山东省德州市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题

这是一份山东省德州市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省德州市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致形状是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
5．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（    ）
附：

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
A．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关
B．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
C．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关
6．已知是等差数列,公差,且成等比数列,则等于
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ）
A．2 B．0 C．1 D．
8．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知非零实数，满足，则（    ）
A． B． C． D．
10．已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（    ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．在内单调递减
11．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列，且，前项的和为，则下列结论不正确的是（    ）
A． B． C．公积为 D．
12．已知函数，则以下结论正确的是（    ）
A．在上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数，使得方程有4个实数解

三、填空题
13．已知过原点的直线与曲线相切，则直线的斜率为 ．
14．若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ．
15．已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为 ．

四、双空题
16．已知数列的前n项和为，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第行有项，每一行从左到右项数依次增大，记为该数阵中第行从左到右第个数的坐标，则坐标为对应的数为 ；对应的坐标为

五、解答题
17．已知集合，集合，其中．
(1)若，求﹔
(2)设命题p：，命题q：，若是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求，的值；
(2)若存在，使成立，求的取值范围．
19．设正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
20．已知函数（为自然对数的底数），函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
21．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
  








12.5
222
3.5
157.5
16800
4.5
1254
270
表中，.
(1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：不等式恒成立．

参考答案：
1．C
【分析】根据交集与补集的定义求解.
【详解】，
，，
故选：C.
2．A
【分析】由题意可得在区间上恒成立，分离参数求出的范围，根据集合间的关系即可判断.
【详解】若函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
时，,所以.
所以“”是“”的充分不必要条件，
即“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A
3．B
【分析】利用对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，则，故，
所以；
因为，则，故，
所以；则有．
故选：B.
4．C
【分析】先判断函数的奇偶性，结合对称性以时的函数值的正负判断可得答案.
【详解】由，，定义域关于原点对称，
得，
则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除BD；
当时，，，，所以，
排除A.
故选：C.
5．D
【分析】由题意，由独立性检验的原理即可得解.
【详解】由题意，，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关.
故选：D.
【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.
6．B
【详解】∵成等比数列，
∴，
∴
整理得，
又
∴
∴选B．
7．D
【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可.
【详解】因为，所以，且，
则，又可得，，
故，所以函数是周期的周期函数，
．
故选：D．
8．B
【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.
【详解】设，，
所以函数在上为增函数．
由的定义域为可知，得，
将不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，即
故选：B．
9．ABD
【分析】利用作差法，结合指数函数的单调性，可得答案.
【详解】对于A，由，则，，故A正确；
对于B，由，则，由函数在上单调递增，则，故B正确；
对于C，，当时，，故C错误；
对于D，由，根据函数在上单调递增，则，即，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令进行判断，对于C，令进行判断，对于D，举例判断.
【详解】对于A，令，得，因为，，
所以，所以，所以A错误，
对于B，令，则，因为，
所以，所以为奇函数，所以B正确，
对于C，令，则，
所以，所以，
所以，所以，
所以的周期为，所以C正确，
对于D，因为，，，的周期为，
所以，
令，则，所以，得，
所以，所以在上不单调，所以D错误，
故选：BC
11．CD
【分析】由题可知，对任意的，（为常数），推导出，结合定义可得出，再结合已知条件求出的值，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】由题可知，对任意的，（为常数），
若，则，可得，的值未知，则的值不一定为，故，
则对任意的，，所以，，故，A对；
因为，则，
所以，，解得，C错；
，B对；
，D错.
故选：CD.
12．BCD
【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数形结合即可判定.
【详解】由，
显然当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，故A错误；
对于B项，易知，由在上单调递增可知B正确；
对于C项，由上知在处取得极小值，而，故C正确，如图所示；
  
对于D项，，即，当，显然成立，即是其一根，当时，原方程等价于，令，
令，解得，即在上单调递减，
令，解得或时，即在和上单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，，
又时，，可得的大致图象，如图所示，
  
当时，有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确；
故选：BCD
13．
【分析】根据题意，设出切点，然后求导，根据切线的斜率为切点处导数值即可得到结果.
【详解】由题意可得，
设该切线方程，且与相切于点，
，整理得，
∴，
故答案为：.
14．
【解析】由题意，当时，单调递增，当时，单调递增，
则等价于或，求解即可．
【详解】由题意，当时，单调递增，
当时，单调递增，
则等价于或
即或或
解得或．
故不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的能力，属于中档题．
15．
【分析】根据对数函数的性质得，代入直线方程得，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令，即，得，故，
由在直线上，得，即，
因为且，，所以且，，
所以.
当且仅当，即，即，时，等号成立.
故的最小值为.
故答案为：
16． 41
【分析】利用，求出，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，可求对应的数，进而可求对应的坐标．
【详解】∵数列的前n项和为，
∴，
时，，
又时，上式成立，
∴，
将该数列按第行有个数排成一个数阵，如图，
由该数阵前n行有：项，
前四行共有15项，∴该数阵第5行从左向右第5个数字为；
又∵，项，所以，
故应排第11行第个位置，故对应的坐标为．
故答案为：①41；②．
    
17．(1)
(2)

【分析】（1）把代入集合，再由交、并、补集的混合运算得答案；
（2）由是的充分不必要条件，得Ü，，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．
【详解】（1），
或．
若，则或，，
；
（2）若是的充分不必要条件，
或，则Ü，
，解得．
的取值范围是．
18．(1)，；
(2).

【分析】（1）由及即可求解；
（2）求出函数的单调性，故不等式可转化为，根据二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，所以，又因为，
所以将代入，解得，
经检验符合题意，所以，，.
（2）由（1）知：函数，
所以函数在上是减函数.
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，所以，
所以，令，
题意可知：问题等价转化为，
又因为，所以,
故的取值范围为.
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据推出，再由等差数列的通项公式可求出结果；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，
则，
化简得，
又，所以，．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
整理得.
20．(1)单调递减区间为，；单调递增区间为
(2)

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再得到、与的关系表，即可得解；
（2）参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）函数定义域为，又，  
令，解得，
所以、与的关系如下所示：











单调递减
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为，；单调递增区间为.
（2）不等式在上恒成立，等价于不等式在上恒成立，
故不等式在上恒成立，    
令，，则，
当时，，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数；
所以，所以．
21．(1)；
(2)；
(3)30万元.

【分析】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型；
（2）令，建立y关于的线性回归方程，再利用最小二乘法求出 y关于μ的线性回归方程即得解；
（3）求出，再利用导数求函数的最值得解.
【详解】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型.
（2）令，所以.
，，
所以y关于μ的线性回归方程，因此，关于x的回归方程为.
（3）由（2）可知，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大.
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，只需证明即可.
【详解】（1）定义域为，
，
当时恒成立，所以在上单调递减，
当时，
所以当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
综上可得，当时在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，则不等式恒成立，
即恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，
又，，所以存在唯一实数使得，
所以当时，即，所以在上单调递减，
当时，即，所以在上单调递增，
所以，又，
即，所以，则，
所以
，
令，，则,
所以在上单调递减，所以，
所以
，
即，所以恒成立，即不等式恒成立.