2023届高三全国各地试题精选11 空间向量与立体几何（大题）

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2023届高三全国各地试题精选
11空间向量与立体几何

一、解答题
1．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.
  
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面夹角大小；
(3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离.
2．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.
      
(1)若母线长为10，求圆锥的体积；
(2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离.
3．（2023·四川·校联考模拟预测）在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
  
(1)求证：平面；
(2)已知，，若与平面所成角的正切值为，求到平面的距离.
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．
  

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度．
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）在三棱柱中，，且.
  
(1)证明：；
(2)若，二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值.
6．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且.

(1)证明：平面；
(2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值.
7．（2023·河南安阳·统考三模）如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
8．（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.

(1)求证：；
(2)若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值.
9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点.
  
(1)若点是的重心，证明：点在平面内；
(2)求二面角的正切值.
10．（2023·山东德州·三模）图1是直角梯形，，，，，，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
  
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值．
11．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，六面体的底面四边形是正方形，，且平面，平面与平面的交线为l．
  
(1)求证：直线平面；
(2)已知，若与平面所成角为，求的值．
12．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.
  
(1)证明：点为的中点；
(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
13．（2023·北京·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．

(1)求证：EF//平面PBC；
(2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．
条件①：；条件②：．
14．（2023·全国·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，平面.
  
(1)求四棱柱的体积；
(2)设点关于平面的对称点为，点和关于平面对称（和末在图中标出），求直线和平面所成角的正弦值.
15．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥中，平面平面，若为等边三角形，为等腰直角三角形，且，点E为的中点，点D在线段上，且.
  
(1)证明：⊥平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
16．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）如图，在四棱柱中，

(1)求证：平面平面；
(2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值.
17．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.
  
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
18．（2023·山东淄博·统考三模）在长方体中，，过，，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.
  
(1)求棱的长；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
19．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，若是的中点.
  
(1)求证：平面平面；
(2)如果，求三棱锥与多面体的体积比值.
20．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知平面四边形（图1）中，，均为等腰直角三角形，，分别是，的中点，，，沿将翻折至的位置（图2），拼成三棱锥.
  
(1)求证：平面平面；
(2)当二面角的平面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案：
1．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，得出和平面的法向量，即可求出与平面所成角的正弦值；
（2）求出平面与平面的法向量，即可得到平面与平面夹角大小；
（3）设出，求出平面的法向量，得出点坐标，即可求出点到平面的距离.
【解析】（1）由题意，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∵底面为菱形，
∴，
以为原点，所在直线为轴，过点作平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系：
    
则，
∴，
平面的一个法向量是，
设与平面所成的角为，所以，
∴与平面所成的角的正弦值为
（2）由题意及（1）得，
，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
因为，
∴平面与平面的夹角为.
（3）由题意，（1）及（2）得，
，
设，，
∵平面，所以，即，
解得：，
∴点为中点，，
∴点到平面的距离为：.
2．(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.
（2）取的中点，作出异面直线与所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股定理求解作答.
【解析】（1）圆锥的底面圆半径为8，母线长为10，而，则，解得，
所以圆锥的体积为.
（2）取的中点，连接,，
    
由弧为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心在上且为中点，
为母线的中点，则与所成角为或其补角，
由平面，得平面，平面，则，
于是有，由是半圆弧的中点可得，
则，
所以.
3．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用相似证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行；
（2）利用线面角的正切值求出，利用已知条件求出与的关系，即可求解.
【解析】（1）证明：延长交于点，连接，则为的中点，
  
因为为的中点，所以，
又，所以与相似，
所以，
因为为的重心，所以，
所以，所以与相似，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：连接，则，
因为平面，且，平面，
所以，，
所以，;
又，，平面，所以平面.
连接，则为与平面所成的角，且，
因为，，四边形是矩形，
易求，
又与平面所成角的正切值为，
因为，所以,
所以，
设到平面的距离为，则,
由条件知，所以，
所以，即点到平面的距离为.
4．(1)直线与平面所成角的正弦值为；
(2)线段DE的长度为.

【分析】（1）过点作，垂足为，证明平面，由此确定直线PB与平面所成角，再求其正弦值；
（2）建立空间直角坐标系，设，由条件列方程求的坐标，由此求求线段DE的长.
【解析】（1）过点作，垂足为，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，平面，
所以，
所以直线与平面所成角为，
由已知四边形为菱形，，,
所以为边长为的等边三角形，故，
因为平面，平面，
所以，又，
所以，
在中，，，,
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
  
（2）连接，点为线段的中点，
由已知为等边三角形，所以，又，
所以，又平面，
以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设，则，
因为平面，平面，
所以，故，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以线段DE的长度为.
  
5．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取AC中点O，由已知判定即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求平面的夹角即可.
【解析】（1）
设的中点为，连接，
因为，所以，
又因为，且，平面，
所以平面
因为平面，所以，
又因为是中点，所以.
（2）由上可知：，在中，由余弦定理得
，
则，，
又因为平面，二面角的大小为，则，
如图所示，由（1）知，以所在直线分别为轴，轴，以过O垂直于底面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴面，可得坐标如下：
，
则，.

设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，令，则，即，
，令，则，即，
记平面与平面的夹角为.
6．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）过点作于点，由面面垂直、线面垂直的性质定理可得，，再由线面垂直的判定定理可得答案；
（2）由体积求出，以为原点，分别以为轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【解析】（1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面平面，则，
又因为平面，
所以平面；
（2）由（1）知平面平面，得，
又，
所以，
以为原点，分别以为轴、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
又因为，所以，
，
，
设是平面的一个法向量，
则，即，
所以可取，
设是平面的一个法向量，
则即，所以可取，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
7．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；
（2）运用等体积法求解.
【解析】（1）
在直角三角形中，因为 ，所以 ，
即在四棱锥中， ，平面PDB，平面PDB，
所以平面，从而平面，
如图，在上取一点，使得，连接，
因为，所以，所以，
又 ，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF，
在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF，
又因为 ，平面PBD，平面PBD，所以平面平面，
所以平面，故；
（2）连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，
所以三棱锥的体积，
所以，
在 中，计算可得，由余弦定理得，所以，
，
设点到平面的距离为，则，故；
综上，点M到平面PBE的距离为 .
8．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理和性质即可证明；
（2）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，由题意和向量的数量积的定义求出点E的坐标，结合线面角的定义即可求解.
【解析】（1）连接，
底面为菱形，.
又平面平面.
又面，
平面.又平面.

（2）设的中点为，连接，如图：
为等边三角形，，又，则.
又平面，则.
以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，，
，

设平面的一个法向量为，

令，则.
又平面的一个法向量为，
则.
又平面与平面的夹角的余弦值为，
，
，，
.
直线与平面所成角的正弦值为.
9．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，再由，平面可证得结论成立；
（2）以为原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正切值.
【解析】（1）证明：取中点，连接、，如图所示，
  
因为点是的重心，故一定在中线上，
因为点是的中点，点是的中点，所以是梯形的中位线，
所以，且，
又，所以，所以四边形是平行四边形，
因为点，平面，
所以点平面，即点在平面内.
（2）解：以为原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
  
则、、、，
，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，不妨取，则，
，不妨取，，
所以，则，
所以，，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为.
10．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，交于，可证，平面，所以，平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出的位置，再用空间向量求平面与所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：在图1中，连接，交于，
  
，
所以，
所以，四边形是菱形，
所以，且．
在图2中，满足，
所以，所以，，
又平面，所以，平面，
又平面，所以，平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
  
则，
所以，
设平面的法向量为，
则即，取，得，
设，在线段上存在点使得与平面的正弦值为，
所以
解得或（舍），
所以，
设平面的法向量为，
则即，取，得，
设平面与平面的平面角为，

所以，平面与所成角的余弦值为
11．(1)证明见详解
(2)

【分析】（1）根据线面平行分析可得//，根据线面垂直分析可得平面，即可得结果；
（2）建系，利用空间向量求线面夹角.
【解析】（1）连接，设，
由题意可得：//，且，则为平行四边形，所以//，且EF=AC，
平面，平面，则//平面，
又因为平面平面，且平面，
所以//，
因为是正方形，则，
又因为平面，平面，则，
，平面，
所以平面，
且//，所以直线平面.
（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，可得，
由题意可知：平面的法向量，
则，
所以.

12．(1)证明见解析.
(2).

【解析】（1）在正方体中，，又平面，且平面，
则平面，而交平面于点，即平面，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，而为中点，
所以为的中点.
（2）以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
  
不妨设正方体的棱长为3，设，
则,
从而，
设平面的一个法向量为，则
,即,不妨取,则,即，
设直线与平面所成角为，
又直线与平面所成角的正弦值为，
因此，解得，
所以.
13．(1)证明见解析

(2)12.

【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行；
（2）分别选择条件，设PD边长，建系应用二面角余弦值求参数即得.
【解析】（1）
取的中点M，连接，
∵M，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴且，
又E为的中点，
∴且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴平面平面，
∴平面.
（2）
选择条件①：,
平面ABCD，,平面PCD，平面PCD, 平面PCD,
,,底面ABCD为菱形，E为AB的中点．,是等边三角形，
以为z轴，为y轴,为x轴，建立空间直角坐标系，

设,则,
设平面法向量为,
设平面法向量为,
,,
,
令,则,
二面角的大小为
∴，,

选择条件②：．
平面ABCD，,,取的中点O，,
平面PDO，平面PDO, 平面PDO, ,,
底面ABCD为菱形，O为BC的中点．,是等边三角形，

以为z轴，以为x轴，以为y轴
设,则,
设平面法向量为,
,,
,
令则,
设平面的法向量为,
,,
,
令,则,
二面角的大小为
∴，,

14．(1)
(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用空间向量求解；
（2）根据（1）的结论，分析图中的几何关系，找出平面的法向量，运用数量积求解.
【解析】（1）  
设直四棱柱的高为.设菱形的两条对角线相交于点，则.以为坐标原点，
的方向为轴正方向，直线为y轴，过O点垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题设知，点，，，
因为平面，平面，
所以，则，
故四棱柱的体积；
（2）因为平面，所以点在线段上，
并且平面是线段的中垂面，平面，，
设，，则 ，
，
，
解得（舍去）或，故，
又因为点和关于平面对称，所以是平面的一个法向量.
设直线和平面所成角为，则；
综上，四棱锥的体积为，直线与平面的夹角的正弦值为.
15．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）作出辅助线，得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；
（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.
【解析】（1）如图，取的中点G，由可得，
由可得D为的中点，由E为的中点可得为的中位线，
∴，
∴，
∵E为的中点，，
∴，
∵平面平面，且平面平面，PE在面PAC内，
∴平面，而平面，
∴，又，且平面，
∴⊥平面.
（2）以C为原点，CA、CB为x、y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，
设.则，，，，则，，
∴，，，
  
设平面的一个法向量为，由，解得，
令可得，故，
由（1）可知为平面的一个法向量，
∴，
又平面与平面所成二面角为锐角，故所成二面角的余弦值为.
16．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）由（1）的信息，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
【解析】（1）设交于点，连接，如图，
因为，则点在线段的垂直平分线上，即有为的中点，
又因为，则，
又平面，因此平面，而平面，
所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面，
在平面内过作，又平面平面，因此平面，
射线两两垂直，以为原点，射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为为棱的中点，则点是正的重心，
又，平面，且，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
17．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理可证平面，进而可得结果；
（2）以为原点、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
求出和平面的法向量，利用点到平面的距离公式的向量求法可得答案.
【解析】（1）设是线段的中点，连接，过作，垂足为，
因为四边形为等腰梯形，，，
所以，，
因为是的中点，可得，
则，即四边形为平行四边形，
可得，所以，
又因为四边形是边长为2的菱形，且，
则是边长为2的等边三角形，可得，
则，可得，
因为平面平面，
所以平面，
且平面，所以平面平面.
  
（2）以为原点、分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，则，可得，
则点到平面的距离为.
    
18．(1)；
(2).

【分析】（1）利用长方体和三棱锥体积公式，结合题意，计算即可；
（2）以为坐标原点建立空间之间坐标系，求得两个平面的方向量及其夹角的余弦值，即可求得结果.
【解析】（1）设，由题设；       
，即，解得，
故的长为.
（2）以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系；
  
由已知及（1），可知，，，，
设平面的法向量为，有，，
其中，，
则有，即，解得，，
取，得平面的一个法向量；
设平面的法向量为，有，
其中，，即，
解得，得平面的一个法向量，
故，
则平面和平面夹角的余弦值为.
19．(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）通过证明平面，即可证明平面平面；
（2）分别求出三棱锥与多面体的体积，即可得出三棱锥与多面体的体积比值.
【解析】（1）由题意证明如下：
∵，所以，
又因为，且，面，面
∴平面，
又平面，所以.
，即，所以，所以，
同理，所以，即.
又由于，
∴，
∵，平面，平面，
所以平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）由题意及（1）得，
几何体为直三棱柱，，
∵，
，
∴，
而，
∴.
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）证明出，由线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面；（2）①证明为二面角的平面角，取的中点，由面面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；②求向量在平面的法向量上的投影向量的长度即可.
【解析】（1）连结.
因为分别是的中点，所以.
又，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）①因为，所以就是二面角的平面角.
由已知.
因为为以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，所以.
又，所以为等边三角形.
取中点，连接，则.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以面.
如图，以直线为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，
设面的一个法向量
则有，所以，
不妨取，则，
所以为平面的一个法向量.
而，
所以，
所以直线与面所成角的正弦值为·