数学八年级下暑假培优专题训练（14）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（14），共42页。试卷主要包含了一次函数等内容，欢迎下载使用。

数学八年级下暑假培优专题训练
专题十四、一次函数
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目录
【考点一 正比例函数定义】..........................................1
【考点二 正比例函数的图像】........................................2
【考点三 正比例函数图像的性质】....................................3
【考点四 一次函数定义】............................................5
【考点五 一次函数解析式】..........................................6
【考点六 一次函数自变量和函数值】..................................8
【聚焦考点1】
正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
【典例剖析1】
【考点一 正比例函数定义】
【典例1-1】已知函数是正比例函数，则（　　）
A．1 B． C．3 D．3或1
【典例1-2】已知函数（是常数）是正比例函数，则________．
针对训练1
【变式1-1】若一次函数是正比例函数，则________．
【变式1-2】已知与成正比例，且当时，
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，求的值．
【变式1-3】已知y与x成正比例，且当时，
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【变式1-4】已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【变式1-5】已知y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当时，求y的取值范围．
【聚焦考点2】
“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象．
【典例剖析2】
【考点二 正比例函数的图像】
【典例2-1】已知正比例函数过点，点在正半轴上，又，且．
(1)求正比例函数解析式；
(2)求点的坐标．
【典例2-2】已知y是x的正比例函数，且当时，．
(1)求这个正比例函数的解析式；
(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．
针对训练2
【变式2-1】一个正比例函数的图象经过点，，求的值．
【变式2-2】小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．

(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；
(2)当时，与之间的函数关系式是________；
(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．
【变式2-3】已知正比例函数图像经过点，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．
【聚焦考点3】
正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小.
【典例剖析3】
【考点三 正比例函数图像的性质】
【典例3-1】对于平面直角坐标系中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．

(1)已知点，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点．    
①连接，求点D和线段的中立点E的横坐标的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值范围．
【典例3-2】一个正比例函数的图象经过点，，求的值．
【典例3-3】已知是的正比例函数，并且当时．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)判断点和点是否在这个函数的图象上．
针对训练3
【变式3-1】已知y是x的正比例函数，且当时，．
(1)求这个正比例函数的解析式；
(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．
【变式3-2】已知与成正比例，且当时，
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，求的值．
【聚焦考点4】
一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数
【典例剖析4】
【考点四 一次函数定义】
【典例4-1】已知一次函数
(1)当，为何值时，随的增大而增大？
(2)当，为何值时，函数图象与轴交于负半轴？
【典例4-2】已知一次函数．
(1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？
(2)当k取何值时，函数图象经过坐标原点？
(3)当k满足什么条件时，函数图象不经过第二象限？
【典例4-3】已知函数是关于的一次函数．

(1)求的值；
(2)在如图中画出该函数图象；
(3)的值随的值的增大而___________（填“增大”或“减小”）
针对训练4
【变式4-1】已知函数是关于的一次函数．
(1)求的值；
(2)判断点、是否在此函数图象上，并说明理由．
【变式4-2】已知一次函数．
(1)a为何值时，这条直线经过原点？
(2)a为何值时，y随着x的增大而减小？
(3)a为何值时，这条直线与y轴交于点（0，4）．
【聚焦考点5】
用待定系数法求一次函数的解析式
⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
【典例剖析5】
【考点五 一次函数解析式】
【典例5-1】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（　　）
x

0
1
2
3
y






A． B． C． D．
【典例5-2】下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计．
(1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式．
(2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？
(3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．
针对训练5
【变式5-1】某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）
（人
500
1000
1500
2000
2500
3000

（元



0
1000
2000

请回答下列问题：
(1)自变量为　　，因变量为　　；
(2)与之间的关系式是 　　；
(3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【变式5-2】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【变式5-3】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【聚焦考点6】
一次函数的性质
⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
一次函数的图象、性质与、的符号
一次函数

，符号








图象






性质
随的增大而增大
随的增大而减小
字母k，b的作用：k决定函数趋势，b决定直线与y轴交点位置，也称为截距.
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的平移：b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋b
b＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移个单位，对应解析式为：y＝kx－b
口诀：“上＋下－”
将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m）
将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m）
口诀：“左＋右－”
【典例剖析5】
【考点六 一次函数自变量和函数值】
【典例6-1】已知一次函数：．


0
1




1
3
(1)求直线的解析式：
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
  
(3)求表格中________；________；
(4)判断点是否在直线上，请说明理由．
【典例6-2】已知一次函数，．
(1)若方程的解是正数，求的取值范围．
(2)若以、为坐标的点在已知的两个一次函数图象上，求的值；
(3)若，求的值．
针对训练6
【变式6-1】函数的图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
  
(1)求y与x的函数关系式；
(2)①当时，求y的值；
②当时，求x的值．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，点A的横坐标为3，点A与点B关于y轴对称．
  
(1)求点B的坐标；
(2)将直线l沿y轴向下平移得到直线，与y轴交于点C，若的面积为3，求平移后的直线的函数表达式．
【变式6-3】如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值数据．
输入
…
－6
－4
－2
0
2
…
输出
…
－6
－2
2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：
  
(1)当输入的值为时，输出的值为______．
(2)当时，求该函数的表达式．
(3)当输出的值为时，求输入的值．
【变式6-4】已知一次函数（，是常数，且）的图像过与两点．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点在该一次函数图像上，求的值．
(3)把的图像向下平移个单位后得到新的一次函数图像，直接写出新函数图像对应的解析式．





























数学八年级下暑假培优专题训练
专题十四、一次函数（解析版）
【考点一 正比例函数定义】
【典例1-1】已知函数是正比例函数，则（　　）
A．1 B． C．3 D．3或1
【答案】A
【分析】利用正比例函数定义可得且，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：且，解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
【典例1-2】已知函数（是常数）是正比例函数，则________．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义即可得．
【详解】由正比例函数的定义得：且
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟记定义是解题关键
针对训练1
【变式1-1】若一次函数是正比例函数，则________．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义可得，即可求得结果．
【详解】解：∵次函数是正比例函数，
∴，即，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的常数项为0是解题的关键
【变式1-2】已知与成正比例，且当时，
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可得．
【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
则与之间的函数解析式为．
（2）解：将代入，
得，
解得：．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
【变式1-3】已知y与x成正比例，且当时，
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将代入解析式，即可得解．
【详解】（1）∵y与x成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：把代入得：．
【点睛】本题考查正比例函数的定义．用待定系数法求出解析式是解题的关键
【变式1-4】已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)y的值为
【分析】（1）设，得到，待定系数法求出解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，
∴，
∴；
（2）把代入，得．
∴当时，y的值为．
【点睛】本题考查求函数解析式以及求函数值．熟练掌握正比例函数的定义，求出函数解析式，是解题的关键．
【变式1-5】已知y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当时，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
（2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．
【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为，
把，代入，得，
∴y与x之间的函数解析式为；
（2）解：当时，，
当时，，
，
∴y 随x的增大而增大，
∴当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．
【考点二 正比例函数的图像】
【典例2-1】已知正比例函数过点，点在正半轴上，又，且．
(1)求正比例函数解析式；
(2)求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设正比例函数的解析式为，再把代入即可求出的值；
（2）设出点坐标，表示出，然后根据三角形面积公式得到关于的方程，解方程得到n值，结合点P的位置，可得结果．
【详解】（1）解：设正比例函数为，
，
，解得，
正比例函数的解析式为：．
（2）设，
，
，
．
，
，
或，又点在正半轴上，
∴
点坐标为．
【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积，熟知待定系数法是解答此题的关键．
【典例2-2】已知y是x的正比例函数，且当时，．
(1)求这个正比例函数的解析式；
(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．
【答案】(1)正比例函数的解析式是
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可得；
（2）由正比例函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是，
∵当时，，
∴，
解得，
∴正比例函数的解析式是；
（2）解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
针对训练2
【变式2-1】一个正比例函数的图象经过点，，求的值．
【答案】
【分析】将点代入解析式，求出的值，再将点代入解析式，求出的值即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征．利用待定系数法，正确的求出正比例函数的解析式，是解题的关键．
【变式2-2】小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．

(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；
(2)当时，与之间的函数关系式是________；
(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
【分析】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米；
（2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；
（3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程．
【详解】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了 分钟．
故答案为 ，；
（2）设函数关系式为，图像过
可得：，
解得：，
所以解析式为：，
故答案为；
（3）爸爸休息之后行走的速度是米分钟，
妈妈到达缆车终点的时间：分，
此时爸爸比妈妈迟到分，
妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米，
故答案为；．
【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．
【变式2-3】已知正比例函数图像经过点，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．
【答案】(1)
(2)不在
(3)
【分析】（1）将代入，利用待定系数法求解；
（2）将代入（1）中所求解析式，看y值是否为即可；
（3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解．
【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点，
时，

解得
这个函数的解析式为；
（2）解：将代入中得：，
点不在这个函数图象上；
（3）解：，
随x的增大而减小，
又
．
【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比例系数判断函数图象的增减性
【考点三 正比例函数图像的性质】
【典例3-1】对于平面直角坐标系中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．

(1)已知点，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点．    
①连接，求点D和线段的中立点E的横坐标的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据“中立点”的定义求解即可；
（2）①连接，取中点，求出的横坐标，连接，取中点，根据中点坐标公式求出的横坐标，即可得出对答案；
②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可．
【详解】（1）∵点，若点P是点A和原点的中立点，
∴，
故答案为：；
（2）① 连接，取中点，如图，
∵，
∴点的横坐标，
连接，取中点，
∵，
∴，
∴；

②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点的纵坐标是，代入，得
∴，即点的横坐标是．
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是-2，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了新定义，中点坐标公式，正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键．
【典例3-2】一个正比例函数的图象经过点，，求的值．
【答案】
【分析】将点代入解析式，求出的值，再将点代入解析式，求出的值即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征．利用待定系数法，正确的求出正比例函数的解析式，是解题的关键．
【典例3-3】已知是的正比例函数，并且当时．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)判断点和点是否在这个函数的图象上．
【答案】(1)
(2)点不在函数的图象上，点在函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求解析式求出当时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：设正比例函数表达式为
把，代入得，解得，
∴正比例函数的表达式为；
（2）解：把代入，得
把代入，得
∴点不在函数的图象上，点在函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数解析式是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】已知y是x的正比例函数，且当时，．
(1)求这个正比例函数的解析式；
(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．
【答案】(1)正比例函数的解析式是
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可得；
（2）由正比例函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是，
∵当时，，
∴，
解得，
∴正比例函数的解析式是；
（2）解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
【变式3-2】已知与成正比例，且当时，
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可得．
【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
则与之间的函数解析式为．
（2）解：将代入，
得，
解得：．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
【考点四 一次函数定义】
【典例4-1】已知一次函数
(1)当，为何值时，随的增大而增大？
(2)当，为何值时，函数图象与轴交于负半轴？
【答案】．(1)，b为任意实数
(2)
【分析】（1）根据一次函数的性质进行求解即可；
（2）根据一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数中，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴当，b为任意实数时，随的增大而增大；
（2）解：∵一次函数的函数图象与轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴当时，函数图象与轴交于负半轴．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（k为常数，），当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数图象与轴交于正半轴；当时，函数图象与轴交于负半轴．
【典例4-2】已知一次函数．
(1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？
(2)当k取何值时，函数图象经过坐标原点？
(3)当k满足什么条件时，函数图象不经过第二象限？
【答案】(1)当时，函数y的值随x的值的增大而增大
(2)当时，函数图象经过坐标原点
(3)不存在k的值，使函数图象不经过第二象限
【分析】（1）根据一次函数的性质，当时，y随x增大而增大
（2）若函数图像经过坐标原点，则该函数是正比例函数；
（3）若一次函数图象不经过第二象限，则且．
【详解】（1）解：一次函数，当时，y随x的增大而增大，
解得：，
即当时，函数y的值随x的值的增大而增大．
（2）解：一次函数，当时，函数图象经过坐标原点，
解得：，
即当时，函数图象经过坐标原点．
（3）解：对于一次函数，
当且时，函数图象不经过第二象限，
解不等式组得：无解，
即不存在k的值，使函数图象不经过第二象限．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟记知识点是解题关键．
【典例4-3】已知函数是关于的一次函数．

(1)求的值；
(2)在如图中画出该函数图象；
(3)的值随的值的增大而___________（填“增大”或“减小”）
【答案】(1)0
(2)见解析
(3)减小
【分析】根据一次函数的定义，可得答案；
找出与轴、轴交点坐标，连线即可；
根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：由是关于的一次函数，得
，
解得，
即函数解析式为，
（2），
当时，，当时，，
过和画一条直线即可，

（3），
的值随的值的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，条件是：、为常数，，自变量次数为，也考查了一次函数的增减性，解决此题的关键是正确求出m的值．
针对训练4
【变式4-1】已知函数是关于的一次函数．
(1)求的值；
(2)判断点、是否在此函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点不在此函数图象上，点在此函数图象上，理由见解析
【分析】（1）先根据一次函数的定义求出m的值；
（2）把和代入一次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在一次函数图象上，否则不在．
【详解】（1）解：因为函数是关于的一次函数，
所以，所以．
又因为当时，，不合题意，舍去；
所以的值为．
（2））由（1）可知，此函数的表达式为．
当时，，
所以点不在此函数图象上；    
当时，，
所以点在此函数图象上．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．
【变式4-2】已知一次函数．
(1)a为何值时，这条直线经过原点？
(2)a为何值时，y随着x的增大而减小？
(3)a为何值时，这条直线与y轴交于点（0，4）
【答案】(1)0
(2)a＜-2
(3)-1
【分析】（1）由直线经过原点，可得出-4a=0，解之即可得出结论；
（2）由y随着x的增大而减小，可得出a+2＜0，解之即可得出结论；
（3）由直线经过点（0，4），可得出-4a=4，解之即可得出结论．
（1）
∵直线y=（a+2）x-4a经过原点，
∴-4a=0，
解得：a=0．
∴当a=0时，这条直线经过原点．
（2）
∵y随着x的增大而减小，
∴a+2＜0，
解得：a＜-2．
∴当a＜-2时，y随着x的增大而减小．
（3）
当x=0时，y=-4a=4，
解得：a=-1．
∴当a=-1时，这条直线与y轴有交点（0，4）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由直线过原点，找出-4a=0；（2）根据一次函数的性质，找出a+2＜0；（3）由直线经过点（0，4），找出-4a=4．
【考点五 一次函数解析式】
【典例5-1】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（　　）
x

0
1
2
3
y






A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入，及求出与之对应的y值，再对照表格中的y值即可得出结论．
【详解】解：将，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为．
当时，；
当时，，；
当时，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
【典例5-2】下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计．
(1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式．
(2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？
(3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．
【答案】(1)类：，类：
(2)
(3)类，理由见解析
【分析】（1）直接根据题意列代数式即可；
（2）将两解析式联立求解即可；
（3）分别将代入解析式求出y的值比较即可．
【详解】（1）由题意可知，类：，类：
（2）因为，解得
所以当通话时间等于时，两类收费方式所缴话费相等；
（3）当时，，
因为，所以应该选择类缴费方式．
【点睛】本题考查了列一次函数解析式并求值，正确列出两解析式是解题的关键
针对训练5
【变式5-1】某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）
（人
500
1000
1500
2000
2500
3000

（元



0
1000
2000

请回答下列问题：
(1)自变量为　　，因变量为　　；
(2)与之间的关系式是 　　；
(3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】(1)每月的乘车人数，公交车每月的利润
(2)
(3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元
【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；
（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；
（3）把x=4000代入函数关系式求出y的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．
故答案为∶ 每月的乘车人数，公交车每月的利润．
（2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，
每位乘客坐一次车需要（元，
即函数关系式为：
．
（3）解：当时，
（元．
答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．
【点睛】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．
【变式5-2】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【答案】(1)S=-4x+40，0 (2)P（7，3）
【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；
（2）把S=12代入函数解析式即可．
【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，
∴y=10-x，
∴OA=8，P（x，10-x）
∴S=×8(10-x)=-4x+40．
又∵x>0，且10-x>0，
∴0 （2）当S=12时，即12=40-4x，
解得x=7，
∴y=10-7=3，
∴S=12时，P点坐标（7，3）．
【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算。
【变式5-3】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【答案】（1），y是x的一次函数；（2）
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为：（km），即；
当火车到达甲地时，即
∴，即火车行驶1.5h到达甲地
∴
y是x的一次函数；
（2）根据（1）的结论，得：．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
【考点六 一次函数自变量和函数值】
【典例6-1】已知一次函数：．


0
1




1
3
(1)求直线的解析式：
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
  
(3)求表格中________；________；
(4)判断点是否在直线上，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，2
(4)点不在直线上，理由见解析
【分析】（1）由表格可知，直线经过点，，利用待定系数法求解即可；
（2）在坐标系中画出点与，连接两点所在直线即可；
（3）把时与时分别代入求解即可；
（4）求得当时，，即可判断．
【详解】（1）解：由表格可知，直线经过点，，
将，，代入，得：，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）在坐标系中画出点与，连接两点所在直线，如图：
  
（3）∵，
当时，，即：；
当时，，可得，即：；
故答案为：，2；
（4）点不在直线上，理由如下：
当时，，
∴点不在直线上．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是待定系数法求函数解析式
【典例6-2】已知一次函数，．
(1)若方程的解是正数，求的取值范围．
(2)若以、为坐标的点在已知的两个一次函数图象上，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到关于的不等式，解得即可；
（2）根据题意得到，①②即可求得，将原式分解因式得出原式，再将代入求出即可；
（3）通过恒等变形即可得到，从而求得，代入计算即可．
【详解】（1）解：的解是正数，
，
解得，
，
解得；
（2）以、为坐标的点在已知的两个一次函数图象上，

①②得，，
，



；
（3），，，


，
，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解一元一次不等式以及一元一次方程，因式分解的应用以及代数式求值问题等，考点较多
针对训练6
【变式6-1】函数的图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
  
(1)求y与x的函数关系式；
(2)①当时，求y的值；
②当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)①；②或.
【分析】（1）设直线的解析式为，当，函数图象经过和，将两点代入即可求解；设直线的解析式为，当，函数图象经过和，将两点代入即可求解；
（2）①当时，此时，代入求解；②当时，分别代入中进行求解.
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
由图象可知：当，函数图象经过和，代入得
，
解得，
此时y与x的关系为：；
设直线的解析式为，
当，函数图象经过和，代入得

解得，
此时y与x的关系为：.
综上所述，y与x的关系为；
（2）解：①当时，，此时求y的值为：；
②当时，时，，
解得；
时，，
解得.
综上所述，当时，x的值为或.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象解析式的求法，求一次函数解析式中自变量或函数值，读懂图象获取相信息是解答关键.
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，点A的横坐标为3，点A与点B关于y轴对称．
  
(1)求点B的坐标；
(2)将直线l沿y轴向下平移得到直线，与y轴交于点C，若的面积为3，求平移后的直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标；
（2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式．
【详解】（1）解：把代入直线：，得：，
∴点，
∵点A与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为；
（2）解：由，可知．
如图，设与轴的交点为D，
  
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线是由直线l平移得到，
∴可设直线的函数表达式为，
①当点C在上方时，点C的坐标为，将代入，得，
∴直线的函数表达式为；
②当点在下方时，点的坐标为，
将代入，得，
∴直线的函数表达式为，
综上，平移后的直线的函数表达式为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键．
【变式6-3】如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值数据．
输入
…
－6
－4
－2
0
2
…
输出
…
－6
－2
2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：
  
(1)当输入的值为时，输出的值为______．
(2)当时，求该函数的表达式．
(3)当输出的值为时，求输入的值．
【答案】(1)24
(2)当时，该函数的表达式为
(3)输出的值为时，输入的值为
【分析】（1）把代入，即可得到结论；
（2）将，代入解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【详解】（1）当输入的值为时，输出的值为
故答案为：24．
（2）将，代入
得
解得
∴当时，该函数的表达式为．
（3）把代入
得
解得
把代入
得
解得（不合题意舍去）
∴输出的值为时，输入的值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
【变式6-4】已知一次函数（，是常数，且）的图像过与两点．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点在该一次函数图像上，求的值．
(3)把的图像向下平移个单位后得到新的一次函数图像，直接写出新函数图像对应的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将，代入得到关于k、b的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）把点代入（1）求得的一次函数解析式，求得的值即可；
（3）根据图像平移规律，可知向下平移3个单位，应该是原解析式减3，据此确定平移后的解析式即可．
【详解】（1）解：∵一次函数（是常数，）的图像过，两点，
∴，得，
∴该一次函数的表达式是．
（2）解：∵点在该一次函数的图像上，
∴，解得，．
∴的值是．
（3）解：把向下平移3个单位，则：，即．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、点在一次函数上的性质、平移的性质等知识点，掌握图形平移性质及一次函数的性质是解答本题的关键．