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河南省商丘市虞城县部分学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（A卷）（含答案）
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这是一份河南省商丘市虞城县部分学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（A卷）（含答案），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省商丘市虞城县部分学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（A卷）（解析版）
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填在题后括号内.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2
2．（3分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直
D．四条边和四个内角都相等
3．（3分）下列各式计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某校8年级进行了3次周清考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次测试的平均分都是109分，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝4.3，s丙2＝5.1，s丁2＝6.2，则这4名同学中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x向下平移3个单位长度，则平移后的直线经过（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，3）
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是 （ ）
A．DC＝AD B．AO⊥BD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
7．（3分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，0），C（1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（2，0） D．（0，2）
8．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（m，1），则关于x的不等式﹣x﹣1＞kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜1
9．（3分）勾股定理是我国的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1＝1，S2＝2，S3＝3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
10．（3分）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，如图1是镭所剩的质量随着时间的变化而变化，图2是“半衰期”的相关内容．下列说法不正确的是（ ）
A．镭所剩质量与时间成函数关系
B．当时间为4860年时，m的值为
C．镭的半衰期是1620年
D．32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是6480年
二、填空题(每小题3分,共15分)
11．（3分）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ．
12．（3分）若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 ．
13．（3分）某银行职位招聘分笔试和面试两部分，其中笔试、面试的分数权重为60%和40%．李梅笔试成绩为90分，面试成绩为85分，其最终成绩为 ．
14．（3分）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ．
15．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（9分）2023年开展的一系列“书香学校”“书香家庭”和“书香少年”评比活动助力“书香河南”，倡导全民阅读．实验中学为了解全校学生阅读的情况，随机抽查了部分学生在一学期内阅读书籍的本数，并制成了不完整的统计图表．
阅读书籍本数统计表：
阅读书籍本数/本
2本及以下
3
4
5本及以上
人数/人
10
16
m
13
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，m的值为 ；
（2）本次抽查的阅读书籍本数的中位数和众数分别为 ；
（3）若该校共有900名学生，估计该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数．
18．（9分）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为BC、AD边中点，连接AE、CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？说明理由．
20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．
（1）利用尺规在BC边上求作点E，使得BE＝4（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）对于试题“连结AE，过点D作 DF⊥AE，垂足为F，求DF的长”，某初中数学小组的同 学给出了两种方案：
方案一：利用三角形全等直接求出；
方案二：利用等面积法和平行线间的距离处处相等直接求出．
请你任选一个方案完成试题的解答．
21．（9分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）过点M（0，﹣2）和点A （1，﹣3），点A向上平移5个单位长度得到点B．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求k和b的值；
（3）若一次函数y＝mx﹣2（m≠0）与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
22．（10分）“黑白挪移尽妙玄，百转千回体方圆”．某中学棋类社团计划购买一批象棋和围棋，经问询知购买相同数量的象棋和围棋分别需要420元和315元，且每副象棋比每副围棋贵15元．
（1）求每副围棋和象棋的售价各是多少元？
（2）社团最终决定购买围棋和象棋共40副，且要求象棋数量不低于围棋数量的3倍，请问如何购买才能使得总费用最低，最低总费用为多少元？
23．（10分）如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts．
（1）求BC的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长；
（3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填在题后括号内.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直
D．四条边和四个内角都相等
【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
【解答】解：A．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意；
B．菱形对角线平分一组对角，正确，不符合题意；
C．菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；
D．菱形的四条边相等，但四个内角不一定相等，不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键．
3．（3分）下列各式计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的化简的法则，立方根的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，立方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）某校8年级进行了3次周清考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次测试的平均分都是109分，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝4.3，s丙2＝5.1，s丁2＝6.2，则这4名同学中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵s甲2＝3.2，s乙2＝4.3，s丙2＝5.1，s丁2＝6.2，
∴甲的方差最小，
∴这4名同学中成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x向下平移3个单位长度，则平移后的直线经过（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，3）
【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式，再把点的坐标代入判断即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x向下平移3个单位长度所得函数的解析式为y＝2x﹣3．
当x＝﹣1时，y＝﹣5，则平移后的直线不经过点（﹣1，﹣1），故A不合题意；
当x＝0时，y＝﹣3，则平移后的直线不经过点（0，0），故B不合题意；
当x＝1时，y＝﹣1，则平移后的直线经过点（1，﹣1），故C符合题意；
当x＝2时，y＝1，则平移后的直线不经过点（2，3），故D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是 （ ）
A．DC＝AD B．AO⊥BD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键
7．（3分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，0），C（1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（2，0） D．（0，2）
【分析】根据已知可得AB＝AC＝5，OA＝4．利用勾股定理即可求解．
【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝5，OA＝4．
在Rt△ABO中，OB＝＝3．
∴B（0，3）．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
8．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（m，1），则关于x的不等式﹣x﹣1＞kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜1
【分析】根据题意知，直线y＝kx+b位于直线y＝﹣x﹣1上方的部分符合题意．
【解答】解：如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（m，l），
把（m，l）代入y＝﹣x﹣1，得：1＝﹣m﹣1，
解得：m＝﹣2，
∴关于x的不等式﹣x﹣1＞kx+b的解集为x＜﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式．本题要求利用图象求解各问题，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函数与一元一次不等式之间的关系．
9．（3分）勾股定理是我国的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1＝1，S2＝2，S3＝3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，
∴，
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3，
∵S1＝1，S2＝2，S3＝3，
∴两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积＝1+2+3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么c2＝a2+b2．关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等．
10．（3分）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，如图1是镭所剩的质量随着时间的变化而变化，图2是“半衰期”的相关内容．下列说法不正确的是（ ）
A．镭所剩质量与时间成函数关系
B．当时间为4860年时，m的值为
C．镭的半衰期是1620年
D．32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是6480年
【分析】利用函数的定义即可判断A选项；根据函数图象即可判断B选项；根据“半衰期”的定义即可判断C选项；每经过1620年，镭的质量减为原来的一半，当质量为32mg经过n个1620年后，镭的质量为×32（mg），则当n＝5时，镭的质量缩减为1mg，以此可判断D选项．
【解答】解：A．对于每一个时间，m都有唯一的值与它对应，所以镭所剩质量与时间成函数关系，故A选项正确，不符合题意；
B．根据函数图象可知，当时间为4860年时，m的值为，故B选项正确，不符合题意；
C．当镭的质量减为时，时间为1620年，所以镭的半衰期是1620年，故C选项正确，不符合题意；
D．每经过1620年，镭的质量减为原来的一半，当质量为32mg经过n个1620年后，镭的质量为×32（mg），
所以当镭的质量为1mg时，n＝5，即32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是1620×5＝8100年，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义、函数的图象、新定义问题，根据题意结合函数图象得出镭的半衰期是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共15分)
11．（3分）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 1（答案不唯一） ．
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解：当n＝1时，＝，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
12．（3分）若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 10 ．
【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当8最大时，即可求解．
【解答】解：当a最大时，，
当8最大时，，不是正整数，
所以a的值为10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键．
13．（3分）某银行职位招聘分笔试和面试两部分，其中笔试、面试的分数权重为60%和40%．李梅笔试成绩为90分，面试成绩为85分，其最终成绩为 88分 ．
【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：∵笔试、面试的分数权重为60%和40%．李梅笔试成绩为90分，面试成绩为85分，
∴最终成绩为（90×60%+85×40%）＝88（分），
故答案为：88分．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．
14．（3分）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 y＝﹣3x ．
【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值．
【解答】解：根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）．
因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0，
解得：t＝﹣3．
故正比例函数为y＝﹣3x，
故答案为：y＝﹣3x．
【点评】此题为阅读理解题，结合考查正比例函数的定义，有新意，但难度不大．
15．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除法，再算减法即可．
【解答】解：（1）
＝+﹣﹣
＝+﹣﹣
＝﹣﹣；
（2）
＝3﹣
＝6﹣
＝5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（9分）2023年开展的一系列“书香学校”“书香家庭”和“书香少年”评比活动助力“书香河南”，倡导全民阅读．实验中学为了解全校学生阅读的情况，随机抽查了部分学生在一学期内阅读书籍的本数，并制成了不完整的统计图表．
阅读书籍本数统计表：
阅读书籍本数/本
2本及以下
3
4
5本及以上
人数/人
10
16
m
13
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 50 ，m的值为 11 ；
（2）本次抽查的阅读书籍本数的中位数和众数分别为 3，3 ；
（3）若该校共有900名学生，估计该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数．
【分析】（1）根据阅读书籍本数1本的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，从而可以求得m的值；
（2）根据表格中的数据可以求得样本数据的中位数和众数；
（3）根据表格中的数据可以计算出该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数．
【解答】解：（1）本次调查的有：16÷32%＝50（人），
m＝50﹣10﹣16﹣13＝11，
故答案为：50，11；
（2）由表格可得，
该样本数据的中位数是3，众数是3，
故答案为：3，3；
（3）该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数为：900×＝468（人），
答：该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数为468人．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（9分）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）过点A作AE⊥BD于E，根据阴影部分面积为＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）即可求解．
【解答】解：（1）直角三角形，理由如下：
在△BCD中，CD＝6，BC＝8，BD＝10，
∴CD2+BC2＝62+82＝100＝102＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；
（2）由（1）知：△BCD是直角三角形且∠C＝90°，
∴，
过点A作AE⊥BD于E，
根据等腰三角形“三线合一”可知：点E为BD中点，
∴BE＝DE＝5，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AE＝＝12，
∴，
∴阴影部分面积为＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理以及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为BC、AD边中点，连接AE、CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？说明理由．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得到∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，再证出BE＝DF，即可运用SAS证明△ABE≌△CDF；
（2）可添加AE＝EC，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可判定．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵E、F分别为边BC、AD的中点，
∴DF＝AD，BE＝BC，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：添加AE＝EC．理由如下：
∵AF＝CE，AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，解决此题的关键是熟练运用平行四边形的性质得到AF＝FD＝AD，BE＝EC＝BC．
20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．
（1）利用尺规在BC边上求作点E，使得BE＝4（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）对于试题“连结AE，过点D作 DF⊥AE，垂足为F，求DF的长”，某初中数学小组的同 学给出了两种方案：
方案一：利用三角形全等直接求出；
方案二：利用等面积法和平行线间的距离处处相等直接求出．
请你任选一个方案完成试题的解答．
【分析】（1）由∠B＝90°，AB＝3，所求作的线段BE＝4，想到AE＝5，即AE＝AD，则以A为圆心，以AD长为半径作弧，交BC于点E，即得到线段BE；
（2）方案一：由作图得AD＝EA，四边形ABCD是矩形，DF⊥AE于点F，得AD∥BC，∠AFD＝∠B＝90°，所以∠DAF＝∠AEB，即可证明△DFA≌△ABE，则DF＝AB＝3；
方案二：连接DE，由作图得AE＝AD＝5，由矩形的性质得∠BAD＝90°，AD∥BC，则AB⊥AD，所以点E到AD的距离为3，则×5DF＝×5×3＝S△AED，求得DF＝3．
【解答】（1）作法：1.以A为圆心，以AD长为半径作弧，交BC于点E，
2．连结AE，
线段BE就是所求的线段．
证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝5，
∴∠B＝90°，AE＝AD＝5，
∴BE＝＝＝4，
∴线段BE就是所求的线段．
（2）方案一：解：由作图得AD＝EA，
∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE于点F，
∴AD∥BC，∠AFD＝∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
在△DFA和△ABE中，
，
∴△DFA≌△ABE（AAS），
∴DF＝AB＝3，
∴DF的长是3．
方案二：解：连接DE，由作图得AE＝AD＝5，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴AB⊥AD，
∴点E到AD的距离为3，
∴AE•DF＝AD•AB＝S△AED，
∴×5DF＝×5×3，
解得DF＝3，
∴DF的长是3．
【点评】此题重点考查矩形的性质、尺规作图、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出线段AE是解题的关键．
21．（9分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）过点M（0，﹣2）和点A （1，﹣3），点A向上平移5个单位长度得到点B．
（1）点B的坐标为 （1，2） ；
（2）求k和b的值；
（3）若一次函数y＝mx﹣2（m≠0）与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）依据题意，根据坐标平移的性质即可得解；
（2）依据题意，将M、A代入解析式y＝kx+b组成方程组即可求出k和b的值；
（3）依据题意，y＝mx﹣2过定点（0，﹣2），再分别求出过A和B的m的值，从而可以得到m的范围．
【解答】解：（1）由题意，点A （1，﹣3），点A向上平移5个单位长度得到点B，
∴纵坐标变成：﹣3+5＝2．
∴B（1，2）．
故答案为：（1，2）．
（2）由题意，一次函数y＝kx+b（k≠0）过点M（0，﹣2）和点A（1，﹣3）
∴．
∴k＝﹣1，b＝﹣2．
（3）如右图，y＝mx﹣2过定点（0，﹣2），
当一次函数y＝mx﹣2过点A（1，﹣3）时，得﹣3＝m﹣2，解得m＝﹣1．
当一次函数y＝mx﹣2过点B（1，2）时，得2＝m﹣2，解得m＝4．
如图，若一次函数y＝mx﹣2与线段AB有公共点，则m的取值范围是﹣1≤m≤4（m≠0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的判定和性质，利用数形结合，分类讨论是解题的关键．
22．（10分）“黑白挪移尽妙玄，百转千回体方圆”．某中学棋类社团计划购买一批象棋和围棋，经问询知购买相同数量的象棋和围棋分别需要420元和315元，且每副象棋比每副围棋贵15元．
（1）求每副围棋和象棋的售价各是多少元？
（2）社团最终决定购买围棋和象棋共40副，且要求象棋数量不低于围棋数量的3倍，请问如何购买才能使得总费用最低，最低总费用为多少元？
【分析】（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣20）元，根据“购买相同数量的象棋和围棋分别需要420元和315元，且每副象棋比每副围棋贵15元”列出方程并解答；
（2）设购买围棋m副，则购买象棋（60﹣m）副，根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x+15）元，
根据题意，得，
解得x＝45．
经检验x＝45是所列方程的根，并符合题意．
所以x+15＝60．
答：每副围棋45元，每副象棋60元；
（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，
根据题意，得40﹣m≥3m．
解得m≤10．
故m最大值是10．
因为每副围棋的单价低于每副象棋的单价，
所以当购买象棋30副，围棋10副，才能使总费用最小，最小费用是：10×45+30×60＝2250（元）．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一次函数的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
23．（10分）如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts．
（1）求BC的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长；
（3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．
【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）可得PC＝PA＝t，PA＝8﹣t，则62+（8﹣t）2＝t2，解出t＝．可求出CQ；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm
∴BC＝＝10（cm）．
（2）∵点P在边BC的垂直平分线上，取BC的中点D，作PD⊥BC，交PA于BA，连接CP，
∴PC＝PB＝t，BD＝CD＝5，AP＝8﹣t，
在Rt△APC中，PA2+AC2＝CP2，即（8﹣t）2+62＝t2
解得：t＝s．
此时，此时Q走了2×＝（cm）；
∵＞6，点Q在边BC上，
∴＝（cm）．
（3）①当AC＝CQ＝6时，
∴t＝＝6秒．
②当AQ'＝CQ'时，
∴∠Q'CA＝∠Q'AC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠BAQ'，
∴BQ'＝AQ'，
∴AQ'＝BQ'＝CQ'＝BC＝5cm，
∴t＝＝秒．
③当AQ″＝AC＝6时，过A点作AH⊥BC于点H，
∴AH＝＝，
∴CH＝＝．
∴CQ″＝2CH＝，
∴t＝＝秒．
综上所述：当t为6秒或秒或秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
河南省商丘市虞城县部分学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（A卷）（解析版）
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填在题后括号内.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2
2．（3分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直
D．四条边和四个内角都相等
3．（3分）下列各式计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某校8年级进行了3次周清考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次测试的平均分都是109分，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝4.3，s丙2＝5.1，s丁2＝6.2，则这4名同学中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x向下平移3个单位长度，则平移后的直线经过（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，3）
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是 （ ）
A．DC＝AD B．AO⊥BD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
7．（3分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，0），C（1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（2，0） D．（0，2）
8．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（m，1），则关于x的不等式﹣x﹣1＞kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜1
9．（3分）勾股定理是我国的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1＝1，S2＝2，S3＝3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
10．（3分）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，如图1是镭所剩的质量随着时间的变化而变化，图2是“半衰期”的相关内容．下列说法不正确的是（ ）
A．镭所剩质量与时间成函数关系
B．当时间为4860年时，m的值为
C．镭的半衰期是1620年
D．32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是6480年
二、填空题(每小题3分,共15分)
11．（3分）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ．
12．（3分）若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 ．
13．（3分）某银行职位招聘分笔试和面试两部分，其中笔试、面试的分数权重为60%和40%．李梅笔试成绩为90分，面试成绩为85分，其最终成绩为 ．
14．（3分）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ．
15．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（9分）2023年开展的一系列“书香学校”“书香家庭”和“书香少年”评比活动助力“书香河南”，倡导全民阅读．实验中学为了解全校学生阅读的情况，随机抽查了部分学生在一学期内阅读书籍的本数，并制成了不完整的统计图表．
阅读书籍本数统计表：
阅读书籍本数/本
2本及以下
3
4
5本及以上
人数/人
10
16
m
13
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，m的值为 ；
（2）本次抽查的阅读书籍本数的中位数和众数分别为 ；
（3）若该校共有900名学生，估计该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数．
18．（9分）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为BC、AD边中点，连接AE、CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？说明理由．
20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．
（1）利用尺规在BC边上求作点E，使得BE＝4（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）对于试题“连结AE，过点D作 DF⊥AE，垂足为F，求DF的长”，某初中数学小组的同 学给出了两种方案：
方案一：利用三角形全等直接求出；
方案二：利用等面积法和平行线间的距离处处相等直接求出．
请你任选一个方案完成试题的解答．
21．（9分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）过点M（0，﹣2）和点A （1，﹣3），点A向上平移5个单位长度得到点B．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求k和b的值；
（3）若一次函数y＝mx﹣2（m≠0）与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
22．（10分）“黑白挪移尽妙玄，百转千回体方圆”．某中学棋类社团计划购买一批象棋和围棋，经问询知购买相同数量的象棋和围棋分别需要420元和315元，且每副象棋比每副围棋贵15元．
（1）求每副围棋和象棋的售价各是多少元？
（2）社团最终决定购买围棋和象棋共40副，且要求象棋数量不低于围棋数量的3倍，请问如何购买才能使得总费用最低，最低总费用为多少元？
23．（10分）如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts．
（1）求BC的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长；
（3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填在题后括号内.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直
D．四条边和四个内角都相等
【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
【解答】解：A．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意；
B．菱形对角线平分一组对角，正确，不符合题意；
C．菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；
D．菱形的四条边相等，但四个内角不一定相等，不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键．
3．（3分）下列各式计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的化简的法则，立方根的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，立方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）某校8年级进行了3次周清考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次测试的平均分都是109分，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝4.3，s丙2＝5.1，s丁2＝6.2，则这4名同学中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵s甲2＝3.2，s乙2＝4.3，s丙2＝5.1，s丁2＝6.2，
∴甲的方差最小，
∴这4名同学中成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x向下平移3个单位长度，则平移后的直线经过（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，3）
【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式，再把点的坐标代入判断即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x向下平移3个单位长度所得函数的解析式为y＝2x﹣3．
当x＝﹣1时，y＝﹣5，则平移后的直线不经过点（﹣1，﹣1），故A不合题意；
当x＝0时，y＝﹣3，则平移后的直线不经过点（0，0），故B不合题意；
当x＝1时，y＝﹣1，则平移后的直线经过点（1，﹣1），故C符合题意；
当x＝2时，y＝1，则平移后的直线不经过点（2，3），故D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是 （ ）
A．DC＝AD B．AO⊥BD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键
7．（3分）如图，平面直角坐标系中A（﹣4，0），C（1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（2，0） D．（0，2）
【分析】根据已知可得AB＝AC＝5，OA＝4．利用勾股定理即可求解．
【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝5，OA＝4．
在Rt△ABO中，OB＝＝3．
∴B（0，3）．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
8．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（m，1），则关于x的不等式﹣x﹣1＞kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜1
【分析】根据题意知，直线y＝kx+b位于直线y＝﹣x﹣1上方的部分符合题意．
【解答】解：如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（m，l），
把（m，l）代入y＝﹣x﹣1，得：1＝﹣m﹣1，
解得：m＝﹣2，
∴关于x的不等式﹣x﹣1＞kx+b的解集为x＜﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式．本题要求利用图象求解各问题，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函数与一元一次不等式之间的关系．
9．（3分）勾股定理是我国的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1＝1，S2＝2，S3＝3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，
∴，
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3，
∵S1＝1，S2＝2，S3＝3，
∴两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积＝1+2+3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么c2＝a2+b2．关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等．
10．（3分）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，如图1是镭所剩的质量随着时间的变化而变化，图2是“半衰期”的相关内容．下列说法不正确的是（ ）
A．镭所剩质量与时间成函数关系
B．当时间为4860年时，m的值为
C．镭的半衰期是1620年
D．32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是6480年
【分析】利用函数的定义即可判断A选项；根据函数图象即可判断B选项；根据“半衰期”的定义即可判断C选项；每经过1620年，镭的质量减为原来的一半，当质量为32mg经过n个1620年后，镭的质量为×32（mg），则当n＝5时，镭的质量缩减为1mg，以此可判断D选项．
【解答】解：A．对于每一个时间，m都有唯一的值与它对应，所以镭所剩质量与时间成函数关系，故A选项正确，不符合题意；
B．根据函数图象可知，当时间为4860年时，m的值为，故B选项正确，不符合题意；
C．当镭的质量减为时，时间为1620年，所以镭的半衰期是1620年，故C选项正确，不符合题意；
D．每经过1620年，镭的质量减为原来的一半，当质量为32mg经过n个1620年后，镭的质量为×32（mg），
所以当镭的质量为1mg时，n＝5，即32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是1620×5＝8100年，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义、函数的图象、新定义问题，根据题意结合函数图象得出镭的半衰期是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共15分)
11．（3分）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 1（答案不唯一） ．
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解：当n＝1时，＝，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
12．（3分）若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 10 ．
【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当8最大时，即可求解．
【解答】解：当a最大时，，
当8最大时，，不是正整数，
所以a的值为10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键．
13．（3分）某银行职位招聘分笔试和面试两部分，其中笔试、面试的分数权重为60%和40%．李梅笔试成绩为90分，面试成绩为85分，其最终成绩为 88分 ．
【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：∵笔试、面试的分数权重为60%和40%．李梅笔试成绩为90分，面试成绩为85分，
∴最终成绩为（90×60%+85×40%）＝88（分），
故答案为：88分．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．
14．（3分）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 y＝﹣3x ．
【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值．
【解答】解：根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）．
因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0，
解得：t＝﹣3．
故正比例函数为y＝﹣3x，
故答案为：y＝﹣3x．
【点评】此题为阅读理解题，结合考查正比例函数的定义，有新意，但难度不大．
15．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除法，再算减法即可．
【解答】解：（1）
＝+﹣﹣
＝+﹣﹣
＝﹣﹣；
（2）
＝3﹣
＝6﹣
＝5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（9分）2023年开展的一系列“书香学校”“书香家庭”和“书香少年”评比活动助力“书香河南”，倡导全民阅读．实验中学为了解全校学生阅读的情况，随机抽查了部分学生在一学期内阅读书籍的本数，并制成了不完整的统计图表．
阅读书籍本数统计表：
阅读书籍本数/本
2本及以下
3
4
5本及以上
人数/人
10
16
m
13
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 50 ，m的值为 11 ；
（2）本次抽查的阅读书籍本数的中位数和众数分别为 3，3 ；
（3）若该校共有900名学生，估计该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数．
【分析】（1）根据阅读书籍本数1本的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，从而可以求得m的值；
（2）根据表格中的数据可以求得样本数据的中位数和众数；
（3）根据表格中的数据可以计算出该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数．
【解答】解：（1）本次调查的有：16÷32%＝50（人），
m＝50﹣10﹣16﹣13＝11，
故答案为：50，11；
（2）由表格可得，
该样本数据的中位数是3，众数是3，
故答案为：3，3；
（3）该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数为：900×＝468（人），
答：该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”的人数为468人．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（9分）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）过点A作AE⊥BD于E，根据阴影部分面积为＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）即可求解．
【解答】解：（1）直角三角形，理由如下：
在△BCD中，CD＝6，BC＝8，BD＝10，
∴CD2+BC2＝62+82＝100＝102＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；
（2）由（1）知：△BCD是直角三角形且∠C＝90°，
∴，
过点A作AE⊥BD于E，
根据等腰三角形“三线合一”可知：点E为BD中点，
∴BE＝DE＝5，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AE＝＝12，
∴，
∴阴影部分面积为＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理以及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为BC、AD边中点，连接AE、CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？说明理由．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得到∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，再证出BE＝DF，即可运用SAS证明△ABE≌△CDF；
（2）可添加AE＝EC，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可判定．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵E、F分别为边BC、AD的中点，
∴DF＝AD，BE＝BC，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：添加AE＝EC．理由如下：
∵AF＝CE，AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，解决此题的关键是熟练运用平行四边形的性质得到AF＝FD＝AD，BE＝EC＝BC．
20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．
（1）利用尺规在BC边上求作点E，使得BE＝4（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）对于试题“连结AE，过点D作 DF⊥AE，垂足为F，求DF的长”，某初中数学小组的同 学给出了两种方案：
方案一：利用三角形全等直接求出；
方案二：利用等面积法和平行线间的距离处处相等直接求出．
请你任选一个方案完成试题的解答．
【分析】（1）由∠B＝90°，AB＝3，所求作的线段BE＝4，想到AE＝5，即AE＝AD，则以A为圆心，以AD长为半径作弧，交BC于点E，即得到线段BE；
（2）方案一：由作图得AD＝EA，四边形ABCD是矩形，DF⊥AE于点F，得AD∥BC，∠AFD＝∠B＝90°，所以∠DAF＝∠AEB，即可证明△DFA≌△ABE，则DF＝AB＝3；
方案二：连接DE，由作图得AE＝AD＝5，由矩形的性质得∠BAD＝90°，AD∥BC，则AB⊥AD，所以点E到AD的距离为3，则×5DF＝×5×3＝S△AED，求得DF＝3．
【解答】（1）作法：1.以A为圆心，以AD长为半径作弧，交BC于点E，
2．连结AE，
线段BE就是所求的线段．
证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝5，
∴∠B＝90°，AE＝AD＝5，
∴BE＝＝＝4，
∴线段BE就是所求的线段．
（2）方案一：解：由作图得AD＝EA，
∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE于点F，
∴AD∥BC，∠AFD＝∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
在△DFA和△ABE中，
，
∴△DFA≌△ABE（AAS），
∴DF＝AB＝3，
∴DF的长是3．
方案二：解：连接DE，由作图得AE＝AD＝5，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴AB⊥AD，
∴点E到AD的距离为3，
∴AE•DF＝AD•AB＝S△AED，
∴×5DF＝×5×3，
解得DF＝3，
∴DF的长是3．
【点评】此题重点考查矩形的性质、尺规作图、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出线段AE是解题的关键．
21．（9分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）过点M（0，﹣2）和点A （1，﹣3），点A向上平移5个单位长度得到点B．
（1）点B的坐标为 （1，2） ；
（2）求k和b的值；
（3）若一次函数y＝mx﹣2（m≠0）与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）依据题意，根据坐标平移的性质即可得解；
（2）依据题意，将M、A代入解析式y＝kx+b组成方程组即可求出k和b的值；
（3）依据题意，y＝mx﹣2过定点（0，﹣2），再分别求出过A和B的m的值，从而可以得到m的范围．
【解答】解：（1）由题意，点A （1，﹣3），点A向上平移5个单位长度得到点B，
∴纵坐标变成：﹣3+5＝2．
∴B（1，2）．
故答案为：（1，2）．
（2）由题意，一次函数y＝kx+b（k≠0）过点M（0，﹣2）和点A（1，﹣3）
∴．
∴k＝﹣1，b＝﹣2．
（3）如右图，y＝mx﹣2过定点（0，﹣2），
当一次函数y＝mx﹣2过点A（1，﹣3）时，得﹣3＝m﹣2，解得m＝﹣1．
当一次函数y＝mx﹣2过点B（1，2）时，得2＝m﹣2，解得m＝4．
如图，若一次函数y＝mx﹣2与线段AB有公共点，则m的取值范围是﹣1≤m≤4（m≠0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的判定和性质，利用数形结合，分类讨论是解题的关键．
22．（10分）“黑白挪移尽妙玄，百转千回体方圆”．某中学棋类社团计划购买一批象棋和围棋，经问询知购买相同数量的象棋和围棋分别需要420元和315元，且每副象棋比每副围棋贵15元．
（1）求每副围棋和象棋的售价各是多少元？
（2）社团最终决定购买围棋和象棋共40副，且要求象棋数量不低于围棋数量的3倍，请问如何购买才能使得总费用最低，最低总费用为多少元？
【分析】（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣20）元，根据“购买相同数量的象棋和围棋分别需要420元和315元，且每副象棋比每副围棋贵15元”列出方程并解答；
（2）设购买围棋m副，则购买象棋（60﹣m）副，根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x+15）元，
根据题意，得，
解得x＝45．
经检验x＝45是所列方程的根，并符合题意．
所以x+15＝60．
答：每副围棋45元，每副象棋60元；
（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，
根据题意，得40﹣m≥3m．
解得m≤10．
故m最大值是10．
因为每副围棋的单价低于每副象棋的单价，
所以当购买象棋30副，围棋10副，才能使总费用最小，最小费用是：10×45+30×60＝2250（元）．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一次函数的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
23．（10分）如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts．
（1）求BC的长度；
（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长；
（3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．
【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）可得PC＝PA＝t，PA＝8﹣t，则62+（8﹣t）2＝t2，解出t＝．可求出CQ；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm
∴BC＝＝10（cm）．
（2）∵点P在边BC的垂直平分线上，取BC的中点D，作PD⊥BC，交PA于BA，连接CP，
∴PC＝PB＝t，BD＝CD＝5，AP＝8﹣t，
在Rt△APC中，PA2+AC2＝CP2，即（8﹣t）2+62＝t2
解得：t＝s．
此时，此时Q走了2×＝（cm）；
∵＞6，点Q在边BC上，
∴＝（cm）．
（3）①当AC＝CQ＝6时，
∴t＝＝6秒．
②当AQ'＝CQ'时，
∴∠Q'CA＝∠Q'AC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠BAQ'，
∴BQ'＝AQ'，
∴AQ'＝BQ'＝CQ'＝BC＝5cm，
∴t＝＝秒．
③当AQ″＝AC＝6时，过A点作AH⊥BC于点H，
∴AH＝＝，
∴CH＝＝．
∴CQ″＝2CH＝，
∴t＝＝秒．
综上所述：当t为6秒或秒或秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
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