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    北京市东城区2023届高三数学综合练习试题(Word版附解析)

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    这是一份北京市东城区2023届高三数学综合练习试题(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    高三数学综合练习
    第一部分(选择题 共40分)
    一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,满分40分.在每小题给出的四个选项中只有一个正确答案)
    1. 已知集合,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据给定条件,求出函数的定义域、值域,再利用并集的定义求解作答.
    【详解】集合,即,
    ,则,所以.
    故选:B
    2. 已知向量,且,则m=
    A. −8 B. −6
    C. 6 D. 8
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.
    【详解】∵,又,
    ∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=8.
    故选D.
    【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.
    3. 下列函数中,是奇函数且在定义域内单调递减的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据函数的奇偶性,基本初等函数的单调性,逐项判断即可.
    【详解】对于A,函数为奇函数,但在定义域上函数不单调,故A不符合;
    对于B,的定义域为,,则为偶函数,故B不符合;
    对于C,的定义域为,,则为奇函数,又函数在上均为增函数,故在上为增函数,故C不符合;
    对于D,的定义域为,,则为奇函数,又函数在上为减函数,在上为增函数,故在上为减函数,故D符合.
    故选:D.
    4. 若实数、满足,则下列不等式中成立的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】对于D,结合对数函数的单调性即可判断;对于ABC,取,即可判断.
    【详解】由题意,,所以,故D正确;
    当,时,,但,,,故A,B,C错误.
    故选:D.
    5. 已知的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为( )
    A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据各项系数和求出,再由二项展开式通项公式求解即可.
    【详解】当时,,解得,
    则的展开式第项,
    令,解得,所以,
    故选:B
    6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,若是线段的中点,则( )
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    【答案】D
    【解析】
    【分析】依据题意可知线段为抛物线的通径可得结果.
    【详解】由题可知:线段为抛物线的通径
    所以
    故选:D
    7. 已知为等比数列,为其前项和,若,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设等比数列的公比为,根据已知条件求出、的值,再利用等比数列的求和公式可求得的值.
    【详解】设等比数列的公比为,则,则,所以,,
    因为,即,,解得,
    因此,.
    故选:C.
    8. 已知非零向量,,则“与共线”是“”的( )
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】
    【分析】取为方向相反的单位向量,得到不充分,根据得到,得到必要性,得到答案.
    【详解】若与共线,取为方向相反的单位向量,则,,
    ,不充分;
    若,则,整理得到,
    若且,设夹角为,则,即,即,即,故与共线,必要性成立.
    综上所述:“与共线”是“”的必要不充分条件.
    故选:B
    9. 血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:

    根据图中提供信息,下列关于成人使用该药物的说法中:
    ①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用;
    ②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒;
    ③每向隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用;
    ④首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒.
    其中正确说法的个数是( )
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据图象,结合题意,逐个判断即可.
    【详解】①根据图象可知,首次服用该药物1单位约10分钟后,血液浓度达到最低有效浓度,药物发挥治疗作用,故正确;
    ②根据图象可知,首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值,由图象可知两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒,故正确;
    ③根据图象可知,每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使血药浓度大于最低有效浓度,药物持续发挥治疗作用,故正确;
    ④根据图象可知,首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,会发生药物中毒,故错误.
    故选:C.
    10. 已知是圆上一个动点,且直线与直线相交于点P,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹,再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
    【详解】依题意,直线恒过定点,直线恒过定点,
    显然直线,因此,直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆,
    其方程为:,圆心,半径,而圆C的圆心,半径,如图:

    ,两圆外离,由圆的几何性质得:,,
    所以的取值范围是:.
    故选:B
    【点睛】思路点睛:判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代数法.
    第二部分(非选择题 共110分)
    二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
    11. 已知a,b均为实数.若,则_____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
    【详解】,故,.
    故答案为:.
    12. 已知、分别是双曲线的左、右焦点,是上的一点,且,则的周长是___________,双曲线的离心率是___________.
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】利用双曲线定义求出的值,可求得的值,进而可求得的周长以及该双曲线的离心率的值.
    【详解】因为,则,
    由双曲线的定义可得,则,
    则,所以,,
    故的周长为,
    该双曲线的离心率为.
    故答案为:;.
    13. 在中,,,,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由余弦定理求解,由同角函数基本关系求出,代入面积公式求解即可.
    【详解】由余弦定理可得,
    解得,则,
    又,
    所以.
    故答案为:
    14. 若函数在上取到最大值A,则的最小值为___________.若函数的图象与直线在上至少有1个交点,则的最小值为__________.
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】利用正弦函数的图象和周期即可求解.
    【详解】要使在区间上取到最大值A,
    则,,则的最小值为;
    又函数与在上至少有1个交点,
    即函数在区间上至少出现1次最小值,
    ,解得:,则的最小值是.
    故答案为:;.
    15. 在数列中,对任意的都有,且,给出下列四个结论:
    ①对于任意的,都有;
    ②对于任意,数列不可能为常数列;
    ③若,则数列为递增数列;
    ④若,则当时,.
    其中所有正确结论的序号为_____________.
    【答案】③④
    【解析】
    【分析】对数列递推关系变形得到,得到与同号,当时,,①错误;
    当时,推导出此时为常数列,②错误;
    作差法结合时,,求出数列为递增数列,③正确;
    由与同号,得到当,有,结合作差法得到为递减数列,④正确.
    【详解】因为,所以,
    因为任意的都有,所以,
    所以与同号,当,则时,都有,①错误;
    当时,,所以,同理得:,此时为常数列,②错误;

    由A选项知:若,则,
    所以,
    则数列为递增数列,③正确;
    由与同号,当,则时,都有,
    且此时,
    所以数列为递减数列,
    综上:若,则当时,,④正确.
    故答案为:③④
    三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
    16. 已知函数.在下面两个条件中选择其中一个,完成下面两个问题:
    条件①:在图象上相邻的两个对称中心的距离为;
    条件②:的一条对称轴为.
    (1)求ω;
    (2)将的图象向右平移个单位(纵坐标不变),得到函数的图象,求函数在上的值域.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由三角函数的恒等变换对进行化简,再分别由条件①②求的值.
    (2)由三角函数的平移变换得的解析式,再由函数的定义域求值域即可.
    【小问1详解】



    选①:图象上相邻两个对称中心的距离为,
    则,则,
    选②:一条对称轴为,
    则,
    ,又,则,
    于是
    【小问2详解】
    将的图象向右移个单位长度(纵坐标不变),
    得到函数的图象



    的值域为.
    17. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,,E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD,点F是棱PC的中点,平面BEF与棱PD相交于点G.

    (1)求证:;
    (2)若PC与AB所成的角为,求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用平行四边形的判定定理和性质,结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可;
    (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.
    【小问1详解】
    证明:因为E为AD中点,
    所以.
    又因为BC=1,所以DE=BC.在梯形ABCD中,DEBC,
    所以四边形BCDE为平行四边形.所以BECD.
    又因为BE⊄平面PCD,且CD⊂平面PCD,
    所以BE平面PCD.
    因为BE⊂平面BEF,平面BEF∩平面PCD=FG,
    所以BEFG.
    .
    【小问2详解】
    因为PE⊥平面ABCD,且AE,BE⊂平面ABCD,
    所以PE⊥AE,且PE⊥BE.
    因为四边形BCDE为平行四边形,∠ADC=90°,
    所以AE⊥BE.
    以E为坐标原点,如图建立空间直角坐标系E﹣xyz.

    则.
    设,
    所以,.
    因为PC与AB所成角为,
    所以.
    所以.
    则,.
    所以,,.
    设平面BEF的法向量为,
    则,即
    令,则,
    所以.
    所以.
    所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为.
    18. 某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分,场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如表;场外有数万名观众参与评分,将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组,绘成频率分布直方图如图:
    专家
    A
    B
    C
    D
    E
    评分
    9.6
    9.5
    9.6
    8.9
    9.7

    (1)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率;
    (2)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数;从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率,Y表示评分不小于9分的人数;试求E(X)与E(Y)的值;
    (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分:方案一:用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分,方案二:分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数,用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.
    【答案】(1);(2)见解析;(3).
    【解析】
    【分析】(1)由频率和为1可得a的值,用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率;
    (2)计算概率可得分布列和期望.
    (3)由两组数据的比重可直接作出判断..
    【详解】(1)由图知,某场外观众评分不小于9的概率是.
    (2)X的可能取值为2,3.P(X=2)=;P(X=3)=.
    所以X的分布列为
    X
    2
    3
    P


    所以E(X)=2×.
    由题意可知,,所以E(Y)=np=.
    (3).
    【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布,属中档题.
    19. 已知函数.
    (I)当时,求曲线在处的切线方程;
    (Ⅱ)若当时,,求取值范围.
    【答案】(1)(2)
    【解析】
    【详解】试题分析:(Ⅰ)先求的定义域,再求,,,由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为(Ⅱ)构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.
    试题解析:(I)的定义域为.当时,

    曲线在处的切线方程为
    (II)当时,等价于
    设,则

    (i)当,时,,故在上单调递增,因此;
    (ii)当时,令得
    .
    由和得,故当时,,在单调递减,因此.
    综上,的取值范围是
    【考点】 导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性
    【名师点睛】求函数的单调区间的方法:
    (1)确定函数y=f(x)的定义域;
    (2)求导数y′=f′(x);
    (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
    (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

    20. 已知椭圆的左、右顶点分别为,,离心率为.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设点为线段上的动点,过作线段的垂线交椭圆于不同的两点和,为线段上一点(异于端点).当时,求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,可得,再由离心率可得,再由椭圆中的关系即可得到,从而得到椭圆的方程;
    (2)根据题意,设出点的坐标,然后表示出点的坐标,再由列出方程,即可得到结果.
    【小问1详解】
    由已知,可得,则,因为,所以,
    且,所以椭圆的方程为.
    【小问2详解】

    设,则,由已知可得,
    设,则,,则,
    所以,,即,
    又因,所以,
    所以,即,
    化简可得,又因为,所以,
    所以,解得或(舍),
    所以.
    【点睛】关键点睛:本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系,难度较难,解答本题的关键是利用好与之间的关系,然后由列出方程,再通过计算,即可求解.
    21. 对非空数集,,定义,记有限集的元素个数为.
    (1)若,,求,,;
    (2)若,,,当最大时,求中最大元素的最小值;
    (3)若,,求的最小值.
    【答案】(1);(2)13;(3)15
    【解析】
    【分析】
    (1)根据新定义求出,进而可得答案;
    (2)设,,当A中元素与B中元素的差均不相同时,可取到最大值,进而可求出最大值,再通过得到,可得中最大元素的最小值;
    (3)对非空数集T,定义运算,首先确定A中不同的元素的差均不相同,B中不同的元素的差均不相同,由可得的最小值,然后验证最小值可以取到即可.
    【详解】解:(1),,

    ;
    (2)设,,
    ①,
    ,当A中元素与B中元素的差均不相同时等号成立,
    所以最大值为16;
    ②当时,A中元素与B中元素的差均不相同,

    又因为,


    则,
    综上,最大值为16,A中最大元素的最小值为13;
    (3)对非空数集T,定义运算,
    ①,
    ,当且仅当时取等号,
    又因为,
    所以A中不同的元素的差均不相同,
    同理,B中不同的元素的差均不相同,

    因为,

    ②令,,
    所以,A中不同元素的差均不相同,B中不同元素的差均不相同,
    所以,
    经检验,符合题意,
    综上的最小值为15.
    【点睛】本题考查集合的新定义问题,正确理解题意是解题的关键,考查学生分析问题解决问题的能力,是一道难度较大的题目.




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