2023年宁夏中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年宁夏中考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −23的绝对值是(    )
A. −23 B. 23 C. 32 D. −32
2. 下面是由七巧板拼成的图形(只考虑外形，忽略内部轮廓)，其中轴对称图形是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是(    )
A. 5a−3a=2 B. a6÷a3=a2
C. (a−b)2=a2−b2 D. (a2b)3=a6b3
4. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数x(单位：次)，按劳动次数分为4组：0≤x<3，3≤x<6，6≤x<9，9≤x<12，绘制成如图所示的频数分布直方图.从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是(    )

A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.32
5. 估计 23的值应在(    )
A. 3.5和4之间 B. 4和4.5之间 C. 4.5和5之间 D. 5和5.5之间
6. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是(    )
A. 2− 3 B. 2 3−2 C. 2 D. 2 3
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是(    )

A. y1随x的增大而减小
B. b C. 当x<2时，y1>y2
D. 关于x，y的方程组ax−y=−bmx−y=−n的解为x=2y=3
8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2.点D在BC上，且BD：CD=1：3.连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE.则△BDE的面积是(    )


A. 14 B. 38 C. 34 D. 32
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算：1x−1+3x−1= ______ ．
10. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC.则图中阴影部分的面积是______ ．


11. 方程x2−4x−m=0有两个相等的实数根，则m的值为______ ．
12. 如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是______ ．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°那么∠CDE= ______ °.


14. 如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB= 2，则点C表示的数是______ ．
15. 如图是某种杆秤.在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点.当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡.秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡.测得x与y的几组对应数据如下表：
x/克
0
2
4
6
10
y/毫米
10
14
18
22
30
由表中数据的规律可知，当x=20克时，y= ______ 毫米．


16. 如图是由边长为1的小正方形组成的9×6网格，点A，B，C，D，E，F，G均在格点上，下列结论：
①点D与点F关于点E中心对称；
②连接FB，FC，FE，则FC平分∠BFE；
③连接AG，则点B，F到线段AG的距离相等．
其中正确结论的序号是______ ．


三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−2)2×2−1−( 3−1)+tan45°．
18. (本小题6.0分)
解不等式组1−2x−12>3x−14①2−3x≤4−x②．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4−2(2x−1)>3x−1…第1步
4−4x+2>3x−1…第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7…第3步
x>1…第4步
任务一：该同学的解答过程第______ 步出现了错误，错误原因是______ ；
不等式①的正确解集是______ ；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
19. (本小题6.0分)
如图，已知EF//AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形．

20. (本小题6.0分)
“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：5201.6x=175x+30，解得x=5，经检验x=5是原方程的解．
乙：520x=1.6×175x−30，解得x=65，经检验x=65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示______ ，乙所列方程中的x表示______
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
21. (本小题6.0分)
给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式V=43πr3，π取3)；
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．

22. (本小题6.0分)
如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？(传送带厚度忽略不计)


23. (本小题8.0分)
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：
七年级86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
36.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______ 年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
24. (本小题8.0分)
如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC．
(1)求证：AC平分∠BAE；
(2)若AC=5，tan∠ACE=34，求⊙O的半径．

25. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q.依题意补全图形，当MQ+ 2CQ的值最大时，求点M的坐标．


26. (本小题10.0分)
综合与实践：
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现
如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
(1)操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE= ______ °，设AC=1，BC=x，那么AE= ______ (用含x的式子表示)；
(2)进一步探究发现：底BCAC= 5−12，这个比值被称为黄金比.在(1)的条件下试证明：底BC腰AC= 5−12；
拓展应用
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的△ABC是黄金三角形．
如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1.求这个菱形较长对角线的长．




答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：|−23|=23．
故选：B．
利用绝对值的定义可得结论．
本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解决本题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
结合轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】D 
【解析】解：A、5a−3a=2a，故A不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故B不符合题意；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，故C不符合题意；
D、(a2b)3=a6b3，故D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：10+2010+20+14+6=0.6，
故选：A．
根据条形统计图，求出周家庭劳动次数不足6次的学生数占总人数的几分之几即可．
本题考查频数分布直方图，概率的定义，理解概率的定义是解决问题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵4.52=20.25，52=25，
且20.25<23<25，
∴4.5< 23<5，
故选：C．
运用算术平方根的知识进行估算、求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根进行求解．

6.【答案】B 
【解析】解：在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°=∠ACD，
∴AD=CD=2cm，
在Rt△BCD中，∠BCD=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BC=2CD=4cm，
∴BD= BC2−CD2= 42−22=2 3(cm)，
∴AB=BD−AD=(2 3−2)(cm)．
故选：B．
根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：A：由图象得y1随x的增大而减小，
故A正确的；
B：由图象得：n 故B是错误的；
C：由图象得：当x<2时，y1>y2，
故C是正确的；
D：由图象得：ax−y=−bmx−y=−n的解为：x=2y=3，
故D是正确的；
故选：B．
根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠EAB+∠BAD=90°，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C=∠ABC=45°，
∴∠EAB=∠CAD，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴∠C=∠ABE=45°，CD=BE，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°，
∵BC=2，BD：CD=1：3，
∴BD=12，CD=BE=32，
∴S△BDE=12BD⋅BE=12×12×32=38，
故选：B．
根据旋转的性质得出AD=AE，∠DAE=90°，再根据SAS证明△EAB≌△DAC得出∠C=∠ABE=45°，CD=BE，得出∠EBC=90°，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据SAS证明△EAB≌△DAC是解题的关键．

9.【答案】4x−1 
【解析】解：原式=1+3x−1
=4x−1．
故答案为：4x−1．
利用同分母分式的加法法则运算即可．
本题主要考查了分式的加减法，掌握同分母分式的加法法则运算是解题的关键．

10.【答案】2 
【解析】解：过点E作EF⊥BC于点F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，AD//BC，
∴EF=AB=2，
∴S△BCE=12BC⋅EF=12×2×2=2，
∵S正方形ABCD=BC2=22=4，
∴S阴影=S正方形ABCD−S△BCE=4−2=2，
故答案为：2．
过点E作EF⊥BC于点F，先根据平行线间的距离相等得出EF=AB，然后求出△BCE的面积，正方形ABCD的面积，即可求出阴影部分的面积．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟知平行线间的距离相等是解题的关键．

11.【答案】−4 
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2+4m=0，
解得m=−4，
即m的值为−4．
故答案为：−4．
根据根的判别式的意义得到Δ=(−4)2+4m=0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

12.【答案】16 
【解析】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有12种等可能出现的结果，其中两次数字之和为4的有2种，
所有所选方格中数字之和为4的概率是212=16，
故答案为：16．
利用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．

13.【答案】70 
【解析】解：∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠B，
∵∠B=12∠AOC=12×140°=70°，
∴∠CDE=70°．
故答案为：70．
由圆内接四边形的性质，得到∠B+∠ADC=180°，由邻补角的性质得到∠CDE+∠ADC=180°，因此∠CDE=∠B，由圆周角定理求出∠B=70°，得到∠CDE=70°．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出∠CDE=∠B．

14.【答案】2 2−1 
【解析】解：∵点A表示的数是−1，线段AB= 2，
∴点B表示的数是−1+ 2，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC=AB= 2，
∴点C表示的数是：−1+ 2+ 2=2 2−1，
故答案为：2 2−1．
先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．

15.【答案】50 
【解析】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，
当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2=14(毫米)，
当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4=18(毫米)，
当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6=22(毫米)，
当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8=26(毫米)，
当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10=22(毫米)，
……
所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为(10+2x)毫米，
当放入x=20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20=50(毫米)，
故答案为：50．
观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为(10+2x)毫米，把x=20代入求值即可．
此题主要是考查了列代数式，代数式求值，能够根据题意列出代数式是解答此题的关键．

16.【答案】①②③ 
【解析】解：①连接DF，如图：

由图可知，点D与点F关于点E中心对称，故①正确；
②如图：

由SSS可知△BFC≌△EFC，
∴∠BFC=∠EFC，FC平分∠BFE，故②正确；
③取AG上的格点M，N，连接BM，FN，如图，

由正方形性质可知∠AMB=∠FNG=90°，
∴B到AG的距离为BM的长度，F到AG的距离为FN的长度，
而BM=FN，
∴点B，F到线段AG的距离相等，故③正确；
∴正确结论是①②③；
故答案为：①②③．
根据中心对称概念，全等三角形判定与性质，点到直线的距离等逐个判断．
本题考查中心对称，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握中心对称的概念，能熟练应用全等三角形的判定定理．

17.【答案】解：原式=4×12− 3+1+1
=4− 3． 
【解析】本题涉及实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查了实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，掌握实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值是关键．

18.【答案】4  不等式的基本性质3应用错误  x<1 
【解析】解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x<1；
任务二：−3x+x≤4−2，
−2x≤2，
x≥−1，
∴该不等式组的解集为−1≤x<1．
任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可；
任务二：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．

19.【答案】证明：∵EF//AC，
∴∠EDC+∠C=180°，
又∵∠EDC=∠CBE，
∴∠CBE+∠C=180°，
∴EB//DC，
∵DE//BC，BE//CD，
∴四边形BCDE是平行四边形． 
【解析】根据平行线的性质和判定证得EB//DC，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得EB//DC是解决问题的关键．

20.【答案】B型玩具的单价  A型玩具的数量 
【解析】解：(1)根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；
故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；
(2)设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200−a)个，
根据题意得：8a+5(200−a)≤1350，
a≤116263，
∴整数a最大值是116，
答：最多可购进A型玩具116个．
(1)根据所列方程即可判断出x的意义；
(2)设可购进A型玩具a个，则8a+5(200−a)≤1350，解不等式即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．

21.【答案】解：(1)设函数关系式为p=kV，
根据图象可得：k=pV=120×0.04=4.8，
∴p=4.8V，
∴当p=150时，V=4.8150=0.032，
∴43×3r3=0.032，
解得：r=0.2，
∵k=4.8>0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 
【解析】(1)设函数关系式为p=kV，用待定系数法可得p=4.8V，即可得当p=150时，V=4.8150=0.032，从而求出r=0.2；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．

22.【答案】解：如图，设传送带上点A处的粮袋上升到点B，构建Rt△ABC，

则AC//MN，
由弧长公式得：AB=140π×10180=709π(cm)，
∵AC//MN，
∴∠BAC=∠NMA=30°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=12AB=35π9(cm)，
答：传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π9cm． 
【解析】设传送带上点A处的粮袋上升到点B，构建Rt△ABC，则AC//MN，由弧长公式求出AB的长，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，弧长公式以及含30°角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

23.【答案】85  87  七 
【解析】解：(1)把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=84+862=85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b=87，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
(2)510×200×610×200=220(人)，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
(3)我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；
(2)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
(3)两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：连接OC，

∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC//AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠EAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
(2)解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AE⊥DC，
由(1)得：∠EAC=∠OAC，
∴∠ABC=∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan∠ACE=34，
∴ACBC=5BC=34，
∴BC=203，
在Rt△ABC中，AB= AB2+BC2=253，
∴OA=256． 
【解析】(1)连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC//AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
(2)连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE=90°，再利用(1)的结论可得tan∠ABC=tan∠ACE=34，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a①，
∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，点A的坐标是(−1,0)，
∴a−b+3=0②，
联立①②得b=−2aa−b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴二次函数的解析式为y=−x2+2x+3，
令y=0得−x2+2x+3=0，
解得x=3或x=−1，
∴点B的坐标为(3,0)；
(2)如图，连接BC，线段BC与直线x=1的交点就是所求作的点P，
设直线CB的表达式为y=kx+b′，
把C(0,3)和B(3,0)代入得：b′=30=3k+b′
解得b′=3k=−1，

∴直线CB的表达式为y=−x+3，
∴当x=1时，y=2，
∴P(1,2)，
∵OB=OC=3，
在Rt△BOC中，BC=3 2，
∵点A，B关于直线x=1对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC=3 2；
(3)如图补全图形，

由(1)得抛物线的表达式为y=x2+2x+3，由(2)得：yBC=−x+3，
故设M(t,t2+2t+3)，则Q(t,−t+3)．
∴NQ=−t2+3t，
过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则△CDQ是等腰直角三角形．
∴CQ= 2，
∴MQ+ 2CQ=−t2+3t+2t=−t2+5t=−(t−52)2+254，
∴当t=52时，MQ+ 2CQ有最大值，
此时点M(52,74)． 
【解析】(1)根据二次函数的对称轴为直线x=−b2a=1得b=−2a①，把点A(−1,0)代入抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)得a−b+3=0②，联立①②得b=−2aa−b+3=0，解得a=−1b=2，所以二次函数的解析式为y=−x2+2x+3，令y=0得−x2+2x+3=0，解得x=3或x=−1，即可求得B点的坐标；
(2)连接BC，线段BC与直线x=1的交点就是所求作的点P，设直线CB的表达式为y=kx+b′，代入C(0,3)和B(3,0)即可求得直线CB的表达式为y=−x+3，当x=1时，y=2，得P(1,2)，在Rt△BOC中，BC=3 2，因为点A，B关于直线x=1对称，所以PA=PB，即可求得PA+PC=PB+PC=BC=3 2；
(3)由(1)得抛物线的表达式为y=x2+2x+3，由(2)得：yBC=−x+3，设M(t,t2+2t+3)，则Q(t,−t+3)得NQ=−t2+3t，过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则△CDQ是等腰直角三角形，所以CQ= 2，所以MQ+ 2CQ=−t2+3t+2t=−t2+5t=−(t−52)2+254，当t=52时，MQ+ 2CQ有最大值，此时点M(52,74)．
本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数对称轴、与坐标轴交点的性质是解题的关键．

26.【答案】72  1−x 
【解析】探究发现
(1)解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，
∴∠BED=∠C=72°，∠EBD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDE=180°−∠BED−∠EBC=72°，
AE=AB−BE=AC−BC=1−x，
故答案为：72，1−x；
(2)证明：由(1)知：∠CBD=∠EBD=36°，
∴∠A=∠CBD=∠EBD，
∴AD=BD，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC
∴ACBC=BCDC
即1x=x1−x，解得x= 5−12
∴底BC腰AC= 5−12；
拓展应用
如图，

在AC上截取AE=AD，连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD=12∠BCD=36°，∠DAC=∠BAC=12∠DAB=36°，AD=AB=1，CD//AB，
∴∠ADE=∠AED=72°，∠ADC=180°−∠DAB=108°，
∴DE= 5−12AD= 5−12，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=108°−72°=36°，
∴∠CDE=∠ACD，
∴CE=DE= 5−12，
∴AC=AE+CE=1+ 5−12= 5+12．
探究发现
(1)可求得∠ABC=∠C=72°，∠BED=∠C=72°，∠EBD=∠CBD=12∠ABC=36°，进而求得∠BDE的值，AE=AB−BE=AC−BC=1−x；
(2)可证得△ABC∽△BDC，从而ACBC=BCDC，进而得出1x=x1−x，解得x= 5−12，从而得出底BC腰AC= 5−12；
拓展应用
在AC上截取AE=AD，连接DE，可得出△ADE是黄金三角形，从而得出DE的值，可推出CE=DE，进而求得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“黄金比”．