北京市东城区2022-2023学年高三数学下学期综合练习（一）试题（Word版附答案）

北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（一）

       数 学                  2023.3

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，且，则可以为

（A）                            （B） 

（C）                            （D）

（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则

（A）                                     （B）             

（C）                                     （D）

（3）抛物线的准线方程为

（A）                                     （B）              

  （C）                                     （D）

（4）已知，则的最小值为

 （A）                                      （B）              

   （C）                                        （D）

（5）在△中，，，，则

（A）                                   （B）        

（C）                                      （D）

（6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且， ，则“”是

“”的

    （A）充分而不必要条件                           （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件                                （D）既不充分也不必要条件

（7）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为

（A）                                      （B）         

（C）                                    （D）

（8）已知正方形的边长为 2，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则

的取值范围是

（A）                                     （B）             

（C）                                      （D）

（9）已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为

（A）                                        （B）          

（C）                                         （D）

（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为

 （A）                                         （B）              

   （C）                                         （D）

第二部分（非选择题   共110分）

二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。

（11）函数的定义域是_______．

（12）在的展开式中，的系数为，则实数=_______．

（13）已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为_______．

（14）已知数列各项均为正数，，为其前项和.若是公差为的等差数列，则_______，       .

（15）已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点,点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则       .

给出下列四个结论：

①；

②图2中，；

③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；

④图2中，是△及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于.

其中所有正确结论的序号是       .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期;

（Ⅱ）若是函数的一个零点，求的最小值.

（17）（本小题13分）

甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：

（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；

（Ⅱ）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求的分布列及数学期望；

（Ⅲ）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望与（Ⅱ）中的大小．（结论不要求证明）

（18）（本小题15分）

 如图，在长方体中，，和交于点，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

（i）平面与平面的夹角的余弦值；

（ii）点到平面的距离.

条件①：；

条件②：与平面所成角为.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．  

（19）（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；

（Ⅱ）设直线为曲线的切线，当时，记直线的斜率的最小值为，求的最小值；

（Ⅲ）当时，设，，求证：⫋.

（20）（本小题14分）

已知椭圆的一个顶点为，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点．

设椭圆的左顶点为，求的值.

（21）（本小题15分）

已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：

①；

②.

则称这样的数表具有性质.

（Ⅰ）若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；

（Ⅱ）对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； 

（Ⅲ）对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.

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              数学参考答案及评分标准       2023.3

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B （2）A （3）D （4）B          （5）C 

（6）B （7）A （8）D （9）B         （10）C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）     

（11）                          （12）               

（13）  (答案不唯一)       （14）

（15）   ② ③

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）因为===

所以的最小正周期为                                 ………………6分

（Ⅱ）由题设，，由是该函数零点可知，

，即.

故或，

解得或.

因为，所以的最小值为.                                         ………13分                            

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为． …3分

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3.

；

；

则随机变量的分布列为：

故随机变量的数学期望．               ………11分

（Ⅲ）．                                                    ………13分

（18）（共15分）

解：（Ⅰ）连接，，.

因为长方体中,∥且，

所以四边形为平行四边形.

所以为的中点，

在△中，因为，分别为和的中点，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.                 ………………6分

（II）选条件①：.

(ⅰ)连接.

因为长方体中，所以.

在△中,因为为的中点，，

所以.

如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,，

则，，，，，，.

所以，，.

设平面的法向量为，

则即

令，则，，可得.

设平面的法向量为，

则即

令，则，，所以.

设平面与平面的夹角为 ，

则

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

(ⅱ)因为，

所以点到平面的距离为.                        ………………15分

选条件②：与平面所成角为.

连接.

因为长方体中，平面，平面，

所以.

所以为直线与平面所成角，即.

所以△为等腰直角三角形.

因为长方体中，所以.

所以.

以下同选条件① .   

（19）（共15分）

解：（Ⅰ）当时，，定义域为.

，

令，得，

当时，，

当时，，

所以的单调递增区间为.                              ………………5分

（Ⅱ）令，

   则.

当时，令，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以当时，最小值为.

当时，的最小值为1，

所以的最小值为.                        ………………11分

（III）由（Ⅱ）知在上单调递减，在上单调递增,

         又，，

        所以，，

，

所以⫋.                                                  ………………15分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由题设，得解得.

所以椭圆的方程为．                         ………………5分

（Ⅱ）直线的方程为．

由  得．

由，得．

设，则，．

直线的方程为．

令，得点的横坐标为．

同理可得点的横坐标为．

．

因为点坐标为，则点为线段的中点，

所以．                     ………………14分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.     …………5分

（Ⅱ）若当取最大值时，存在，使得.

由数表具有性质可得为奇数，

不妨设此时数表为.

①若存在，使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，

调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.

②若对任意的，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.

综上可知，存在正整数，使得.                    ………………10分

（Ⅲ）当n为偶数时，令，对任意具有性质数表，

一方面，，

因此．①

另一方面，，

因此.   ②

记．

由①+②得.

又，可得.

构造数表

可知数表具有性质，且.

综上可知，当n为偶数时，的最大值为.      ………………15分