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2023年宁夏银川三中中考数学四模试卷（含解析）
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这是一份2023年宁夏银川三中中考数学四模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年宁夏银川三中中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式计算正确的是( )
A. 9=±3 B. (−4)2=−4
C. 18+ 2=4 2 D. 38= 2
2. 我国共有43个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一，据中国茶业流通协会提供的数据，我国茶叶市场每年有3×1011的国内生产总值，数据3×1011可以表示为( )
A. 30亿 B. 300亿 C. 3000亿 D. 30000亿
3. 如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0.若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数为( )
A. −6 B. 6 C. −3 D. 3
4. 在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象89分，工作能力93分，交际能力83分．已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为3：4：4，则李明的最终成绩是( )
A. 96.7分 B. 97.1分 C. 88.3分 D. 265分
5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长线上．若DE//CF，则∠BDF等于( )
A. 35°
B. 30°
C. 25°
D. 15°
6. 为执行“两免一补”政策，某地区2021年投入教育经费2500万元，预计2023年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x.则下列方程正确的是( )
A. 2500x2=3600 B. 2500(1+x)2=3600
C. 2500(1+x%)2=3600 D. 2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5,0)，sin∠COA=45，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，则k的值是( )
A. 10
B. 12
C. 48
D. 50
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为(−2,0).下列结论：①abc>0；②a=b；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c−1=0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是( )
A. ①③
B. ②④
C. ③④
D. ②③
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 分解因式：2x3−18xy2= ______ ．
10. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为______．
11. 对于平面内任意一个四边形ABCD，已知AB//CD，现从以下四个关系式：①AB=CD，②AD=BC，③AD//BC，④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是______ ．
12. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为 ．
13. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为______．
14. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为______ ．
15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．
16. 如图，在某居民楼AB的正前方8m处有一生活超市CD，在生活超市的顶端C处，测得居民楼端A的仰角为67°，测得居民楼底端B的俯角为22°，则居民楼AB的高度约为______ m.(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组：3x+1<2(x+2)−x5≤5x3+2．
18. (本小题6.0分)
先化简代数式(a+1a−1+1a2−2a+1)+aa−1÷aa−1，然后在0，1，2中选取一个你喜欢的数字代入求值．
19. (本小题6.0分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−4,0)，C(0,0)．
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O.
(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
20. (本小题6.0分)
随着中高考的改革，阅读的重要性也越来越凸显，阅读力成为学习力之一，某市开展了九年级一周阅读打卡活动，为了了解一周阅读打卡情况，随机抽查了某市九年级200名学生阅读打卡的天数，并根据抽查结果绘制了如下不完整的条形统计图：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)求条形统计图中阅读打卡天数为6天所对应的人数，及被调查的200名学生阅读打卡天数的平均数；
(2)被调查的学生阅读打卡天数的众数为______ ，中位数为______ ；
(3)在此次调查活动中，阅读的书籍种类包括：A：艺术类、B：科技类、C：文学类、D：体育类，请利用列表法或树状图法，求出甲、乙两名学生恰好选到同一类书籍的概率．
21. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若tan∠OAB=12，BD=2，求CE的长．
22. (本小题6.0分)
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
23. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，延长AC到点D，使得CD=CB，连接BD交⊙O于点E，过点E作BC的平行线交CD于点F．
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若AB=5，BE=3，求弦AC的长．
24. (本小题8.0分)
如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式y=−140x2+94x，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线y=−150x2+bx+c，当无人机飞越坡底上空时(即点D，与地面的距离为20米．
(1)求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过AO的中点C，交AB于点D.若点D的坐标为(−4,1)，且AD=3．
(1)求k的值；
(2)求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)设点E是线段CD上的动点(不与点C、D重合)，过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
26. (本小题10.0分)
如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE.已知AC=4，AB=5，求GE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 9=3，故此选项不合题意；
B. (−4)2=4，故此选项不合题意；
C. 18+ 2=4 2，故此选项符合题意；
D.38=2，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算、立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：3×1011=300000000000=3000亿，
故选：C．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查根据科学记数法表示较大的数写出原数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a+b=0，
∴a、b互为相反数，
∵A、B两点间的距离为6，
∴点A、B分别在距离原点3的位置上，
∴点A表示的数为−3．
故选：C．
根据a+b=0，A、B两点间的距离为6判断出点A、B分别表示的数即可．
本题考查数轴上点的位置以及相反数，解题关键是找到点A、B分别所在的位置．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求89，93，83这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
将李明的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数即可．
【解答】
解：根据题意得：
89×3+93×4+83×43+4+4≈88.3，
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE//CB，
∴∠BDE=∠ABC=45°，
∴∠BDF=45°−30°=15°．
故选：D．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得2500(1+x)2=3600，
故选：B．
利用预计该地区2023年投入教育经费的金额=该地区2021年投入教育经费的金额×(1+这两年投入教育经费的年平均增长百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5,0)，
∴OC=OA=5，
∵sin∠COA=45=CEOC．
∴CE=4，
∴OE= CO2−CE2=3
∴点C坐标(3,4)
∵若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，
∴k=3×4=12，
故选：B．
由菱形的性质和锐角三角函数可求点(3,4)，将点C坐标代入解析式可求k的值．
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
8.【答案】D
【解析】解：①由图可知：a>0，c<0，−b2a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①不符合题意．
②由题意可知：−b2a=−12，
∴a=b，故②符合题意．
③将(−2,0)代入y=ax2+bx+c，
∴4a−2b+c=0，
∵a=b，
∴2a+c=0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的最小值小于0，
令y=1代入y=ax2+bx+c，且直线y=1与二次函数图像有两个交点，
∴ax2+bx+c=1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
根据二次函数图象的对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后由对称轴可知a=b，从而可判断答案．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
9.【答案】2x(x+3y)(x−3y)
【解析】解：原式=2x(x2−9y2)=2x(x+3y)(x−3y)，
故答案为：2x(x+3y)(x−3y)．
先提公因式2x，再利用平方差公式分解因式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
10.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的应用，能根据知识点和已知得出a−1≠0，△≥0是解此题的关键，题目比较好，难度适中.根据一元二次方程有实数根得出a−1≠0，△≥0，求出a的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，
∴a−1≠0，△≥0，
△=(−2)2−4(a−1)×2=−8a+12≥0，
解得：a≤32且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
故答案为0．
11.【答案】12
【解析】解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，
其中只有①②、②③和③④可以判断ABCD是平行四边形，所以其概率为36=12．
故答案为：12．
本题是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
12.【答案】3
【解析】解：由旋转的性质可知，AD=AB，
∵∠B=60°，AD=AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD=AB=5，
∴CD=CB−BD=8−5=3，
故答案为：3．
根据旋转变换的性质得到AD=AB，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
13.【答案】y−x=5y2=x−2
【解析】解：根据题意得：y−x=5y2=x−2；
故答案为：y−x=5y2=x−2．
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺可知：绳子比木条长5尺得：y−x=5；绳子对折再量木条，木条剩余2尺可知：绳子对折后比木条短2尺得：y2=x−2；组成方程组即可．
本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
14.【答案】32π−2
【解析】解：由勾股定理得，OC=OD= 22+22=2 2，
则OC2+OD2=CD2，
∴∠COD=90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB=45°，
∴S扇形OCD=90π×(2 2)2360=2π，S扇形OBE=45π×22360=12π，S△OBD=12×2×2=2，
∴阴影部分的面积为2π−12π−2=32π−2．
故答案为：32π−2．
根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD=90°，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：根据三视图可知几何体是一个高为5，底面为直角三角形的三棱柱，
∴几何体的体积是12× 2× 2×3=3．
故答案为：3．
判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
本题考查由三视图判断几何体，求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．
16.【答案】22.1
【解析】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得：CE=BD=8m，
在Rt△AEC中，∠ACE=67°，
∴AE=CE⋅tan67°≈8×2.36=18.88(m)，
在Rt△BCE中，∠BCE=22°，
∴BE=CE⋅tan22°≈8×0.4=3.2(m)，
∴AB=AE+BE=18.88+3.2≈22.1(m)，
∴则居民楼AB的高度约为22.1m，
故答案为：22.1．
过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CE=BD=8m，然后分别在Rt△AEC和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：3x+1<2(x+2)①−x5≤5x3+2②，
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥−1514，
故故不等式组的解集为：−1514≤x<3．
【解析】利用解一元一次不等式的方法把各个不等式的解集求出来，再确定不等式组的解集即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式=[(a+1)(a−1)(a−1)2+1(a−1)2]÷aa−1
=a2(a−1)2⋅a−1a
=aa−1．
∵a≠0，a−1≠0，
∴a≠0且a≠1，
∴当a=2时，
原式=22−1=2．
【解析】先将代数式(a+1a−1+1a2−2a+1)÷aa−1进行化简，然后在0，1，2中选取一个数字代入求解即可．
本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，ΔA1B1C1为所求作的三角形；
(2)如图所示，△A₂B₂O为所求作的三角形；
(3)∵A2坐标为(3,1)，A3坐标为(4,−4)，
∴A2A3所在直线的解析式为：y=−5x+16，令y=0，
则x=165，
∴P点的坐标(165,0)．
【解析】(1)分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
(2)根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
(3)利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．
本题考查作图−平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
20.【答案】5 5
【解析】解：(1)阅读打卡天数为6天所对应的人数为：200−20−30−60−40=50(人)，
200名学生阅读打卡天数的平均数=1200×(3×20+4×30+5×60+6×50+7×40)=5.3(天)；
(2)被调查的学生阅读打卡天数的众数为5，中位数为5，
故答案为：5，5；
(3)列表如下，
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)
一共有16种情况，甲、乙两名同学恰好选到同一类书籍有4种情况，
∴甲、乙两名同学恰好选到同一类书籍的概率为416=14．
(1)用样本容量分别减去其它天数的人数可得到实践活动天数为6天所对应的人数；然后利用加权平均数的计算方法计算200名学生参加社会实践活动天数的平均数；
(2)利用众数和中位数的定义求解；
(3)利用列表法展示所有有12种等可能的结果数，找出恰好抽到A与B的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了中位数和众数、统计图．
21.【答案】(1)证明：∵AB//DC，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵AB=AD，
∴AB=DC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=12BD，
∴OB=1，
∵tan∠OAB=12，
∴OA=2，
∴AB= OB2+OA2= 5，
∴AC=2OA=4，
∵12AC⋅BD=AB⋅CE，
∴12×4×2= 5⋅CE．
∴CE=4 55．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠CAB=∠DCA，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质解答即可．
此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】解：(1)设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x+10)元，
由题意得，110x=120x+10，
解得x=110，
经检验x=110是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+10=120(元)，
答：甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元；
(2)设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100−a)件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100−a≤3a，且100−a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w=110a+120(100−a)=110a+1200−120a=−10a+12000，
∵−10<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=100时，w最小值为−1000+12000=11000(元)，
答：最低费用为11000元．
【解析】(1)设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x+10)元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
(2)设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100−a)件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DBC+∠D=2∠DBC=2∠CAE，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAC=2∠CAE，
∴∠CAE=∠BAE，
∴点E为弧BEC的中点，
连接OE，则OE⊥BC，
又∵EF//BC，
∴OE⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
(2)解：在△ABE和△DBA中，
∵∠BAE=∠D，∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ABDB=EBAB=AEDA，
∴AB2=BE⋅DB，
∴BD=253，DE=BD−BE=253−3=163，
∵CD=CB，
∴∠DBC=∠D，
又∵∠DBC=∠CAE，
∴∠D=∠CAE，
∴AE=DE=163，
∵ABDB=AEDA，
∴DA=809，
∵CD=CB=AB=5，
∴AC=DA−CD=359．
【解析】(1)根据三角形外角的性质可得∠ACB=2∠DBC=2∠CAE，再由AB=BC，可得∠BAC=∠ACB，从而可得∠CAE=∠BAE，再根据垂径定理可得OE⊥BC，再由EF//BC，即可证明结论；
(2)证明△ABE∽△DBA，可得AB2=BE⋅DB，再根据等腰三角形的性质可得AE=DE=163，再利用ABDB=AEDA，求得DA=809，即可求得结果．
本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质及垂径定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知，点B(−10,0)，D(0,20)，将B，D坐标分别代入y=−150x2+bx+c，
得：−150×(−10)−10b+c=0c=20，
解得：b=95c=20，
∴无人机飞行轨迹的函数表达式为y=−150x2+95x+20；
令y=0，则−150x2+95x+20=0
解得：x1=−10，x2=100，
∴x的取值范围为−10≤x≤100；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，x=30−10=20，
∵无人机与山坡的竖直距离d=−150x2+95x+20−(−140x2+94x)=1200x2−920x+20，
∴当x=20时，d=1200×202−920×20+20=13(米)，
答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米；
(3)安全，理由如下：
由(2)知，d=1200x2−920x+20=1200(x2−90x)+20=1200(x2−90x+452−452)+20=1200(x−45)2+798，
∵1200>0，
∴x=45时，d有最小值798>9，
∴无人机此次飞行是安全的．
【解析】(1)把点B(−10,0)，D(0,20)代入y=−150x2+bx+c，解答即可；
(2)根据已知求得无人机与山坡的竖直距离d=1200x2−920x+20，把x=20代入求得即可；
(3)无人机与山坡的竖直距离d=1200(x−45)2+798，d的最小值与9比较即可得解．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把D(−4,1)代入y=kx得；
1=k−4，
解得k=−4，
∴k的值为−4；
(2)∵D(−4,1)，AD=3，
∴A(−4,4)，
∵C为AO中点，
∴C(−2,2)，
设直线CD对应的函数解析式为y=tx+b，把C(−2,2)，D(−4,1)代入得：
−2t+b=2−4t+b=1，
解得t=12b=3，
∴直线CD对应的函数解析式为y=12x+3；
(3)设E(m,12m+3)，则F(m,−4m)，
∴EF=12m+3+4m，
∴S△OEF=12EF⋅|xE|=12×(12m+3+4m)×(−m)=−14(m+3)2+14，
∵−14<0，
∴当m=−3时，S△OEF取最大值，最大值为14，
∴△OEF面积的最大值是14．
【解析】(1)把D(−4,1)代入y=kx可得k的值为−4；
(2)由D(−4,1)，AD=3，C为AO中点，知C(−2,2)，再用待定系数法可得直线CD对应的函数解析式为y=12x+3；
(3)设E(m,12m+3)，即可得EF=12m+3+4m，S△OEF=12EF⋅|xE|=12×(12m+3+4m)×(−m)=−14(m+3)2+14，根据二次函数性质可得答案．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】解：(1)四边形ABCD是垂美四边形．
证明：如图2，连接AC、BD，
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．
(2)∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2．
(3)如图3，连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG=AC，AB=AE，
在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，
∴△GAB≌△CAE(SAS)，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4 2，BE=5 2，
∴GE2=CG2+BE2−CB2=73，
∴GE= 73．
【解析】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可；
(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
2023年宁夏银川三中中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式计算正确的是( )
A. 9=±3 B. (−4)2=−4
C. 18+ 2=4 2 D. 38= 2
2. 我国共有43个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一，据中国茶业流通协会提供的数据，我国茶叶市场每年有3×1011的国内生产总值，数据3×1011可以表示为( )
A. 30亿 B. 300亿 C. 3000亿 D. 30000亿
3. 如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0.若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数为( )
A. −6 B. 6 C. −3 D. 3
4. 在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象89分，工作能力93分，交际能力83分．已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为3：4：4，则李明的最终成绩是( )
A. 96.7分 B. 97.1分 C. 88.3分 D. 265分
5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长线上．若DE//CF，则∠BDF等于( )
A. 35°
B. 30°
C. 25°
D. 15°
6. 为执行“两免一补”政策，某地区2021年投入教育经费2500万元，预计2023年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x.则下列方程正确的是( )
A. 2500x2=3600 B. 2500(1+x)2=3600
C. 2500(1+x%)2=3600 D. 2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5,0)，sin∠COA=45，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，则k的值是( )
A. 10
B. 12
C. 48
D. 50
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为(−2,0).下列结论：①abc>0；②a=b；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c−1=0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是( )
A. ①③
B. ②④
C. ③④
D. ②③
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 分解因式：2x3−18xy2= ______ ．
10. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为______．
11. 对于平面内任意一个四边形ABCD，已知AB//CD，现从以下四个关系式：①AB=CD，②AD=BC，③AD//BC，④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是______ ．
12. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为 ．
13. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为______．
14. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为______ ．
15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．
16. 如图，在某居民楼AB的正前方8m处有一生活超市CD，在生活超市的顶端C处，测得居民楼端A的仰角为67°，测得居民楼底端B的俯角为22°，则居民楼AB的高度约为______ m.(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组：3x+1<2(x+2)−x5≤5x3+2．
18. (本小题6.0分)
先化简代数式(a+1a−1+1a2−2a+1)+aa−1÷aa−1，然后在0，1，2中选取一个你喜欢的数字代入求值．
19. (本小题6.0分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−4,0)，C(0,0)．
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O.
(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
20. (本小题6.0分)
随着中高考的改革，阅读的重要性也越来越凸显，阅读力成为学习力之一，某市开展了九年级一周阅读打卡活动，为了了解一周阅读打卡情况，随机抽查了某市九年级200名学生阅读打卡的天数，并根据抽查结果绘制了如下不完整的条形统计图：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)求条形统计图中阅读打卡天数为6天所对应的人数，及被调查的200名学生阅读打卡天数的平均数；
(2)被调查的学生阅读打卡天数的众数为______ ，中位数为______ ；
(3)在此次调查活动中，阅读的书籍种类包括：A：艺术类、B：科技类、C：文学类、D：体育类，请利用列表法或树状图法，求出甲、乙两名学生恰好选到同一类书籍的概率．
21. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若tan∠OAB=12，BD=2，求CE的长．
22. (本小题6.0分)
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
23. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，延长AC到点D，使得CD=CB，连接BD交⊙O于点E，过点E作BC的平行线交CD于点F．
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若AB=5，BE=3，求弦AC的长．
24. (本小题8.0分)
如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式y=−140x2+94x，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线y=−150x2+bx+c，当无人机飞越坡底上空时(即点D，与地面的距离为20米．
(1)求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过AO的中点C，交AB于点D.若点D的坐标为(−4,1)，且AD=3．
(1)求k的值；
(2)求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)设点E是线段CD上的动点(不与点C、D重合)，过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
26. (本小题10.0分)
如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE.已知AC=4，AB=5，求GE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 9=3，故此选项不合题意；
B. (−4)2=4，故此选项不合题意；
C. 18+ 2=4 2，故此选项符合题意；
D.38=2，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算、立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：3×1011=300000000000=3000亿，
故选：C．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查根据科学记数法表示较大的数写出原数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a+b=0，
∴a、b互为相反数，
∵A、B两点间的距离为6，
∴点A、B分别在距离原点3的位置上，
∴点A表示的数为−3．
故选：C．
根据a+b=0，A、B两点间的距离为6判断出点A、B分别表示的数即可．
本题考查数轴上点的位置以及相反数，解题关键是找到点A、B分别所在的位置．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求89，93，83这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
将李明的各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，求出加权平均数即可．
【解答】
解：根据题意得：
89×3+93×4+83×43+4+4≈88.3，
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE//CB，
∴∠BDE=∠ABC=45°，
∴∠BDF=45°−30°=15°．
故选：D．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得2500(1+x)2=3600，
故选：B．
利用预计该地区2023年投入教育经费的金额=该地区2021年投入教育经费的金额×(1+这两年投入教育经费的年平均增长百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5,0)，
∴OC=OA=5，
∵sin∠COA=45=CEOC．
∴CE=4，
∴OE= CO2−CE2=3
∴点C坐标(3,4)
∵若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，
∴k=3×4=12，
故选：B．
由菱形的性质和锐角三角函数可求点(3,4)，将点C坐标代入解析式可求k的值．
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
8.【答案】D
【解析】解：①由图可知：a>0，c<0，−b2a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①不符合题意．
②由题意可知：−b2a=−12，
∴a=b，故②符合题意．
③将(−2,0)代入y=ax2+bx+c，
∴4a−2b+c=0，
∵a=b，
∴2a+c=0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的最小值小于0，
令y=1代入y=ax2+bx+c，且直线y=1与二次函数图像有两个交点，
∴ax2+bx+c=1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
根据二次函数图象的对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后由对称轴可知a=b，从而可判断答案．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
9.【答案】2x(x+3y)(x−3y)
【解析】解：原式=2x(x2−9y2)=2x(x+3y)(x−3y)，
故答案为：2x(x+3y)(x−3y)．
先提公因式2x，再利用平方差公式分解因式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
10.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的应用，能根据知识点和已知得出a−1≠0，△≥0是解此题的关键，题目比较好，难度适中.根据一元二次方程有实数根得出a−1≠0，△≥0，求出a的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，
∴a−1≠0，△≥0，
△=(−2)2−4(a−1)×2=−8a+12≥0，
解得：a≤32且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
故答案为0．
11.【答案】12
【解析】解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，
其中只有①②、②③和③④可以判断ABCD是平行四边形，所以其概率为36=12．
故答案为：12．
本题是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
12.【答案】3
【解析】解：由旋转的性质可知，AD=AB，
∵∠B=60°，AD=AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD=AB=5，
∴CD=CB−BD=8−5=3，
故答案为：3．
根据旋转变换的性质得到AD=AB，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
13.【答案】y−x=5y2=x−2
【解析】解：根据题意得：y−x=5y2=x−2；
故答案为：y−x=5y2=x−2．
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺可知：绳子比木条长5尺得：y−x=5；绳子对折再量木条，木条剩余2尺可知：绳子对折后比木条短2尺得：y2=x−2；组成方程组即可．
本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
14.【答案】32π−2
【解析】解：由勾股定理得，OC=OD= 22+22=2 2，
则OC2+OD2=CD2，
∴∠COD=90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB=45°，
∴S扇形OCD=90π×(2 2)2360=2π，S扇形OBE=45π×22360=12π，S△OBD=12×2×2=2，
∴阴影部分的面积为2π−12π−2=32π−2．
故答案为：32π−2．
根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD=90°，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：根据三视图可知几何体是一个高为5，底面为直角三角形的三棱柱，
∴几何体的体积是12× 2× 2×3=3．
故答案为：3．
判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
本题考查由三视图判断几何体，求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．
16.【答案】22.1
【解析】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得：CE=BD=8m，
在Rt△AEC中，∠ACE=67°，
∴AE=CE⋅tan67°≈8×2.36=18.88(m)，
在Rt△BCE中，∠BCE=22°，
∴BE=CE⋅tan22°≈8×0.4=3.2(m)，
∴AB=AE+BE=18.88+3.2≈22.1(m)，
∴则居民楼AB的高度约为22.1m，
故答案为：22.1．
过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CE=BD=8m，然后分别在Rt△AEC和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：3x+1<2(x+2)①−x5≤5x3+2②，
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥−1514，
故故不等式组的解集为：−1514≤x<3．
【解析】利用解一元一次不等式的方法把各个不等式的解集求出来，再确定不等式组的解集即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式=[(a+1)(a−1)(a−1)2+1(a−1)2]÷aa−1
=a2(a−1)2⋅a−1a
=aa−1．
∵a≠0，a−1≠0，
∴a≠0且a≠1，
∴当a=2时，
原式=22−1=2．
【解析】先将代数式(a+1a−1+1a2−2a+1)÷aa−1进行化简，然后在0，1，2中选取一个数字代入求解即可．
本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，ΔA1B1C1为所求作的三角形；
(2)如图所示，△A₂B₂O为所求作的三角形；
(3)∵A2坐标为(3,1)，A3坐标为(4,−4)，
∴A2A3所在直线的解析式为：y=−5x+16，令y=0，
则x=165，
∴P点的坐标(165,0)．
【解析】(1)分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
(2)根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
(3)利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．
本题考查作图−平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
20.【答案】5 5
【解析】解：(1)阅读打卡天数为6天所对应的人数为：200−20−30−60−40=50(人)，
200名学生阅读打卡天数的平均数=1200×(3×20+4×30+5×60+6×50+7×40)=5.3(天)；
(2)被调查的学生阅读打卡天数的众数为5，中位数为5，
故答案为：5，5；
(3)列表如下，
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)
一共有16种情况，甲、乙两名同学恰好选到同一类书籍有4种情况，
∴甲、乙两名同学恰好选到同一类书籍的概率为416=14．
(1)用样本容量分别减去其它天数的人数可得到实践活动天数为6天所对应的人数；然后利用加权平均数的计算方法计算200名学生参加社会实践活动天数的平均数；
(2)利用众数和中位数的定义求解；
(3)利用列表法展示所有有12种等可能的结果数，找出恰好抽到A与B的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了中位数和众数、统计图．
21.【答案】(1)证明：∵AB//DC，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵AB=AD，
∴AB=DC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=12BD，
∴OB=1，
∵tan∠OAB=12，
∴OA=2，
∴AB= OB2+OA2= 5，
∴AC=2OA=4，
∵12AC⋅BD=AB⋅CE，
∴12×4×2= 5⋅CE．
∴CE=4 55．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠CAB=∠DCA，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质解答即可．
此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】解：(1)设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x+10)元，
由题意得，110x=120x+10，
解得x=110，
经检验x=110是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+10=120(元)，
答：甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元；
(2)设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100−a)件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100−a≤3a，且100−a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w=110a+120(100−a)=110a+1200−120a=−10a+12000，
∵−10<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=100时，w最小值为−1000+12000=11000(元)，
答：最低费用为11000元．
【解析】(1)设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x+10)元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
(2)设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100−a)件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DBC+∠D=2∠DBC=2∠CAE，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAC=2∠CAE，
∴∠CAE=∠BAE，
∴点E为弧BEC的中点，
连接OE，则OE⊥BC，
又∵EF//BC，
∴OE⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
(2)解：在△ABE和△DBA中，
∵∠BAE=∠D，∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ABDB=EBAB=AEDA，
∴AB2=BE⋅DB，
∴BD=253，DE=BD−BE=253−3=163，
∵CD=CB，
∴∠DBC=∠D，
又∵∠DBC=∠CAE，
∴∠D=∠CAE，
∴AE=DE=163，
∵ABDB=AEDA，
∴DA=809，
∵CD=CB=AB=5，
∴AC=DA−CD=359．
【解析】(1)根据三角形外角的性质可得∠ACB=2∠DBC=2∠CAE，再由AB=BC，可得∠BAC=∠ACB，从而可得∠CAE=∠BAE，再根据垂径定理可得OE⊥BC，再由EF//BC，即可证明结论；
(2)证明△ABE∽△DBA，可得AB2=BE⋅DB，再根据等腰三角形的性质可得AE=DE=163，再利用ABDB=AEDA，求得DA=809，即可求得结果．
本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质及垂径定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知，点B(−10,0)，D(0,20)，将B，D坐标分别代入y=−150x2+bx+c，
得：−150×(−10)−10b+c=0c=20，
解得：b=95c=20，
∴无人机飞行轨迹的函数表达式为y=−150x2+95x+20；
令y=0，则−150x2+95x+20=0
解得：x1=−10，x2=100，
∴x的取值范围为−10≤x≤100；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，x=30−10=20，
∵无人机与山坡的竖直距离d=−150x2+95x+20−(−140x2+94x)=1200x2−920x+20，
∴当x=20时，d=1200×202−920×20+20=13(米)，
答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米；
(3)安全，理由如下：
由(2)知，d=1200x2−920x+20=1200(x2−90x)+20=1200(x2−90x+452−452)+20=1200(x−45)2+798，
∵1200>0，
∴x=45时，d有最小值798>9，
∴无人机此次飞行是安全的．
【解析】(1)把点B(−10,0)，D(0,20)代入y=−150x2+bx+c，解答即可；
(2)根据已知求得无人机与山坡的竖直距离d=1200x2−920x+20，把x=20代入求得即可；
(3)无人机与山坡的竖直距离d=1200(x−45)2+798，d的最小值与9比较即可得解．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把D(−4,1)代入y=kx得；
1=k−4，
解得k=−4，
∴k的值为−4；
(2)∵D(−4,1)，AD=3，
∴A(−4,4)，
∵C为AO中点，
∴C(−2,2)，
设直线CD对应的函数解析式为y=tx+b，把C(−2,2)，D(−4,1)代入得：
−2t+b=2−4t+b=1，
解得t=12b=3，
∴直线CD对应的函数解析式为y=12x+3；
(3)设E(m,12m+3)，则F(m,−4m)，
∴EF=12m+3+4m，
∴S△OEF=12EF⋅|xE|=12×(12m+3+4m)×(−m)=−14(m+3)2+14，
∵−14<0，
∴当m=−3时，S△OEF取最大值，最大值为14，
∴△OEF面积的最大值是14．
【解析】(1)把D(−4,1)代入y=kx可得k的值为−4；
(2)由D(−4,1)，AD=3，C为AO中点，知C(−2,2)，再用待定系数法可得直线CD对应的函数解析式为y=12x+3；
(3)设E(m,12m+3)，即可得EF=12m+3+4m，S△OEF=12EF⋅|xE|=12×(12m+3+4m)×(−m)=−14(m+3)2+14，根据二次函数性质可得答案．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】解：(1)四边形ABCD是垂美四边形．
证明：如图2，连接AC、BD，
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．
(2)∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2．
(3)如图3，连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG=AC，AB=AE，
在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，
∴△GAB≌△CAE(SAS)，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4 2，BE=5 2，
∴GE2=CG2+BE2−CB2=73，
∴GE= 73．
【解析】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可；
(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
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