(−1,−1)；
(2)将a=1代入，
得y=x2−2，
①设P点坐标(x,x2−2)，
当y=0时，x2−2=0，
解得x= 2或x=− 2，
∴AB=2 2，
∵点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包含点A，B)，
∴P到AB的距离为2−x2，
∴△PAB面积为12×2 2×(2−x2)=− 2x2+2 2(− 2 ∵− 2<0，
∴当x=0时，面积有最大值，且最大值为2 2，
此时点P的坐标为(0,−2)；
②∵点E为直线y=x−4与y轴的交点，
当x=0时，y=−4，
∴点E的坐标为(0,−4)，
过点C，D分别作CF⊥y轴于点F，DG⊥y轴于点G，

设点C坐标为(m,m2−2)，点D坐标为(n,n2−2)，
∵点C，D位于x轴的两侧(点C在点D的右侧)，且直线OE平分∠CED，
∴点C，D位于y轴的两侧，n<0，
∴CF=m，DG=−n，EF=m2−2+4=m2+2，GE=4−(2−n2)=n2+2，
∵OE平分∠CED，
∴∠CEF=∠DEG，
又∠CFE=∠DGE=90°，
∴△DGE∽△CFE，
∴DGCF=GEEF，
∴−nm=n2+2m2+2，
整理，得mn2+m2n+2m+2n=0，
∴(mn+2)(m+n)=0，
∴mn=−2或m=−n，
当m=−n时m2−2=n2−2，不符合题意，舍去，
∴mn=−2，
∴m=−2n，
∴点C坐标为(−2n,4n2−2)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
nk+b=n2−2−2nk+b=4n2−2，
解得k=n−2nb=0，
∴直线CD的解析式为y=(n−2n)x(n<0)，
∵直线CD的解析式为正比例函数，
∴直线CD过原点，
即C，O，D三点共线． 
【解析】(1)将aa=−1代入，求解即可；
(2)将a=1代入，得y=x2−2，①设P点坐标(x,x2−2)，AB=2 2，△PAB面积为12×2 2×(2−x2)，化简求最值以及P点坐标；
②过点C，D分别作CF⊥y轴于点F，DG⊥y轴于点G，设点C坐标为(m,m2−2)，点D坐标为(n,n2−2)，证△DGE∽△CFE，得出m和n之间的关系，求CD的解析式，进而判断结论．
本题考查了二次函数的综合，利用顶点式求顶点坐标，二次函数的性质求最值，以及利用相似三角形和正比例函数证三点共线，本题的难点是第三问，方法不常见，熟练地理解函数中的定义和性质是解决问题的关键．

25.【答案】(1)证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B=∠AMF=90°，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
∠B=∠AMF∠BAE=∠MAFAE=AF，
∴△ABE≌△AMF(AAS)，
∴AB=AM；
(2)解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB=4，AE=3 2，
∴BE= AE2−AB2= (3 2)2−42= 2，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB=AM=4，FM=BE= 2，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC= AB2+BC2= 42+32=5，
∴CM=AC−AM=5−4=1，
∵∠CMF=90∘，
∴CF= CM2+FM2= 12+( 2)2= 3．
当点E在CD上时，可得CF= 13．
综上所述，CF的值为 3或 13;

(3)解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．

∵△ABE≌△AMF，
∴AM=AB=4，
∵∠AMF=90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与H重合时，DF的值最小，
∵∠CMJ=∠ADC=90°，∠MCJ=∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴CMCD=MJAD=CJAC，
∴14=MJ3=CJ5，
∴MJ=34，CJ=54，
∴DJ=CD−CJ=4−54=114，
∵∠CMJ=∠DHJ=90°，∠CJM=∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴CMDH=CJDJ，
∴1DH=54114，
∴DH=115，
∴DF的最小值为115．
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠ABC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．

∵∠EAF=∠BAC，∠DAR=∠BAC，
∴∠DAE=∠RAF，
∵AE=AF，AD=AR，
∴△ADE≌△ARF(SAS)，
∴∠ADE=∠ARF=90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R=∠DQR=∠DKR=90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK=QR，
∴AQ=AD⋅cos∠BAC=3×45=125，
∵AR=AD=3，
∴DK=QR=AR−AQ=35，
∴DF的最小值为35，
∵35<115，
∴DF的最小值为35． 
【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，证明△ABE≌△AMF(AAS)，可得结论；
(2)利用勾股定理求出BE= 2，利用全等三角形的性质推出FM=BE= 2，再利用勾股定理求出CF即可；
(3)分两种情形：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H.证明点F在射线FM上运动，当点F与H重合时，DH的值最小，求出DH即可．当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠ABC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K.证明△ADE≌△ARF(SAS)，推出∠ADE=∠ARF=90°，推出点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，可得结论．