数学八年级下暑假培优专题训练（10）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（10），共52页。试卷主要包含了菱形等内容，欢迎下载使用。

数学八年级下暑假培优专题训练
专题十、菱形
【专题导航】
目录
【考点一 利用菱形的判定性质求角度】.....................................1
【考点二 利用菱形的判定性质求线段长度】.................................4
【考点三 利用菱形的判定性质求面积】.....................................6
【考点四 利用菱形的判定性质求最值】.....................................7
【考点五 利用菱形的判定性质证明】.......................................9
【聚焦考点】
性质：
1.在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形具有平行四边形的一切性质；
3.菱形的四条边都相等；
4.菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线分别平分一组对角;
5.菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形还是中心对称图形;
6.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算  方法计算菱形面积S=底×高
判定：
1. 定义：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4. 四条边都相等的四边形是菱形
【典例剖析1】
【考点一 利用菱形的判定性质求角度】
【典例1-1】如图1，在四边形中，已知，和均为锐角，点P是对角线上一点交于点Q，交于S，四边形是平行四边形．
  
(1)当点P与点B重合时，图1变为图2，若，求证．
(2)对于图1，若四边形也是平行四边形，此时，你能推出四边形还应满足什么条件？
【典例1-2】如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，．

(1)实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)应用与求解：若，求的长．
【典例1-3】如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求：

(1)的度数．
(2)的度数．
针对训练1
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．

(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
【变式1-2】阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
一次有意义的动手实践活动——在格点图中巧作角平分线
实践背景
在一次动手实践课上，老师提出如下问题：在如图1所示由边长为1的小正方形组成的格点图中，点，，都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出的角平分线．

成果展示
小明、小亮展示了如下作法：
小明：如图2，在格点图中取格点，．连接，交于点．作出射线．
∵四边形是矩形，∴（依据1）．
∵，∴平分．
小亮：如图3，在格点图中取格点．连接，与小正方形的边交于点．则．
∵，．
∴（依据2）．
∴，即平分．
学习任务：
(1)实践反思：
①请填写出上述材料中的依据1和依据2．
依据1：______；依据2：______．
②请根据小亮的作法，证明．
(2)创新再探
请你根据实践背景问题要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作图过程中的所取得的点，作出的角平分线（不写作法，不需要说明理由）．

【变式1-3】如图，在△ABC中．

(1)在边BC上求作一点D，使点D到AB、AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在平面内把△ABC沿BC翻折，翻折后A点的对应点标为点，连接，求证：点D也在线段上．
【典例剖析2】
【考点二 利用菱形的判定性质求线段长度】
【典例2-1】如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【典例2-2】已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点，连接，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
【典例2-3】如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
  
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，，求的值．
针对训练2
【变式2-1】4．如图，在中，，点D为的中点，连接，过点C作，且，连接，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，当，时，求的长．
【变式2-2】如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
  
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，则的长为______
【典例剖析3】
【考点三 利用菱形的判定性质求面积】
【典例3-1】如图，矩形的对角线、相交于点O，，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【典例3-2】如图，O为矩形对角线的交点，，．
  
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的周长和面积．
【典例3-3】如图，在中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若于点，且，，求的长．
针对训练3
【变式3-1】如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交延长线于点．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
【变式3-2】如图，在中，，，是的中点，过点作交于点，延长至，使，连接，，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长
【典例剖析4】
【考点四 利用菱形的判定性质求最值】
【典例4-1】如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（    ）

A．18 B．28 C． D．
【典例4-2】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点M、N分别是线段、上的动点，连接，且满足，点P是的中点，连接、、，则面积的最小值为___________．
  
【典例4-3】如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为________．

针对训练4
【变式4-1】四边形由两个等宽的矩形纸条以如图方式叠合而成．
  
(1)四边形是菱形吗？证明你的结论；
(2)若两张矩形纸条全等，长为9，宽为3，则四边形的最大面积为多少？
【变式4-2】如图，四边形是菱形，，点是边上一动点，在边上，恰好使成为等边三角形，连接．
  
(1)求证：；
(2)当菱形的面积为时，求的周长最小值．
【典例剖析5】
【考点五 利用菱形的判定性质证明】
【典例5-1】如图，在中，，点是的中点，连接，点为的中点，过作交延长线于，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，若菱形的面积为12，请直接写出四个面积为6的三角形．
【典例5-2】如图，过平行四边形的对角线与的交点O的直线分别交边，于点P，Q
  
(1)过点O作直线垂线，分别交边，于点M，N（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)顺次连接点P，M，Q，N．求证：四边形是菱形
【典例5-3】如图，在矩形中，，，连接．作点B关于直线的对称点，作射线交边于点E．如图1，作交于点F．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)求线段的长．
针对训练5
【变式5-1】如图，是平面内一条线段，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，连接交线段于点G，点D是射线（不与G点重合）上一个动点，过点D，点B分别作的垂线交于点C，连接．
  
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)四边形能否为菱形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
【变式5-2】如图1，四边形是菱形，点E，点F分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点G，H．
  
(1)求证：；
(2)如图2，连接，，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明你的理由；
(3)在图2中，如果，，试探究在点E，F运动过程中，如果四边形成为正方形，则的长度是多少？（请直接写出答案）
【变式5-3】如图1，四边形是矩形，是矩形的一条对称轴，点E、F分别在边和上，过点B折叠矩形，折痕为，使点A落在的点N处，
  
(1)求的度数
(2)将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，得到四边形，求证：四边形是菱形
(3)如图3，点Q在线段上移动，做等边三角形，P、Q在的同侧，请你连接得到，的度数是否发生改变？请说明理由

















数学八年级下暑假培优专题训练
专题十、菱形（解析版）
【考点一 利用菱形的判定性质求角度】
【典例1-1】如图1，在四边形中，已知，和均为锐角，点P是对角线上一点交于点Q，交于S，四边形是平行四边形．
  
(1)当点P与点B重合时，图1变为图2，若，求证．
(2)对于图1，若四边形也是平行四边形，此时，你能推出四边形还应满足什么条件？
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）利用菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质证明即可．
（2）利用平行线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质证明即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
  
∴，
∵，
∴．
（2）四边形还应满足和．理由如下：
∵四边形是平行四边形，四边形也是平行四边形，
∴，
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴Q、R、D三点一线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
  
∴，
∴，
故四边形还应满足和．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各条性质是解题的关键．
【典例1-2】如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，．

(1)实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)应用与求解：若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用圆规在上作，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形；
（2）先根据平行四边形的性质和已知条件证明，再证是等边三角形，求出，再证四边形是菱形，推出，最后根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图所示：以点O为圆心，长为半径作弧，与线段的交点即为点F，连接，．

（2）解：由（1）知，
中，E为的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
中，，
四边形是菱形，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握菱形、平行四边形、等腰三角形的性质．
【典例1-3】如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求：

(1)的度数．
(2)的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可；
（2）连接，根据菱形的对角线互相平分得出，，结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）连接，如图所示：

∵四边形和四边形都是菱形，，，
∴，，
∴．
【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
针对训练1
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．

(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)15°
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BO=DO，∠OBF=∠ODE，证明△BOF≌△DOE（ASA），得到BF=DE，证得四边形EBFD为平行四边形，又因为EF⊥BD，得到四边形EBFD为菱形；
（2）根据菱形的性质得到，所以，利用平行线的性质得到，求解即可得到∠ABE的度数．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，BO=DO，
∴∠OBF=∠ODE，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
在△BOF和△DOE中，

∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE，
∵BFDE，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD为菱形；
（2）
∵四边形EBFD为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键．
【变式1-2】阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
一次有意义的动手实践活动——在格点图中巧作角平分线
实践背景
在一次动手实践课上，老师提出如下问题：在如图1所示由边长为1的小正方形组成的格点图中，点，，都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出的角平分线．

成果展示
小明、小亮展示了如下作法：
小明：如图2，在格点图中取格点，．连接，交于点．作出射线．
∵四边形是矩形，∴（依据1）．
∵，∴平分．
小亮：如图3，在格点图中取格点．连接，与小正方形的边交于点．则．
∵，．
∴（依据2）．
∴，即平分．
学习任务：
(1)实践反思：
①请填写出上述材料中的依据1和依据2．
依据1：______；依据2：______．
②请根据小亮的作法，证明．
(2)创新再探
请你根据实践背景问题要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作图过程中的所取得的点，作出的角平分线（不写作法，不需要说明理由）．

【答案】(1)①矩形的对角线互相平分；HL；②见解析
(2)见解析

【分析】（1）①根据矩形的性质，等腰三角形的性质即可得出结论；
②证明，可得，根据，可得，即可求解．
（2）作菱形四边形，则对角线平分对角
（1）
解：实践反思：①（1）矩形的对角线互相平分；HL．
②如图，在格点图中取点，．
∵，，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．

（2）
创新再探：作法不唯一．如下：

取格点，使得，
作菱形，则是的角平分线

【点睛】本题考查了网格中作角平分线，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定是解题的关键．

【变式1-3】如图，在△ABC中．

(1)在边BC上求作一点D，使点D到AB、AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在平面内把△ABC沿BC翻折，翻折后A点的对应点标为点，连接，求证：点D也在线段上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】为要使点D到AB、AC距离相等，则点D在∠BAC的平分线上，所以作∠BAC的解平分线与BC的交点即是所要不熟作的点D．
（1）
解：如图所示，点D就是所要求作的点，
以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB、AC于E、F，分别以E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于G，作射线AG交BC于D，所以AG是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC距离相等，所以点D就是所要求作的点．

（2）
证明：如图，
∵△ABC沿BC翻折得△，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴平分∠BAC，
由（1）可知AD也平分∠BAC，
∴点D也在线段上．

【点睛】本题考查尺规基本作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，菱形的判定与性质，翻折和性质，熟练掌握作已知角的平分线，角平分线的性质，菱形的判定与性质是解题的关键．
【考点二 利用菱形的判定性质求线段长度】
【典例2-1】如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解答；
(2)．
【分析】（1）先根据平行的性质判断出，再根据角平分线的性质进而判断出，得出，从而得到四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【典例2-2】已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点，连接，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是菱形，，，，
∴，，，，
在中，
，，
在中，
，，
∴，
在中，
，
∴的长为．
  
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识．掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【典例2-3】如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
  
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)的值为
【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，可证得结论；
（2）过作于，在中可求得和的长，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长．
【详解】（1）证明：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，且，∴四边形为平行四边形；
∵
∴四边形为菱形；
（2）解：如图，过P作于G，
  
∵，，，且四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
即BP的值为．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键，在求的值时注意构造直角三角形．
针对训练2
【变式2-1】4．如图，在中，，点D为的中点，连接，过点C作，且，连接，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，当，时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质，证明四边形是平行四边形，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，推出，进而证明四边形是菱形，然后利用勾股定理，求得的长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
在中，，点D为的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
．
  
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．
【变式2-2】如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
  
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，则的长为______
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，即是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案是：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
【考点三 利用菱形的判定性质求面积】
【典例3-1】如图，矩形的对角线、相交于点O，，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据矩形的性质证得，再证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定可证得结论；
（2）根据菱形的性质和含30度的直角三角形的性质求得，，进而可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接交于H，
  
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，则，
∴，，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
【典例3-2】如图，O为矩形对角线的交点，，．
  
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的周长和面积．
【答案】(1)四边形是菱形．理由见解析
(2)周长是12，面积是
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再证明是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论；
（2）先利用勾股定理求得，再根据矩形的性质和菱形的性质，结合三角形的中线性质求解即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形．理由：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，又，
∴，
，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
四边形的周长为．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、三角形的中线性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
【典例3-3】如图，在中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若于点，且，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（2）根据菱形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵．
∴四边形是平行四边形．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵菱形的对角线，，，
∴，，，
∴，
在中，由等面积法得：
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交延长线于点．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴的长为．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，等角对等边等知识．掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-2】如图，在中，，，是的中点，过点作交于点，延长至，使，连接，，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）由是的中点，可得，由，可证四边形是平行四边形，由，可证平行四边形是菱形；
（2）由题意知，在中，由勾股定理，得，计算求的值，在中，由勾股定理，得，计算求的值，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，，四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理，得，
∴在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【考点四 利用菱形的判定性质求最值】
【典例4-1】如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（    ）

A．18 B．28 C． D．
【答案】D
【分析】过点B作，交的延长线于点，根据的最值分别得到，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再利用面积公式计算．
【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点，
当M运动到点D，N运动到点B时，最大，
∴，
当时，最小，
∴，
∴，
在菱形中，，设，
则，
在中，，即，
解得：，即，
∴菱形的面积为，
故选D．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
【典例4-2】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点M、N分别是线段、上的动点，连接，且满足，点P是的中点，连接、、，则面积的最小值为___________．
  
【答案】17
【分析】过点O作于点H，以点O为圆心，为半径作圆，交于，由菱形的性质可知，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，故点P在内以O为圆心，2为半径的圆弧上运动，当P运动到时，最小．结合菱形的性质可知，，，根据勾股定理可得，再利用等面积法可得OH=，进而可得，然后结合三角形面积公式即可求得的值．
【详解】解：如图，过点O作于点H，以点O为圆心，为半径作圆，交于，
  
∵菱形中，对角线，相交于点O，
∴，，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
故点P在内以O为圆心，2为半径的圆弧上运动，当P运动到时，最小．
由勾股定理可得，
∵
∴OH=，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形，勾股定理，最短距离问题，三角形面积．根据菱形的性质、直角三角形的性质与垂线段最短，得出点P在内以O为圆心，2为半径的圆弧上运动，当P运动到时，最小是解题的关键．
【典例4-3】如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为________．

【答案】
【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，根据矩形的性质得到，则当时，最小，的值最小，然后根据三角形的面积公式求出此时的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当取最小值时，的值最小，
∴当时，最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
针对训练4
【变式4-1】四边形由两个等宽的矩形纸条以如图方式叠合而成．
  
(1)四边形是菱形吗？证明你的结论；
(2)若两张矩形纸条全等，长为9，宽为3，则四边形的最大面积为多少？
【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)15
【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得出结论；
（2）先确定菱形的面积时，两张纸片叠放的位置，再利用勾股定理和菱形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下：
如图，过点作于点，过点作于点，
  
四边形由两个等宽的矩形纸条叠合而成，
，
四边形是平行四边形，
在和中，，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：当这两张纸片按如图所示放置时，菱形的面积最大，
  
设，则，
在中，，即，
解得，
，
则四边形的最大面积为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的判定是解题关键．
【变式4-2】如图，四边形是菱形，，点是边上一动点，在边上，恰好使成为等边三角形，连接．
  
(1)求证：；
(2)当菱形的面积为时，求的周长最小值．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）证明，即可解答；
（2）求出菱形的边长，当时，最小，的周长最小，求出最小值即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形且，
∴，，
为等边三角形，
∴，，，
∵成为等边三角形
∴，，
∴
在与中，
，
∴
∴；
（2）解：为等边三角形，
要使得的周长最小时，最小，此时，
设为x，
，为等腰三角形，
，
，
∵菱形的面积为，
，
解得，
，
，
的最小周长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，熟练相关性质是解题的关键．
【考点五 利用菱形的判定性质证明】
【典例5-1】如图，在中，，点是的中点，连接，点为的中点，过作交延长线于，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，若菱形的面积为12，请直接写出四个面积为6的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)、、、
【分析】（1）首先由E是的中点，，证得，即可得，又由在中，，D是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形；
（2）根据平行线之间的距离处处相等、等高模型和菱形的性质即可解决问题；
【详解】（1）证明：如图，∵，
∴，
∵E是的中点，是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴；
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）∵，而的边上的高即为的边上的高，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴的边上的高等于的边上的高，
∵，
∴．
综上：面积为6的三角形有：、、、．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质和三角形的面积，掌握全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键．
【典例5-2】如图，过平行四边形的对角线与的交点O的直线分别交边，于点P，Q
  
(1)过点O作直线垂线，分别交边，于点M，N（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)顺次连接点P，M，Q，N．求证：四边形是菱形
【答案】．(1)图见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作线段的垂直平分线即可作出图形；
（2）证明和得到，，可证明四边形是平行四边形，再由可证明四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求作；
  
（2）解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、作垂线等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质、证明三角形全等是解答的关键．
【典例5-3】如图，在矩形中，，，连接．作点B关于直线的对称点，作射线交边于点E．如图1，作交于点F．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先由，，证明四边形为平行四边形，再由垂直平分，证明，则，所以，则四边形为菱形；
（2）根据勾股定理得，则，可求得线段的长度．
【详解】（1）证明：如图1，连接，

∵四边形是矩形，点P与点C重合，
∴，则，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵点B与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得，
∴线段的长是．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解决问题得关键．
针对训练5
【变式5-1】如图，是平面内一条线段，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，连接交线段于点G，点D是射线（不与G点重合）上一个动点，过点D，点B分别作的垂线交于点C，连接．
  
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)四边形能否为菱形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）证明，即可解答；
（2）根据直角三角形中，斜边大于直角边，即可解答．
【详解】（1）证明：由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形不能成为菱形
理由如下：
在中，，
∴
，
所以四边形不能成为菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟知相关性质是解题的关键．
【变式5-2】如图1，四边形是菱形，点E，点F分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点G，H．
  
(1)求证：；
(2)如图2，连接，，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明你的理由；
(3)在图2中，如果，，试探究在点E，F运动过程中，如果四边形成为正方形，则的长度是多少？（请直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角可得，根据全等三角形的判定和性质可得；
（2）根据菱形的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，同理可得，由（1）可知，根据菱形的判定即可证明四边形是菱形；
（3）连接，菱形的性质可得，，根据正方形的性质可得，根据等角对等边可得，根据30度角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得，即可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）四边形是菱形，
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
同理：，
又∵由（1）可知：，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）连接，如图：
  
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵四边形成为正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，正方形的性质，等角对等边，30度角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键．
【变式5-3】如图1，四边形是矩形，是矩形的一条对称轴，点E、F分别在边和上，过点B折叠矩形，折痕为，使点A落在的点N处，
  
(1)求的度数
(2)将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，得到四边形，求证：四边形是菱形
(3)如图3，点Q在线段上移动，做等边三角形，P、Q在的同侧，请你连接得到，的度数是否发生改变？请说明理由
【答案】(1)60°
(2)见解析
(3)的度数不发生改变，理由见解析
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，即可得；根据折叠的性质可得，由可得，根据直角三角形的两锐角互余得；
（2）由折叠的性质可得，根据矩形的性质，，，可得是等边三角形，则，由折叠得，，可得出，即可得出四边形是菱形．
（3）连接，，由（1）得：为等边三角形；可得，，则，证明，，可得，证明，从而可得答案．
【详解】（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，
再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
（2）由折叠的性质得：；
四边形是矩形，
，
，，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
（3）的度数不会发生改变；理由如下：
连接，，
  
由（1）得：为等边三角形；
∴，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数不会发生改变．
【点睛】本题考查四边形综合题、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质、菱形的判定等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．