湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022年下学期期考高二数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的.

1. 数列－1，4，－9，16，－25，…的一个通项公式为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】奇数项为负数，偶数项为正数，则符号为，结合具体数值可辨析.

【详解】奇数项为负数，偶数项为正数，则符号为，

每项都为平方数，故，

故选：B.

2. 直线的倾斜角为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的方程求出斜率，再根据斜率得到倾斜角即可．

【详解】由直线,可得，

∴直线的斜率.

设直线的倾斜角为，则，

∵，∴.

故选:B

3. 经过点，倾斜角为的直线方程为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程．

【详解】倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点，

由点斜式求得直线的方程为，即，

故选D．

【点睛】本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．

4. 已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为8，则m＝（）

A. 4 B. 8

C. 16 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆的标准方程以及焦点可得，由2a＝8，从而求出.

【详解】椭圆的焦点在y轴上，则

由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.

故选：C.

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，需熟记椭圆的性质，属于基础题.

5. 若三个数成等差数列，则直线必经过定点（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列定义可得，代入直线方程整理即可求得定点坐标.

【详解】成等差数列，，即，

，直线恒过定点.

故选：A.

6. 已知，是的导函数，即，，，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求函数的导数，判断函数的周期，利用函数的周期性即可求解．

【详解】解：，

，

，

，

，

，

即是周期为4的周期函数，

，

故选：D．

7. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（）

A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为

B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为

C. 存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线

D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切

【答案】B

【解析】

【分析】

根据的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知的正误.

【详解】对于，当时，曲线方程为，轨迹为椭圆，

焦距，错误；

对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，

则，，离心率，正确；

对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，

不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误；

对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，

则圆圆心到渐近线的距离，

双曲线渐近线与圆不相切，错误.

故选：.

【点睛】本题考查椭圆、双曲线几何性质的应用，涉及到椭圆和双曲线焦距和离心率的求解、根据方程表示双曲线求解参数、直线与圆位置关系的判定等知识，是对解析几何部分基础知识的综合考查.

8. 已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值

范围是（　　　）

A. [0,) B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：因为，所以，选A.

考点：导数的几何意义、正切函数的值域.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.

9. 若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论

【详解】解：直线的斜率为，

由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；

由的导数为，而，解得，故B正确；

由的导数为，而有解，故C正确；

由的导数为，而，解得，故D正确，

故选：BCD

【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题

10. 数列{an}的前n项和为Sn，，则有（）

A. Sn＝3n－1 B. {Sn}为等比数列

C. an＝2·3n－1 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.

【详解】依题意，

当时，，

当时，，

，所以，

所以，

所以.

当时，；当时，符合上式，所以.

，所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

11. 如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，下列四个说法正确的为（）

A. 到四点的距离之和为定值

B. 曲线关于直线均对称

C. 曲线所围区域面积必小于36

D. 曲线总长度不大于

【答案】BC

【解析】

【分析】由点在两个椭圆内部重叠区域的边界上可知，当点在上下边界上时，到的距离之和为定值，当点在左右边界上时，到的距离之和为定值，可判断A错误；利用椭圆的对称性可得B正确；曲线所围区域在边长为6的正方形内部，在半径为3的圆外部，可判断出，得出答案．

【详解】易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点.若点仅在椭圆上，则到、两点的距离之和为定值，到两点的距离之和不为定值，故A错误；

两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故B正确；

曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长，故D错误.

故选：BC

【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆中的范围问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

12. 黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则（）

A. 4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021 B. a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1

C. a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 D. a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0

【答案】ABD

【解析】

分析】对于A，由题意得bn ＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化简可得结果

【详解】由题意得bn ＝an2，则4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，则选项A正确；

又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；

数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－an－2，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－an－1 an－2，则a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a3a2－a2a1)＋(a3a4－a3a2)＋…＋(a2020a2021－a2020a2019)＝a12＋a2020a2021－a2a1＝a2020a2021，则选项C错误；

由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，则选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 直线与圆的位置关系是________.

【答案】相交

【解析】

【分析】由圆的一般方程可求得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离小于半径，由此可得结论.

【详解】由圆方程知：圆心，半径，

圆心到直线的距离，直线与圆相交.

故答案为：相交.

14. 已知，，则________.

【答案】3

【解析】

【分析】根据导数的计算公式求出，然后把代入解方程即可．

【详解】.

,．

故答案为：3．

15. 公差不为零的等差数列中，，则数列中第________项的值与的值相等.

【答案】11

【解析】

【分析】根据等差数列的基本量根据已知等式求得，再得通项公式，即可得所求.

【详解】解：设等差数列的公差为，且，又，所以，则，

则，又，所以，又，故.

故答案为：11.

16. 如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于______．

【答案】

【解析】

【分析】由圆锥体积计算出圆锥的高，从而得母线长，可得，然后以为坐标原点，为轴，与平行的直线为轴建立平面直角坐标系，得抛物线方程为，代入点坐标，求得，从而得结论．

【详解】由，得，则，，，

以为坐标原点，为轴，与平行的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设抛物线的方程为，

∴，解得，故焦点到其准线的距离等于．

故答案为：1.

【点睛】本题考查空间图形中的平面轨迹问题，解题时可在此平面内建立平面直角坐标系，利用平面解析几何知识求解．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知曲线.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程.

【答案】（1）

（2）和.

【解析】

【分析】（1）对曲线求导,求出点处切线的斜率,再求出切线方程;

（2）设切点为,由曲线的切线斜率为1,求出切点坐标,再求出切线方程.

【小问1详解】

由,得，

∴在点处切线的斜率.

∴曲线在点处的切线方程为，

即.

【小问2详解】

设切点为，则切线的斜率为.

曲线的切线斜率为1,,解得，

切点为，.

切线方程为和，

即和.

18. 圆内一点，过点的直线的倾斜角为，直线交圆于两点．

⑴当时，求弦的长；

⑵当弦被点平分时，求直线的方程．

【答案】(1)；（2）

【解析】

【分析】(1)由倾斜角求出斜率，进而求出直线方程，然后利用弦长公式.

(2)根据，可得到直线l的斜率，进而求出直线l的方程.

【详解】由直线l的倾斜角为,得到直线l斜率为-1，

则直线AB的解析式为y-2=-(x+ 1) ,即x+y-1=0 ,

∴圆心到直线AB的距离，

则弦AB的长为；

由圆的方程得到圆心坐标为(0,0)，

∵P(-1,2) ,

∴过P的直径所在直线的斜率为-2 ,根据垂径定理得到直线l方程斜率为，

则直线l方程为，即x- 2y+5= 0.

19. 已知函数.

（I）若函数在处的切线方程为，求的值；

（II）若在上为增函数，求实数得取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】（I）利用导数的几何意义及切点在曲线上和切线上即可求解；

（II）根据函数在上为增函数转化为在上恒成立，再将函数恒成立问题转化为求函数的最值，结合函数单调性即可求解.

【详解】（I）由题意可知，，

又因为在处的切线方程为，

所以，解得.

所以的值分别为.

（II）由（I）知，，

因为在上为增函数，

所以在上恒成立.

即在上恒成立等价于，即可.

令，，则

由幂函数的性质知，在上为增函数；

，即.

所以实数得取值范围为.

20. 已知数列的前n项和为，，.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）令，求数列的前n项和.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】(1)将原式化简后两边同除可得等差关系；

(2)利用数列的通项解出，再用错位相减法求解；

【小问1详解】

,两边同除，

得，

又，

所以数列是首项为5，公差为1的等差数列.

小问2详解】

由（1）可知，所以.

当时，.

又也符合上式，所以（），

所以，

所以，①

，②

所以②①得

.

21. 已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*).

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设cn＝1－ (n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列的变号数.

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

【分析】（1）根据数列的求和公式求数列的通项公式即可；

（2）根据得到，可知n≥5时，恒有cn＞0，计算cn，，可知满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数.

【详解】(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.

又由a＞0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.

所以Sn＝n2－4n＋4.

当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.

所以an＝

(2)由题意得cn＝

由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.

又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，

即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0

所以数列{cn}的变号数为3.

【点睛】本题主要考查了由数列的求和公式求数列的通项公式，通项公式的应用，考查了分析问题的能力，属于中档题.

22.

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；

（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；

（ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.

【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；

（2）（i）

[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】

依题意设，

直线的斜率为，则，

所以．

又，所以，

进而有，即是直角三角形．

[方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】

由题意设，则．

因为Q，E，G三点共线，所以，

又因为点P，G在椭圆上，所以，

两式相减得，

所以，所以．

（ii）

[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】

设，则直线的方程为，联立解得所以直线的方程为．联立直线的方程和椭圆C的方程，可得，则，所以．

令，即

．

注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，．

[方法二]【求得面积表达式，然后利用基本不等式求最值】

设面积为S．设直线的方程为，由题意可知，直线的方程与椭圆的方程联立，即解得P点的横坐标．再由直线的方程和椭圆的方程联立，即

得，由韦达定理得．

由弦长公式得，．

．

当且仅当即时，等号成立．

[方法三]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后由基本不等式求最值】

设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为．

由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，．

又，从而，进而．以下同解法二．

【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键；

方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单.

(ii)方法一：导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解；

方法二：基本不等式要注意一正二定三相等，缺一不可；

方法三：使用基本不等式的前提是构造解析式使得和或者乘积为定值.