七年级上学期月考数学试题

第一学期12月月考九 年 级 数 学一、选择题（共10题，共30分）1. 如图：点 C 是线段 AB 上中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB=，则CD的长为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 12. 甲、乙两人从同一地点出发，如果甲先出发2小时后，乙从后面追赶，那么当乙追上甲时，下面说法正确的是（ ）A. 乙比甲多走了2小时 B. 乙走的路程比甲多C. 甲、乙所用的时间相等 D. 甲、乙所走的路程相等3. 下列说法中正确的是（ ）A. 没有加减运算式子叫做单项式 B. 是单项式，但不是整式C. ，， 都是整式 D. 多项式 由 ，， 三项组成4. 定义运算，比如，下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②此运算中的字母均不能取零；③；④，其中正确的是（ ）A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④5. 如图，将从开始的自然数按下列规律排列，位于第行、第列，记为，则位于的数是（ ） A B. C. D. 6. 如果0＜m＜10，并且m≤x≤10，那么，代数式化简后所得到的最后结果是（ ）A. -10 B. 10 C. D. 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A. a+b=0 B. b＜a C. ab＞0 D. |b|＜|a|8. 一张长方形纸的面积为a，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，照这样，每次剪去剩下的一半，第十次剪下后剩下的面积是（　　）A. B. C. D. 9. 如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（ ）A. B. C. D. 10. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）A. 148 B. 152 C. 174 D. 202二、填空题（共7题，共28分）11. 计算：______．12. 写出一个只含字母，且系数为－1，次数为6的单项式____________．13. 为了解某中学 名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出如图所示的频数直方图．（）本问题中的样本容量是____；（）本样本中，身高在 的男生人数所占的百分比是____；（）估计该校男生的身高在 的人数有____． 14. 将正偶数按下表中的方式排成 列：根据上表中正偶数的排列规律， 应在第____行，第____列．15. 将一些形状相同的小五角星如图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有_______个五角星．16. 在抗震救灾的捐款活动中，六（2）班同学的捐款人数情况如图所示，其中捐款10元的人数为10人．请根据图象回答下列问题：（1）捐款50元所在扇形的圆心角是__________度；（2）六（2）班共有__________名学生；（3）捐款100元的人数是__________人；（4）捐款5元的人数是__________人；（5）捐款20元的人数是__________人；（6）全班平均每人捐款__________元．17. 已知 ，则 ____．三、解答题（共8题，共62分）18. 计算：．19. 列方程解应用题：六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为3：4，后来又报了20名男生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？20. 如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）．（1）求该住宅的面积（用含 ， 的代数式表示）．（2）该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中铺厨房地面用了 的地砖．如果地砖的价格是每平方米 元，那么购买地砖至少需要多少元？21. 一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？22. 如图 ，点 是弹力墙 上一点，魔法棒从 的位置开始绕点 向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转；当转到 位置时，再从 的位置弹回，继续转向 位置，，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第 步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ；第 步，从 开始继续旋转 至 ；第 步，从 开始继续旋转 至 ，．例如：当 时，，，， 的位置如图 所示，其中 恰好落在 上，；当 时，，，， 的位置如图 所示，其中第 步旋转到 后弹回，即 ，而 恰好与 重合．解决如下问题： （1）若 ，在图 中借助量角器画出 ，，其中 的度数是 ． （2）若 ，且 所在的射线平分 ，在如图 中画出 ，，， 并求出 的值． （3）若 ，且 ，则对应的 值是 ．（4）当 所在的射线是 （，， 是正整数，且 与 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角 （ 的度数为正整数，且 ），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．23. 为了解某校学生对《最强大脑》《朗读者》《中国诗词大会》《国家宝藏》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了一部分学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表，根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：被调查学生的总人数为 名， ， ．（2）补全上面的条形统计图；（3）若该校共有 名学生，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目学生有多少名．24. 如图（），在长方形纸片中，点在边上，点，分别在边，上，分别以，为折痕进行折叠并压平，点，的对应点分别是点和点． （1）如图（），若点落在上，求的度数； （2）如图（），若，求的度数； （3）如图（），若，请直接写出的度数； （4）若，直接写出的度数（用含 的代数式表示）．25. 将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有　 　个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有　 　个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．计算（直接写出答案即可）第一学期12月月考九 年 级 数 学本试卷共8页，25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在考场号和座位号栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡条形码粘贴处．2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共10题，共30分）1. 如图：点 C 是线段 AB 上的中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB=，则CD的长为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例求出DB的长度，即可得到AB的长度，再根据中点平分线段的长度可得AC的长度，根据即可求出CD的长度．【详解】∵∴∴∵点 C 是线段 AB 上的中点∴∴故答案为：D．【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解题的关键．2. 甲、乙两人从同一地点出发，如果甲先出发2小时后，乙从后面追赶，那么当乙追上甲时，下面说法正确的是（ ）A. 乙比甲多走了2小时 B. 乙走的路程比甲多C. 甲、乙所用的时间相等 D. 甲、乙所走的路程相等【答案】D【解析】【分析】甲先出发2小时，甲多用时2小时，两人从同一地点出发，乙追上甲，那么甲走的路程与乙走的路程相等．【详解】解：甲先出发2小时，甲多用时2小时。从同一地点出发，追到表示路程相等，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考查行程问题中的数学常识：从同一地点出发的追及问题的等量关系是两人所走的路程相等．3. 下列说法中正确的是（ ）A. 没有加减运算的式子叫做单项式 B. 是单项式，但不是整式C. ，， 都是整式 D. 多项式 由 ，， 三项组成【答案】C【解析】【分析】根据数字与字母，以及字母与字母的乘积为单项式，单项式与多项式统称为整式，多项式所含各项，逐项判断即可．【详解】解：、没有加减运算的式子不一定是单项式，例如不是单项式，本选项不符合题意；、是单项式，也是整式，本选项不符合题意；、，，都是整式，本选项符合题意；、多项式由，，4三项组成，本选项不符合题意．故选：．【点睛】此题考查了多项式，单项式，以及整式的概念，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4. 定义运算，比如，下面给出了关于这种运算几个结论：①；②此运算中的字母均不能取零；③；④，其中正确的是（ ）A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④【答案】B【解析】【分析】根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【详解】①，①正确；②∵，∴且，∴②正确；③∵，，∴，∴③正确；④∵ ， ，∴，∴④错误．综上，正确的结论为①②③，故选B．【点睛】本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键．5. 如图，将从开始的自然数按下列规律排列，位于第行、第列，记为，则位于的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】观察图表可知：第n行第一个数是，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是.【详解】解：观察图表可知：第n行第一个数是，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是，故选：C.【点睛】本题考查规律型−数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．6. 如果0＜m＜10，并且m≤x≤10，那么，代数式化简后所得到的最后结果是（ ）A. -10 B. 10 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件判断每个绝对值里面数的符号，再根据绝对值的性质运算、合并．【详解】∵0＜m＜10，m≤x≤10，∴|x−m|＝x−m，|x−10|＝10−x，|x−m−10|＝10＋m−x，∴原式＝（x−m）＋（10−x）＋（10＋m−x）＝20−x．故选：D．【点睛】本题考查了整式的加减，去绝对值号的方法，判断绝对值里面数的符号是解题的关键．7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A. a+b=0 B. b＜a C. ab＞0 D. |b|＜|a|【答案】D【解析】【分析】根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出|b|＜|a|．【详解】A．由图中信息可知，实数a为负数，实数b为正数，但表示它们的点到原点的距离不相等，所以它们不互为相反数，和不为0，故A错误；B．由图中信息可知，实数a为负数，实数b为正数，而正数都大于负数，故B错误；C．由图中信息可知，实数a为负数，实数b为正数，而异号两数相乘积为负，负数都小于0，故C错误；D．由图中信息可知，表示实数a的点到原点的距离大于表示实数b的点到原点的距离，而在数轴上表示一个数的点到原点的距离越远其绝对值越大，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了数轴和实数大小比较，从数轴上获取正确的信息是解题的关键．8. 一张长方形纸的面积为a，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，照这样，每次剪去剩下的一半，第十次剪下后剩下的面积是（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：第十次剪下后剩下的面积是a×（）10＝．故选：C．【点睛】此题考查了列代数式，有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．9. 如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠AOP=180°－，=∠POBn，然后根据角平分线的定义即可找出规律并得出结论．【详解】解：∵，，∴∠AOP=180°－，=∠POBn∵依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，∴∠POB==∠POB1==∠POB2==……∴∠POBn=∴=∠POBn=故选C．【点睛】此题考查的是平行线的性质和探索规律题，掌握平行线的性质、找出规律并归纳公式是解决此题的关键．10. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）A. 148 B. 152 C. 174 D. 202【答案】C【解析】【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为（个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可．【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；…第n个图案需要的个数为（个）∴第10个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个）故选C．【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．二、填空题（共7题，共28分）11. 计算：______．【答案】【解析】【分析】根据有理数除法法则：除以一个数相当于乘以这个数的倒数，然后再根据有理数的乘法法则进行计算．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．12. 写出一个只含字母，且系数为－1，次数为6的单项式____________．【答案】答案不唯一如：【解析】【分析】根据单项式的定义进行填空即可．【详解】∵只含字母a和b，其系数为-1，次数为6，∴这样的单项式为-ab5，（答案不唯一），故答案为-ab5．【点睛】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的系数和次数是解题的关键．13. 为了解某中学 名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出如图所示的频数直方图．（）本问题中的样本容量是____；（）本样本中，身高在 的男生人数所占的百分比是____；（）估计该校男生的身高在 的人数有____． 【答案】 ①. 50 ②. ③. 120人【解析】【分析】（1）根据直方图中的数据，可以计算出本问题中的样本容量；（2）根据直方图可知，身高在的男生有16人，再根据（1）中的样本容量，即可计算出本样本中，身高在的男生人数所占的百分比；（3）根据直方图中身高在的人数，可以计算出该校男生的身高在的人数．【详解】解：（1）由直方图可得，样本容量为：，故答案为：50；（2）由直方图可得，本样本中，身高在的男生人数所占的百分比是∶，故答案为：32%；（3）（人），即估计该校男生的身高在的人数有120人，故答案为：120人．【点睛】本题考查频数分布直方图、样本容量、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．14. 将正偶数按下表中的方式排成 列：根据上表中正偶数的排列规律， 应在第____行，第____列．【答案】 ①. 252 ②. 2【解析】【分析】根据图表中的信息可得出：表中每一行4个连续偶数，奇数行第1列空，从左到右增大；偶数行第5列空，从左到右减小，利用算式，即可得出2020在第252行第3列．【详解】，是第个偶数，而，第个偶数是行第3个数，为偶数， 第应在252行，第2列，故答案为：252，2【点睛】本题考查了关于数字的变化规律：先要观察各行各列的数字的特点，得出数字排列的规律，然后确定所给数字的位置．15. 将一些形状相同小五角星如图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有_______个五角星．【答案】120【解析】【详解】解：根据题意得：第1个图形有3=22-1个小五角星；第2个图形有8=32-1个小五角星；第3个图形有15=42-1个小五角星；…第n个图形有（n＋1）2-1个小五角星．∴第10个图形有112-1=120个小五角星．故答案为：12016. 在抗震救灾的捐款活动中，六（2）班同学的捐款人数情况如图所示，其中捐款10元的人数为10人．请根据图象回答下列问题：（1）捐款50元所在扇形的圆心角是__________度；（2）六（2）班共有__________名学生；（3）捐款100元的人数是__________人；（4）捐款5元的人数是__________人；（5）捐款20元的人数是__________人；（6）全班平均每人捐款__________元．【答案】（1）54；（2）40；（3）5；（4）4；（5）15；（6）30.5【解析】【分析】（1）用360°乘以捐款50元对应的百分比即可；（2）用捐款10元的人数除以圆心角所占比例即可；（3）用总人数乘以捐款100元人数所占比例即可；（4）用总人数乘以捐款5元人数所占比例即可；（5）用总人数乘以捐款20元所对应的圆心角占比即可；（6）先求出捐款50元的人数，结合前面所求用得到的人数乘以相应的钱数，相加后再除以捐款的人数即可．【详解】解：（1）捐款50元所在扇形的圆心角是，故答案为：54；（2）六（2）班共有学生（名），故答案为：40；（3）捐款100元的人数是（人），故答案为：5；（4）捐款5元的人数是（人）；故答案为：4；（5）捐款20元的人数是（人），故答案为：15；（6）捐50元的人数为：（人）；捐款总额为：（元）．全班平均每人捐款为：（元），故答案为：30.5．【点睛】本题主要考查了扇形统计图，解题的关键在于能够找准单位“1”，根据捐款10元的人数有10人确定全部捐款的总人数，然后再列式计算即可．17. 已知 ，则 ____．【答案】【解析】【分析】先求出各个数的值，再代入计算即可．【详解】∵，∴，，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值的非负性，有理数的混合运算，找到规律再去计算是解题的关键．三、解答题（共8题，共62分）18. 计算：．【答案】【解析】【详解】解：，，，，．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是能够熟练运用乘法分配律进行简便运算．19. 列方程解应用题：六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为3：4，后来又报了20名男生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？【答案】男生有12人，女生有16人【解析】【分析】设最初报名时男生有人，根据这时男生人数恰好是女生人数的2倍列方程求解．【详解】解：设最初报名时男生有人，女生有人 由题意，得，解得：．所以，答：最初报名时男生有人，女生有人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．20. 如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）．（1）求该住宅的面积（用含 ， 的代数式表示）．（2）该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中铺厨房地面用了 的地砖．如果地砖的价格是每平方米 元，那么购买地砖至少需要多少元？【答案】（1） （2）元【解析】【分析】（1）分别求出卧室、客厅、厨房、卫生间的面积，然后求和即可得该住宅面积；（2）根据厨房面积求得的值，再求得铺地砖的总面积，然后乘以单价，即可求解．【小问1详解】解：该住宅的面积为：，，；【小问2详解】解：因为铺厨房地面用了 的地砖，所以，，即（）．卧室以外的地面面积为，他买地砖需要（元）．购买地砖至少需要元【点睛】本题考查了列代数式、整式的四则混合运算应用和求代数式的值，正确求得铺地砖的总面积是解题关键．21. 一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由见解析；（3）经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.【解析】【分析】（1）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质算出∠BOC的度数，再计算∠AOC即可解决问题.（2）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，用m、n表示出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质用m、n的代数式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解决问题.（3）根据各角之间存在的数量关系，设经过x秒时，分别用x将∠DOA、∠COA、∠BOA表示出来，然后分四类情况讨论，根据角平分线的性质列出方程，解决即可.【详解】（1）85°；（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n∴∠BOD＝n－m∵OC为∠BOD的角平分线∴∠BOC＝∴∠AOC＝+m＝ （3）设经过的时间为x秒，则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.【点睛】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.22. 如图 ，点 是弹力墙 上一点，魔法棒从 位置开始绕点 向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转；当转到 位置时，再从 的位置弹回，继续转向 位置，，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第 步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ；第 步，从 开始继续旋转 至 ；第 步，从 开始继续旋转 至 ，．例如：当 时，，，， 的位置如图 所示，其中 恰好落在 上，；当 时，，，， 的位置如图 所示，其中第 步旋转到 后弹回，即 ，而 恰好与 重合．解决如下问题： （1）若 ，在图 中借助量角器画出 ，，其中 度数是 ． （2）若 ，且 所在的射线平分 ，在如图 中画出 ，，， 并求出 的值． （3）若 ，且 ，则对应的 值是 ．（4）当 所在的射线是 （，， 是正整数，且 与 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角 （ 的度数为正整数，且 ），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．【答案】（1） （2） （3）或或 （4）对于时，不能停止，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可；（4）无论为多少度，旋转很多次，总会出一次是是的角平分线，但当度时，只有两条射线，不会出现是是的角平分线，所以旋转会中止．【小问1详解】解：如图所示．， 【小问2详解】解：如图所示． ，，．平分，，解得：．【小问3详解】解：∵，，①当时，I），如图， ∴，∴；II），如图， ∴∴；②当时，则弹回，如图， ∴∴综上，若 ，且 ，则对应的 值是或或．【小问4详解】解：对于角不能停止．理由如下：无论为多少度，旋转过若干次后，一定会出现是是角平分线，所以旋转会停止．但特殊的，当为时，第一次旋转，，第二次旋转时，与重合，第三次旋转，又与重合，第四次旋转时，又与重合，依此类推，旋转的终边只会出现“与重合”或“与重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现是是的角平分线这种情况，旋转不会停止．【点睛】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．23. 为了解某校学生对《最强大脑》《朗读者》《中国诗词大会》《国家宝藏》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了一部分学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表，根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：被调查学生的总人数为 名， ， ．（2）补全上面的条形统计图；（3）若该校共有 名学生，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．【答案】（1） （2）见解析 （3）800名【解析】【分析】（1）用喜爱《最强大脑》的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再根据频率频数总数求出a、b的值即可；（2）根据（1）所求补全统计图即可；（3）用2000乘以样本中最喜爱《中国诗词大会》的人数占比即可得到答案．【小问1详解】解：名，∴被调查学生的总人数为50名，∴，∴，故答案为：50，20，30；【小问2详解】解：补全条形统计图如图所示： ．【小问3详解】解：估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有 （名）【点睛】本题主要考查了频数与频率分布表，条形统计图，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24. 如图（），在长方形纸片中，点在边上，点，分别在边，上，分别以，为折痕进行折叠并压平，点，的对应点分别是点和点． （1）如图（），若点落在上，求的度数； （2）如图（），若，求的度数； （3）如图（），若，请直接写出的度数； （4）若，直接写出的度数（用含 的代数式表示）．【答案】（1） （2） （3） （4）的度数为或．【解析】【分析】（1）由翻折性质知，，结合可得答案；（2）由知，据此得，根据可得答案；（3）由知，根据可得答案；（4）分别结合图3和图4两种情况，先表示出的度数，再分别根据和求解可得．【小问1详解】解：由翻折，知和重合，和重合，所以，．因为，所以；【小问2详解】解：由（），知，，因为，所以．所以．所以；【小问3详解】解：由（），知，，因为，所以，即．所以；【小问4详解】解：如图3，∵， ∴，∵，，∴，∴；如图4， ∵，，∴，∵，，∴，∴；综上，的度数为或．【点睛】本题是翻折变换的综合问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点．25. 将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有　 　个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有　 　个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．计算（直接写出答案即可）【答案】（1）401；（2）；（3）不能，理由见解析；（4）1﹣【解析】【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；（2）根据（1）中规律即可解决问题；（3）假设可以将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形，再构建方程进行求解，最后根据方程的解进行判断；（4）利用数形结合的思想解决问题，将所求表达式中的数字转化为图形的面积求解即可．【详解】解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，∴从第二次开始，每一次都比上一次多4个正方形，∴第n次可得（4n＋1）个正方形，∴第100次可得正方形：4×100＋1＝401（个）；故答案为：401；（2）由（1）得：第n次可得（4n＋1）个正方形，故答案为：；（3）不能，理由如下：假设可以将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形，则4n＋1＝2018，解得：n＝504.25，∵n不是整数，∴不能将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形；（4）∵原正方形的边长为1，∴原正方形的面积为1，∴第1次划分后每个小正方形的面积为，第2次划分后每个小正方形的面积为，第n次划分后每个小正方形的面积为，第次划分后每个小正方形的面积为，∵，∴相当于原正方形面积去掉第1次划分后的左上角的小正方形面积，∴相当于原正方形面积去掉第2次划分后的左上角的小正方形面积，∴相当于原正方形面积去掉第次划分后的左上角的小正方形面积，即，∴＝1﹣．第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826节目人数百分比最强大脑5朗读者15中国诗词大会a国家宝藏10第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826节目人数百分比最强大脑5朗读者15中国诗词大会a国家宝藏10