2023届高三全国各地试题精选09 数列(大题)

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2023届高三全国各地试题精选
09 数列（大题）

一、解答题
1．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，当时，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，数列的前项和为，若恒成立，求正整数的最大值.
4．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知数列和等差数列满足，且当时，.
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和.
5．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项.
(1)求；
(2)设数列满足，，数列的前项和为.求．
6．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
7．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列的前项的和为，，数列为单调递增的等比数列，且有，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，设的前项的和为，求的值.
8．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
9．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）数列中，，，记．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和；
(3)记，求的最大值与最小值．
12．（2023·河北·统考模拟预测）已知在公差为正数的等差数列中，，a1，a4，2a8构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若 ，求数列的前n项和.
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设__________，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
14．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列的首项为2，且满足（且），．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
15．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列中，，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记数列，求数列的前项和.
16．（2023·海南·校联考模拟预测）在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求正整数的值.
17．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若求数列{}的前n项和．
18．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和为，且满足，等差数列中，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，，求数列的前n项和．
19．（2023·河北·校联考一模）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
20．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项数列的前项和满足关系式.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明.

参考答案：
1．(1)
(2)

【分析】（1）由，结合，利用等比数列的求和公式，即可求解；
（2）由（1）得到，结合等差、等比数的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可求解.
【解析】（1）解：因为数列满足且，
当时，可得
，
当时，适合上式，所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
所以
，
设，
则，
两式相减得，
所以，
又由，
所以
2．(1)
(2)

【分析】（1）根据数列与的关系，转化为递推关系式，即可求解；
（2）代入（1）的结果，利用裂项相消法求和.
【解析】（1）因为，
当时，，
则时，，
两式相减得，
即，，，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
，
（2）由（1）知，
，


3．(1)证明见解析
(2)2

【分析】（1）时，用代入化简，用等差数列的定义即可证明；
（2）用错位相减法求出，不等式可化为恒成立，再用基本不等式求得的最大值，从而可得的最大值.
【解析】（1）由题意知，当时，，所以，
整理得：，即，所以数列是以1为公差的等差数列.
（2）由，由（1）知是以2为首项、1为公差的等差数列，
所以，所以，
所以，①
所以，②
①-②得，
所以，所以.
因为，所以，
由于，当且仅当时等号成立，故正整数的最大值为8.
4．(1)
(2)

【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式以及对数函数的性质即可求解；（2）根据乘公比错位相减法即可求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由得：，
由得：
由得：
所以：，
所以：
所以：当时，，
又因为不满足，
所以：.
（2），
当时，；
当时，，①
，②
①②得：

，
所以：，
又也满足，
综上：.
5．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，利用等比数列的通项公式列出方程求得的值，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，利用，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【解析】（1）解：由，得，
又由是，的等差中项，可得，即，
则， 即，
可得，解得或，
因为，所以，
将代入，可得，
所以，即.
（2）解：因为数列满足，，
可得，
，
所以当时，，
又因为也满足上式，所以，
则，
所以
.
6．(1)
(2)

【分析】（1）由与的关系即可求解；
（2）求出数列的通项公式后用错位相减法求解.
【解析】（1）因为，
所以当时，，所以，
又当时，，解得，
所以，所以，
所以是首项为､公比为的等比数列，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，得
，
所以.
7．(1)；
(2)

【分析】（1）根据作差求出的通项公式，根据下标和性质得到，即可求出、，从而求出公比，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，则，利用错位相减法求和即可.
【解析】（1）因为，
当时，，
当时，，所以，
经检验时也成立，所以；
因为为等比数列，所以，结合，可得或，
因为数列单调递增，所以，所以，则；
即数列为首项的等比数列，即可得.
（2）因为数列满足，可得，
所以，
数列的前项的和为，
，
将上面两式相减可得
，
化简可得，
所以.
8．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【解析】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故

，
当时，，故.
9．(1)
(2)．

【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和即可.
【解析】（1），
当时，，
两式相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
10．(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明
(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.
【解析】（1）点在函数的图象上，，
是“平方递推数列”．                        
因为，
对两边同时取对数得，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，                             
由数列的通项公式得，
当时，；当时，．
又由，得                 
当且时，；                          
当且时，
，                                   
综上，
11．(1)证明见解析，
(2)
(3)最大值与最小值分别为，

【分析】（1）只需证明等于非零常数即可证明数列是等比数列，由数列的通项公式可以推出数列的通项公式；
（2）一个等差数列乘以一个等比数列的求和问题用错位相减法即可解决；
（3）对分奇偶讨论，然后根据数列的单调性可以求得最值.
【解析】（1）
又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列
所以即．
（2）由（1）知
∴，①
∴，②
由①－②有：


∴；
（3）
①当n为奇数时，，随着n的增大而减小，则，
又随着的增大而增大，故；
②当n为偶数时，，随着n的增大而增大，则，
又随着的增大而增大，故．
综上，的最大值与最小值分别为，．
12．(1)
(2)见解析

【分析】（1）由题意可得出，代入化简即可求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案.
（2）选①，由（1）知，，由分组求和法求出；选②，由（1）知，，由裂项相消法求出；选③由，（1）知，，由错位相减法求出.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由a1，a4，2a8构成等比数列得，
则，由，
所以，化简得：，
解得（舍去）或，
所以.
（2）若选①，，
所以；
若选②，，
所以
；
若选③，，
令，
则，
两式相减可得：
，
则，
则.
13．(1)，
(2)答案见解析

【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式与前项和；
（2）根据所选条件得到的通项公式，利用裂项相消法求和.
【解析】（1）设公差为，由可得，
所以，解得，所以的通项公式为，
则.
（2）若选①；
则
，
所以；
若选②；则，
则；
若选③，则，
所以.
14．(1)
(2)

【分析】（1）因式分解可知为等比数列，然后可解；
（2）利用对数运算裂项可解.
【解析】（1）由得，
因为，所以，所以，即，
又，所以是以2为首项和公比的等比数列，所以．
（2）由得，


15．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等差数列的通项公式，利用裂项相消法即可求数列的前项和.
【解析】（1）∵，
∴，即，
∴，.
∴是首项为2，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，
所以，，
所以，
.
16．(1)
(2)

【分析】（1）由已知得，所以数列是等差数列，且公差．又得，从而，即可得；
（2）由题可知，用裂项相消法求得，结合即可得解.
【解析】（1）由，得，即，
所以数列是等差数列，且公差．
又因为，所以，解得，
所以，即．
（2）由题可知，
．
由，得，解得．
17．(1)；
(2)

【分析】（1）先列方程组求出数列的首项和公比，从而得到数列的通项公式，再求出的首项和公差，从而求出的通项公式.
（2）分别用裂项相消法和错位相减法求解.
【解析】（1）因为，，分别是等差数列的第1，3，5项，所以，
又，所以得，所以且，
由可解得，，所以；
又，，故等差数列的公差，
所以.
（2）由（1）知
令设数列{}的前n项和为，数列{}的前n项和为，则
因为
所以，
因为
所以
两式相减，得
所以
所以
18．(1)，；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出，再利用等差数列的性质求出公差即可作答.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和作答.
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，则，
即，于是，因此是以2为首项，2为公比的等比数列，则，
等差数列中，，则公差，于是，
所以数列，的通项公式分别为：，.
（2）由（1）知，，，
则，
所以数列的前n项和.
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）由（1）可得：，利用错位相减法求和.
【解析】（1）设数列的公差为d，
因为是，的等比中项，则，
即，且，
整理得①，
又因为，整理得②
由①②解得，，，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
可得，
两式相减得

，
所以.
20．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用，得到，进而得到，得到为等差数列，求出通项公式；
（2）由得到，
当时，，当时，显然成立，当时，，当（且）时，，，故当时，有.
【解析】（1）由得，
当时，，
两式相减得，
，
当时，由，得，也满足上式.
.
当时，，则，

又，所以，
∴数列是等差数列，.
（2）证明：由（1）得，
，
注意到当时，

.
当时，.
当时，显然成立.
当时，，
从而时，.
当（且）时，，
.
综上可知当时，有.
【点睛】对于公式，
（1）当时，用替换中的得到一个新的关系式，利用，可得时的表达式，
（2）当时，，求出，
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，如果不符合，则要分开写.