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2022-2023学年北京市燕山区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年北京市燕山区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市燕山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. π的相反数是( )
A. 1π B. −1π C. −π D. π
2. 在下面的四个图案中，可以通过平移如图图案得到的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠BOD=40°，则∠AOC的度数是( )
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
4. 党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”.某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动.为了解学生的课外阅读情况，从全校2000名学生记录的一周的课外阅读时间(单位：小时)中随机抽取了200名学生课外阅读时间(单位：小时)进行统计，在这个问题中以下说法正确的是( )
A. 200名学生一周的课外阅读时间是样本 B. 200名学生是总体
C. 此调查为全面调查 D. 样本容量是2000
5. 在数轴上表示不等式2x−6<0的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 两位同学在讨论一个一元一次不等式．
强强说：“不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向.”
国国说：“不等式的解集为x≤5.”
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是( )
A. −2x≥−10 B. 2x<10 C. −2x>10 D. −2x≤−10
7. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. a>−2 B. |a|<|b| C. ab>0 D. a<−b
8. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱.问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是( )
A. y=8x−3y=7x+4 B. y=8x+3y=7x+4 C. y=8x−3y=7x−4 D. y=8x+3y=7x−4
9. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
x2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
下面有四个推断：
① 2.2801=1.51
②一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间
③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01
④16.22比16.12大3.23
所有合理推断的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，那么A2023坐标为( )
A. (2023,1) B. (2023,0) C. (1011,1) D. (1011,0)
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
11. 4964的平方根是______ ．
12. 如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是______，根据是______．
13. 下列命题中，①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线平行；④若a2>b2，则a>b.是真命题的是______ .(填序号)
14. 用不等式表示“a的2倍与b的差不小于5”：______ ．
15. 若点P(−3,2x)位于第二象限，则x的取值范围是______ ．
16. 已知二元一次方程组x+3y=53x+y=−1，则x+y= ______ ，x−y= ______ ．
17. 如图，点C在射线BD上，请你添加一个条件______，使得AB//CE．
18. 在平面直角坐标系中，点P是第二象限的点，它到x轴和y轴的距离相等，请写出一个满足条件的点P的坐标______．
19. 小华同学统计了他所在小区居民每天手机阅读的时间，并绘制了直方图，如图所示：
①小华同学一共统计了74人；
②每天手机阅读不足20分钟的人数有8人；
③每天手机阅读30～40分钟的人数最多；
④每天手机阅读0～10分钟的人数最少．
根据图中信息，上述说法中正确的是______ ．
20. 某化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地，已知公路运价为1.5元/(t⋅km)，铁路运价为1.2元/(t⋅km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.设购买xt原料，制成yt产品.则从A地到这家化工厂原料运输费是______ ，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多______ 元.
三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）
21. 解二元一次方程组5x+y=−3,3x+2y=1.
22. 如图，直线AB与CD相交，∠1=30°，求∠2，∠3，∠4的度数．
四、解答题（本大题共8小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. (本小题5.0分)
计算： 49+3−27+|1− 2|− 2．
24. (本小题6.0分)
解不等式组：2x+3≥x+12x+53−1<2−x，并把它的解集在数轴上表示出来．
25. (本小题6.0分)
如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为(0,3)，北京大学的坐标为(−3,2)．
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出中国地质大学的坐标：______ ；
(2)若中国人民大学的坐标为(−3,−4)，请在坐标系中标出中国人民大学的位置．
26. (本小题5.0分)
按要求完成下列证明：
已知：如图，AB//CD，直线AE交CD于点C，∠BAC+∠CDF=180∘．
求证：AE//DF．
证明：∵AB//CD( )
∴∠BAC=∠DCE( )，
∵∠BAC+∠CDF=180∘(已知)
∴ +∠CDF=180∘( )
∴AE//DF( ).
27. (本小题6.0分)
开展回收废旧电池这项活动，不仅可以提高人们的环保意识，有利于倡导低碳生活方式，同时，还可以为节约能源资源，保护生态环境，多做贡献.某校环保小组成员收集废旧电池，第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总重量650g；第二天收集3节1号电池，4节5号电池，总重量为400g.1节1号电池和1节5号电池的重量分别是多少？
28. (本小题7.0分)
华罗庚先生是中国著名数学家.为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”.小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄(单位：岁)进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x<60
60≤x<65
65≤x<70
70≤x<75
75≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
频数
3
1
11
7
m
3
2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出m的值是______ ，截止到第十六届共有______ 人获得“华罗庚数学奖”；
(2)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(3)第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄______ (填“小”或“大”)，理由是______ ．
29. (本小题7.0分)
已知：如图，A，B是直线l上两点，AB//CD，连接AD，BD，BC，若BD平分∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)请你猜想AD与BC的位置关系，并证明；
(2)若∠DAB=α，求∠CDB的大小(用含α的式子表示)．
30. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形M上的任意点P(x,y)，给出如下定义：将点P(x,y)平移到P′(x+t,y−t)称为将点P进行“t型平移”，点P′称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“t型平移”称为将图形M进行“t型平移”.例如，将点P(x,y)平移到P′(x+1,y−1)称为将点P进行“1型平移”，将点P(x,y)平移到P′(x−1,y+1)称为将点P进行“−1型平移”．
已知点A(2,3)和点B(4,3)．
(1)①将点A(2,3)进行“1型平移”后的对应点A′的坐标为______ ；
②将线段AB进行“−1型平移”后得到线段A′B′，点P1(1,2)，P2(0,4)，P3(3,4)中，在线段A′B′上的点是______ ．
(2)若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是______ ；
(3)已知点C(3,0)，D(5,−2)，点E是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B′，若B′E的最小值保持不变，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：π的相反数是−π，
故选：C．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：根据平移的定义可得图案B可以通过已知图案平移得到，
故选：B．
根据题意，结合图案，由平移的概念求解．
此题主要考查了利用平移设计图案，正确掌握平移的定义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∵∠BOD=40°，
∴∠BOC=50°；
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°−50°=130°．
故选：B．
利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题关键是找准互余的两角、互补的两角．
4.【答案】A
【解析】解：A、200名学生一周的课外阅读时间是样本，故A符合题意；
B、2000名学生一周的课外阅读时间是总体，故B不符合题意；
C、此调查为抽样调查，故C不符合题意；
D、样本容量是200，故D不符合题意；
故选：A．
根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：2x−6<0，
2x<6，
x<3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、−2x≥−10，解得x≤5，符合题意；
B、2x<10，未知数系数为正数，不符合题意；
C、−2x>10，解得x<−5，不符合题意；
D、−2x≤−10，解得x≥5，不符合题意．
故选：A．
找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求．
本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能改变不等号方向，其它都不会改变不等号方向．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵a在−2的左侧，
∴a<−2，
故选项A错误，不符合题意；
B、∵表示a的点离原点的距离大于表示b的点离开原点的距离，
∴|a|>|b|，
故选项B错误，不符合题意；
C、∵a<0，b>0，
∴ab<0，
故选项C错误，不符合题意；
D、∵表示−b的点在−1和−2之间，表示a的点在−2和−3之间，
∴a<−b，
故选项D正确，符合题意．
故选：D．
根据数轴上右边的点表示的数大于左边的数可判断选项A是否正确；
根据绝对值的几何意义可判断选项B是否正确；
先判断a，b的正负，再根据有理数乘法法则判断选项C是否正确；
根据相反数的意义确定−b在数轴上的位置，再根据数轴上右边的点表示的数大于左边的数可判断选项D是否正确．
本题考查数轴、相反数的概念，以及实数大小的比较，有理数乘法运算法则等，掌握相关概念和法则，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得：y=8x−3y=7x+4，
故选：A．
设有x人，买此物的钱数为y，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9.【答案】D
【解析】解：根据表格中的信息知： 2.2801=1.51，故①正确；
根据表格中的信息知：15.52=240.25
∴一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间，故②正确；
∵14.92=222.01，14.82=219.04，14.72=216.09
∴对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01，故③正确；
∵16.22=262.44，16.12=259.21，262.44−259.21=3.23，故④正确；
∴合理推断的序号是①②③④．
故选：D．
根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而2023÷4=505⋯⋯3，
∴A2023的纵坐标与A3的纵坐标相同，都等于0．
循环中与A3对应的点分别为A7(3,0)，A11(5,0)，⋯，
∴A3对应的点的横坐标的变化规律为2n+1(n为循环次数)，
∴A2023的横坐标为2×505+1=1011，
∴A2023(1011,0)．
故选：D．
由图象可得出纵坐标每四个点循环一次，进而得出A2023的纵坐标与A3的纵坐标相同，都等于0.再根据A3对应的点的横坐标的变化规律为2n+1(n为循环次数)，即可求出A2023的横坐标，即可选择．
本题考查平面直角坐标系中的动点规律问题，找准点的变化规律是解题的关键．
11.【答案】±78
【解析】解：∵(±78)2=4964，
∴4964的平方根是±78，
故答案为：±78．
运用平方根的定义进行求解．
此题考查了实数平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
12.【答案】135° 两直线平行，内错角相等
【解析】解：∠B=135°，
理由是：∵道路是平行的，
∴∠B=∠A=135°．
即两直线平行，内错角相等；
故答案为：135°；两直线平行，内错角相等
由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
13.【答案】①③
【解析】解：①对顶角相等，是真命题；
②内错角不一定相等，是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
④若a2>b2，则a不一定大于b，是假命题；
故答案为：①③．
根据对顶角的性质判断①；根据平行线的判定方法判断②；根据平行公理的推论判断③；根据平方根定义判断④．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14.【答案】2a−b≥5
【解析】解：由题意得，2a−b≥5．
故答案为：2a−b≥5．
a的2倍即2a，不小于5即≥5，据此列不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题的关键．
15.【答案】x>0
【解析】解：∵点P(−3,2x)位于第二象限，
∴2x>0，
∴x>0，
故答案为：x>0．
根据第二象限点的坐标特征(−,+)可得2x>0，然后进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
16.【答案】1 −3
【解析】解：x+3y=5①3x+y=−1②，
①+②得：4x+4y=4，
解得：x+y=1，
②−①得：2x−2y=−6，
解得：x−y=−3，
故答案为：1；−3．
利用整体的思想，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体的思想是解题的关键．
17.【答案】∠B=∠ECD或∠B+∠BCE=180°或∠A=∠ACE
【解析】解：当∠B=∠ECD时，AB//CE；
当∠B+∠BCE=180°时，AB//CE；
当∠A=∠ACE时，AB//CE．
故答案为∠B=∠ECD或∠B+∠BCE=180°或∠A=∠ACE．
根据平行线的判定方法求解．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
18.【答案】(−2,2)
【解析】解：∵P在第二象限，且点P到x轴、y轴的距离相等，
∴P点的坐标为(−2,2)(答案不唯一)．
故答案为：(−2,2)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
19.【答案】①③④
【解析】解：①小华同学一共统计了4+8+14+20+16+12=74(人)，故①正确；
②每天手机阅读不足20分钟的人数有4+8=12(人)，故②错误；
③每天手机阅读30～40分钟的人数最多，故③正确；
④每天手机阅读0～10分钟的人数最少，故④正确．
故答案为：①③④．
根据直方图表示的意义求得统计的总人数，以及每组的人数即可判断．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20.【答案】63600元 1887800
【解析】解：由题意得，
1.5(10x+20y)=150001.2(120x+110y)=97200，
整理得，
x+2y=100012x+11y=8100，
解得x=400y=300，
∴(10×1.5+120×1.2)×400
=(15+144)×400
=159×400
=63600(元)，
∴从A地到这家化工厂原料运输费是63600元，
∴8000×300−(400×1000+15000+97200)
=2400000−(400000+15000+97200)
=2400000−512200
=1887800(元)．
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
先根据题意列出二元一次方程组得1.5(10x+20y)=150001.2(120x+110y)=97200，求解，原料运输费=铁路运输费+公路运输费．销售款−(原料费+运输费)解答．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是列出二元一次方程组并解答，再根据实际意义进行列式．
21.【答案】解：5x+y=−3 ①3x+2y=1 ②
①×2−②，可得：7x=−7，
解得x=−1，
把x=−1代入①，可得：−5+y=−3，
解得y=2，
∴原方程组的解是x=−1y=2．
【解析】此题主要考查了解二元一次方程组，用加减消元法求解即可．
22.【答案】解：∵∠1+∠2=180°(邻补角互补)，∠1=30°(已知)，
∴∠2=150°(等式性质)．
∵∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)，
∴∠3=30°，∠4=150°(等量代换)．
【解析】利用对顶角、邻补角的定义，计算得结论．
本题考查了邻补角、对顶角等知识点，掌握“邻补角互补”、“对顶角相等”是解决本题的关键．
23.【答案】解：原式=7−3+ 2−1− 2
=3．
【解析】原式利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
24.【答案】解：2x+3≥x+1①2x+53−1<2−x②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<45，
∴原不等式组的解集为：−2≤x<45，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
25.【答案】(3,1)
【解析】解：(1)
中国地质大学的坐标：(3,1)；
故答案是：(3,1)；
(2)中国人民大学的坐标为(−3,−4)，位置如图所示．
(1)利用清华大学的坐标为(0,3)，北京大学的坐标为(−3,2)画出直角坐标系；
(2)根据点的坐标的意义描出中国人民大学所表示的坐标．
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
26.【答案】解：已知 ；
两直线平行，同位角相等；
∠DCE ，等量代换；
同旁内角互补，两直线平行.
【解析】证明：∵AB//CD(已知)，
∴∠BAC=∠DCE(两直线平行，同位角相等)．
∵∠BAC+∠CDF=180°(已知)，
∴∠DCE+∠CDF=180°(等量代换)．
∴AE//DF(同旁内角互补，两直线平行)．
故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；∠DCE；同旁内角互补，两直线平行．
由已知条件AB//CD，利用平行线性质知∠BAC=∠DCE，根据等量代换得∠DCE+∠CDF=180°，由平行线的判定即可得证．
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
27.【答案】解：设1节1号电池的重量是x g，1节5号电池的重量是y g，
根据题意得：5x+6y=6503x+4y=400，
解得：x=100y=25．
答：1节1号电池的重量是100g，1节5号电池的重量是25g．
【解析】设1节1号电池的重量是x g，1节5号电池的重量是y g，根据“第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总重量650g；第二天收集3节1号电池，4节5号电池，总重量为400g”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28.【答案】3 30 小 因为70及70以上的百分比为7+3+3+230=50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小
【解析】解：(1)截止到第十六届，获得“华罗庚数学奖”的人数为(3+1+11+7+3+2)÷(1−10%)=30，
∴m=30×10%=3；
故答案为：3，30；
(2)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图如下：
(3)他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由：
因为70及70以上的百分比为7+3+3+230=50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
故答案为：小，因为70及70以上的百分比为7+3+3+230=50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
(1)“75≤x<80“之外的频数除以90%可得总人数，用总人数乘以10%即可求出m的值；
(2)根据m的值，进而补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(3)根据70及70以上的百分比即可得答案．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29.【答案】解：(1)AD//BC，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∠1+∠DAB=180°，
∴∠DAB=∠2，
∴AD//BC；
(2)∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠DAB=α，
∴∠ABC=180°−α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=90°−12α，
∵AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=90°−12α.
【解析】(1)结合邻补角定义推出∠DAB=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
30.【答案】(3,2) P3 −4≤t≤−2或t=3
【解析】解：(1)①将点A (2,3)进行“1型平移”后的对应点A′的坐标为(3,2)，
故答案为(3,2)；
②∵将线段AB进行“−1型平移”后得到线段A′B′，
∴A′(1,4)，B′(3,4)，
∴A′B′在平行于x轴的直线上，
∴点P1(1,2)，P2(0,4)，P3(3,4)中，在线段A′B′上的点是P3，
故答案为P3；
(2)当线段AB进行“t型平移”后与y轴有交点时，
当A′的横坐标为0时，2+t=0，则t=−2，
当点B′的横坐标为0时，4+t=0，则t=−4，
当−4≤t≤−2时，线段AB进行“t型平移”后与y轴有交点，
当线段AB进行“t型平移”后与x轴有交点时，
即点A′的纵坐标为0，3−t=0，则t=3，
当t=3时，线段AB进行“t型平移”后与x轴有交点，
若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是−4≤t≤−2或t=3．
故答案为−4≤t≤−2或t=3；
(3)如图中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B′E的最小值保持不变，最小值为B′C的长．此时1≤t≤3．
(1)①根据“1型平移”的定义解决问题即可．
②画出线段A1B1即可判断．
(2)根据定义求出t最大值，最小值即可判断．
(3)如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，A′E的最小值保持不变，最小值为B′C的长．
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．
2022-2023学年北京市燕山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. π的相反数是( )
A. 1π B. −1π C. −π D. π
2. 在下面的四个图案中，可以通过平移如图图案得到的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠BOD=40°，则∠AOC的度数是( )
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
4. 党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”.某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动.为了解学生的课外阅读情况，从全校2000名学生记录的一周的课外阅读时间(单位：小时)中随机抽取了200名学生课外阅读时间(单位：小时)进行统计，在这个问题中以下说法正确的是( )
A. 200名学生一周的课外阅读时间是样本 B. 200名学生是总体
C. 此调查为全面调查 D. 样本容量是2000
5. 在数轴上表示不等式2x−6<0的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 两位同学在讨论一个一元一次不等式．
强强说：“不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向.”
国国说：“不等式的解集为x≤5.”
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是( )
A. −2x≥−10 B. 2x<10 C. −2x>10 D. −2x≤−10
7. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. a>−2 B. |a|<|b| C. ab>0 D. a<−b
8. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱.问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是( )
A. y=8x−3y=7x+4 B. y=8x+3y=7x+4 C. y=8x−3y=7x−4 D. y=8x+3y=7x−4
9. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
x2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
下面有四个推断：
① 2.2801=1.51
②一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间
③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01
④16.22比16.12大3.23
所有合理推断的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，那么A2023坐标为( )
A. (2023,1) B. (2023,0) C. (1011,1) D. (1011,0)
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
11. 4964的平方根是______ ．
12. 如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是______，根据是______．
13. 下列命题中，①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线平行；④若a2>b2，则a>b.是真命题的是______ .(填序号)
14. 用不等式表示“a的2倍与b的差不小于5”：______ ．
15. 若点P(−3,2x)位于第二象限，则x的取值范围是______ ．
16. 已知二元一次方程组x+3y=53x+y=−1，则x+y= ______ ，x−y= ______ ．
17. 如图，点C在射线BD上，请你添加一个条件______，使得AB//CE．
18. 在平面直角坐标系中，点P是第二象限的点，它到x轴和y轴的距离相等，请写出一个满足条件的点P的坐标______．
19. 小华同学统计了他所在小区居民每天手机阅读的时间，并绘制了直方图，如图所示：
①小华同学一共统计了74人；
②每天手机阅读不足20分钟的人数有8人；
③每天手机阅读30～40分钟的人数最多；
④每天手机阅读0～10分钟的人数最少．
根据图中信息，上述说法中正确的是______ ．
20. 某化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地，已知公路运价为1.5元/(t⋅km)，铁路运价为1.2元/(t⋅km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.设购买xt原料，制成yt产品.则从A地到这家化工厂原料运输费是______ ，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多______ 元.
三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）
21. 解二元一次方程组5x+y=−3,3x+2y=1.
22. 如图，直线AB与CD相交，∠1=30°，求∠2，∠3，∠4的度数．
四、解答题（本大题共8小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. (本小题5.0分)
计算： 49+3−27+|1− 2|− 2．
24. (本小题6.0分)
解不等式组：2x+3≥x+12x+53−1<2−x，并把它的解集在数轴上表示出来．
25. (本小题6.0分)
如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为(0,3)，北京大学的坐标为(−3,2)．
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出中国地质大学的坐标：______ ；
(2)若中国人民大学的坐标为(−3,−4)，请在坐标系中标出中国人民大学的位置．
26. (本小题5.0分)
按要求完成下列证明：
已知：如图，AB//CD，直线AE交CD于点C，∠BAC+∠CDF=180∘．
求证：AE//DF．
证明：∵AB//CD( )
∴∠BAC=∠DCE( )，
∵∠BAC+∠CDF=180∘(已知)
∴ +∠CDF=180∘( )
∴AE//DF( ).
27. (本小题6.0分)
开展回收废旧电池这项活动，不仅可以提高人们的环保意识，有利于倡导低碳生活方式，同时，还可以为节约能源资源，保护生态环境，多做贡献.某校环保小组成员收集废旧电池，第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总重量650g；第二天收集3节1号电池，4节5号电池，总重量为400g.1节1号电池和1节5号电池的重量分别是多少？
28. (本小题7.0分)
华罗庚先生是中国著名数学家.为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”.小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄(单位：岁)进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x<60
60≤x<65
65≤x<70
70≤x<75
75≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
频数
3
1
11
7
m
3
2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出m的值是______ ，截止到第十六届共有______ 人获得“华罗庚数学奖”；
(2)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(3)第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄______ (填“小”或“大”)，理由是______ ．
29. (本小题7.0分)
已知：如图，A，B是直线l上两点，AB//CD，连接AD，BD，BC，若BD平分∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)请你猜想AD与BC的位置关系，并证明；
(2)若∠DAB=α，求∠CDB的大小(用含α的式子表示)．
30. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形M上的任意点P(x,y)，给出如下定义：将点P(x,y)平移到P′(x+t,y−t)称为将点P进行“t型平移”，点P′称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“t型平移”称为将图形M进行“t型平移”.例如，将点P(x,y)平移到P′(x+1,y−1)称为将点P进行“1型平移”，将点P(x,y)平移到P′(x−1,y+1)称为将点P进行“−1型平移”．
已知点A(2,3)和点B(4,3)．
(1)①将点A(2,3)进行“1型平移”后的对应点A′的坐标为______ ；
②将线段AB进行“−1型平移”后得到线段A′B′，点P1(1,2)，P2(0,4)，P3(3,4)中，在线段A′B′上的点是______ ．
(2)若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是______ ；
(3)已知点C(3,0)，D(5,−2)，点E是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B′，若B′E的最小值保持不变，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：π的相反数是−π，
故选：C．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：根据平移的定义可得图案B可以通过已知图案平移得到，
故选：B．
根据题意，结合图案，由平移的概念求解．
此题主要考查了利用平移设计图案，正确掌握平移的定义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∵∠BOD=40°，
∴∠BOC=50°；
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°−50°=130°．
故选：B．
利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题关键是找准互余的两角、互补的两角．
4.【答案】A
【解析】解：A、200名学生一周的课外阅读时间是样本，故A符合题意；
B、2000名学生一周的课外阅读时间是总体，故B不符合题意；
C、此调查为抽样调查，故C不符合题意；
D、样本容量是200，故D不符合题意；
故选：A．
根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：2x−6<0，
2x<6，
x<3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、−2x≥−10，解得x≤5，符合题意；
B、2x<10，未知数系数为正数，不符合题意；
C、−2x>10，解得x<−5，不符合题意；
D、−2x≤−10，解得x≥5，不符合题意．
故选：A．
找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求．
本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能改变不等号方向，其它都不会改变不等号方向．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵a在−2的左侧，
∴a<−2，
故选项A错误，不符合题意；
B、∵表示a的点离原点的距离大于表示b的点离开原点的距离，
∴|a|>|b|，
故选项B错误，不符合题意；
C、∵a<0，b>0，
∴ab<0，
故选项C错误，不符合题意；
D、∵表示−b的点在−1和−2之间，表示a的点在−2和−3之间，
∴a<−b，
故选项D正确，符合题意．
故选：D．
根据数轴上右边的点表示的数大于左边的数可判断选项A是否正确；
根据绝对值的几何意义可判断选项B是否正确；
先判断a，b的正负，再根据有理数乘法法则判断选项C是否正确；
根据相反数的意义确定−b在数轴上的位置，再根据数轴上右边的点表示的数大于左边的数可判断选项D是否正确．
本题考查数轴、相反数的概念，以及实数大小的比较，有理数乘法运算法则等，掌握相关概念和法则，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得：y=8x−3y=7x+4，
故选：A．
设有x人，买此物的钱数为y，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9.【答案】D
【解析】解：根据表格中的信息知： 2.2801=1.51，故①正确；
根据表格中的信息知：15.52=240.25
∴一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间，故②正确；
∵14.92=222.01，14.82=219.04，14.72=216.09
∴对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01，故③正确；
∵16.22=262.44，16.12=259.21，262.44−259.21=3.23，故④正确；
∴合理推断的序号是①②③④．
故选：D．
根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而2023÷4=505⋯⋯3，
∴A2023的纵坐标与A3的纵坐标相同，都等于0．
循环中与A3对应的点分别为A7(3,0)，A11(5,0)，⋯，
∴A3对应的点的横坐标的变化规律为2n+1(n为循环次数)，
∴A2023的横坐标为2×505+1=1011，
∴A2023(1011,0)．
故选：D．
由图象可得出纵坐标每四个点循环一次，进而得出A2023的纵坐标与A3的纵坐标相同，都等于0.再根据A3对应的点的横坐标的变化规律为2n+1(n为循环次数)，即可求出A2023的横坐标，即可选择．
本题考查平面直角坐标系中的动点规律问题，找准点的变化规律是解题的关键．
11.【答案】±78
【解析】解：∵(±78)2=4964，
∴4964的平方根是±78，
故答案为：±78．
运用平方根的定义进行求解．
此题考查了实数平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
12.【答案】135° 两直线平行，内错角相等
【解析】解：∠B=135°，
理由是：∵道路是平行的，
∴∠B=∠A=135°．
即两直线平行，内错角相等；
故答案为：135°；两直线平行，内错角相等
由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
13.【答案】①③
【解析】解：①对顶角相等，是真命题；
②内错角不一定相等，是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
④若a2>b2，则a不一定大于b，是假命题；
故答案为：①③．
根据对顶角的性质判断①；根据平行线的判定方法判断②；根据平行公理的推论判断③；根据平方根定义判断④．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14.【答案】2a−b≥5
【解析】解：由题意得，2a−b≥5．
故答案为：2a−b≥5．
a的2倍即2a，不小于5即≥5，据此列不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题的关键．
15.【答案】x>0
【解析】解：∵点P(−3,2x)位于第二象限，
∴2x>0，
∴x>0，
故答案为：x>0．
根据第二象限点的坐标特征(−,+)可得2x>0，然后进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
16.【答案】1 −3
【解析】解：x+3y=5①3x+y=−1②，
①+②得：4x+4y=4，
解得：x+y=1，
②−①得：2x−2y=−6，
解得：x−y=−3，
故答案为：1；−3．
利用整体的思想，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体的思想是解题的关键．
17.【答案】∠B=∠ECD或∠B+∠BCE=180°或∠A=∠ACE
【解析】解：当∠B=∠ECD时，AB//CE；
当∠B+∠BCE=180°时，AB//CE；
当∠A=∠ACE时，AB//CE．
故答案为∠B=∠ECD或∠B+∠BCE=180°或∠A=∠ACE．
根据平行线的判定方法求解．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
18.【答案】(−2,2)
【解析】解：∵P在第二象限，且点P到x轴、y轴的距离相等，
∴P点的坐标为(−2,2)(答案不唯一)．
故答案为：(−2,2)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
19.【答案】①③④
【解析】解：①小华同学一共统计了4+8+14+20+16+12=74(人)，故①正确；
②每天手机阅读不足20分钟的人数有4+8=12(人)，故②错误；
③每天手机阅读30～40分钟的人数最多，故③正确；
④每天手机阅读0～10分钟的人数最少，故④正确．
故答案为：①③④．
根据直方图表示的意义求得统计的总人数，以及每组的人数即可判断．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20.【答案】63600元 1887800
【解析】解：由题意得，
1.5(10x+20y)=150001.2(120x+110y)=97200，
整理得，
x+2y=100012x+11y=8100，
解得x=400y=300，
∴(10×1.5+120×1.2)×400
=(15+144)×400
=159×400
=63600(元)，
∴从A地到这家化工厂原料运输费是63600元，
∴8000×300−(400×1000+15000+97200)
=2400000−(400000+15000+97200)
=2400000−512200
=1887800(元)．
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
先根据题意列出二元一次方程组得1.5(10x+20y)=150001.2(120x+110y)=97200，求解，原料运输费=铁路运输费+公路运输费．销售款−(原料费+运输费)解答．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是列出二元一次方程组并解答，再根据实际意义进行列式．
21.【答案】解：5x+y=−3 ①3x+2y=1 ②
①×2−②，可得：7x=−7，
解得x=−1，
把x=−1代入①，可得：−5+y=−3，
解得y=2，
∴原方程组的解是x=−1y=2．
【解析】此题主要考查了解二元一次方程组，用加减消元法求解即可．
22.【答案】解：∵∠1+∠2=180°(邻补角互补)，∠1=30°(已知)，
∴∠2=150°(等式性质)．
∵∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)，
∴∠3=30°，∠4=150°(等量代换)．
【解析】利用对顶角、邻补角的定义，计算得结论．
本题考查了邻补角、对顶角等知识点，掌握“邻补角互补”、“对顶角相等”是解决本题的关键．
23.【答案】解：原式=7−3+ 2−1− 2
=3．
【解析】原式利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
24.【答案】解：2x+3≥x+1①2x+53−1<2−x②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<45，
∴原不等式组的解集为：−2≤x<45，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
25.【答案】(3,1)
【解析】解：(1)
中国地质大学的坐标：(3,1)；
故答案是：(3,1)；
(2)中国人民大学的坐标为(−3,−4)，位置如图所示．
(1)利用清华大学的坐标为(0,3)，北京大学的坐标为(−3,2)画出直角坐标系；
(2)根据点的坐标的意义描出中国人民大学所表示的坐标．
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
26.【答案】解：已知 ；
两直线平行，同位角相等；
∠DCE ，等量代换；
同旁内角互补，两直线平行.
【解析】证明：∵AB//CD(已知)，
∴∠BAC=∠DCE(两直线平行，同位角相等)．
∵∠BAC+∠CDF=180°(已知)，
∴∠DCE+∠CDF=180°(等量代换)．
∴AE//DF(同旁内角互补，两直线平行)．
故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；∠DCE；同旁内角互补，两直线平行．
由已知条件AB//CD，利用平行线性质知∠BAC=∠DCE，根据等量代换得∠DCE+∠CDF=180°，由平行线的判定即可得证．
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
27.【答案】解：设1节1号电池的重量是x g，1节5号电池的重量是y g，
根据题意得：5x+6y=6503x+4y=400，
解得：x=100y=25．
答：1节1号电池的重量是100g，1节5号电池的重量是25g．
【解析】设1节1号电池的重量是x g，1节5号电池的重量是y g，根据“第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总重量650g；第二天收集3节1号电池，4节5号电池，总重量为400g”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28.【答案】3 30 小 因为70及70以上的百分比为7+3+3+230=50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小
【解析】解：(1)截止到第十六届，获得“华罗庚数学奖”的人数为(3+1+11+7+3+2)÷(1−10%)=30，
∴m=30×10%=3；
故答案为：3，30；
(2)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图如下：
(3)他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由：
因为70及70以上的百分比为7+3+3+230=50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
故答案为：小，因为70及70以上的百分比为7+3+3+230=50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
(1)“75≤x<80“之外的频数除以90%可得总人数，用总人数乘以10%即可求出m的值；
(2)根据m的值，进而补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(3)根据70及70以上的百分比即可得答案．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29.【答案】解：(1)AD//BC，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∠1+∠DAB=180°，
∴∠DAB=∠2，
∴AD//BC；
(2)∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠DAB=α，
∴∠ABC=180°−α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=90°−12α，
∵AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=90°−12α.
【解析】(1)结合邻补角定义推出∠DAB=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
30.【答案】(3,2) P3 −4≤t≤−2或t=3
【解析】解：(1)①将点A (2,3)进行“1型平移”后的对应点A′的坐标为(3,2)，
故答案为(3,2)；
②∵将线段AB进行“−1型平移”后得到线段A′B′，
∴A′(1,4)，B′(3,4)，
∴A′B′在平行于x轴的直线上，
∴点P1(1,2)，P2(0,4)，P3(3,4)中，在线段A′B′上的点是P3，
故答案为P3；
(2)当线段AB进行“t型平移”后与y轴有交点时，
当A′的横坐标为0时，2+t=0，则t=−2，
当点B′的横坐标为0时，4+t=0，则t=−4，
当−4≤t≤−2时，线段AB进行“t型平移”后与y轴有交点，
当线段AB进行“t型平移”后与x轴有交点时，
即点A′的纵坐标为0，3−t=0，则t=3，
当t=3时，线段AB进行“t型平移”后与x轴有交点，
若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是−4≤t≤−2或t=3．
故答案为−4≤t≤−2或t=3；
(3)如图中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B′E的最小值保持不变，最小值为B′C的长．此时1≤t≤3．
(1)①根据“1型平移”的定义解决问题即可．
②画出线段A1B1即可判断．
(2)根据定义求出t最大值，最小值即可判断．
(3)如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，A′E的最小值保持不变，最小值为B′C的长．
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．
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